Afgeleiden

I Inleiding

1 Van rechte \(PQ\) naar het verloop van \(f\)

Beschouw een functie \(f\), een vast punt \(P\bigl (a,f(a)\bigr )\) op de grafiek en een variabel punt \(Q\bigl (x,f(x)\bigr )\).

De rechte \(PQ\) geeft ons een idee van het verloop van \(f\) tussen \(a\) en \(x\): stijgen, dalen, een maximum of een minimum. Hoe dichter we \(P\) en \(Q\) bij elkaar leggen, hoe beter die rechte het gedrag van \(f\) in de buurt van \(a\) beschrijft.

2 Inleidend voorbeeld: hellingspercentage

Een helling van \(10\%\) betekent

\[ \frac {10}{100} = \frac {\text {verticale toename}}{\text {horizontale toename}} = \tan \alpha = 0.1 \qquad \Rightarrow \qquad \alpha = 5\degree 42' 38''. \]

Een hellingspercentage is dus niets anders dan de richtingscoëfficiënt van een rechte.

3 Inleidend voorbeeld: skivakantie

Jonas en Lise zijn op skivakantie. De top van de heuvel en zijn omgeving zijn parabolisch en worden beschreven door

\[ h(x) = 0.1\,(18x - x^2). \]

De nulwaarden zijn \(x=0\) en \(x=18\), de top ligt bij \(x = -\dfrac {b}{2a} = \dfrac {-1.8}{-0.2} = 9\), met \(h(9) = 8.1\).

We onderzoeken de gemiddelde helling tussen \(x=0\) en \(x=9\):

\[ \frac {\text {verticale toename}}{\text {horizontale toename}} = \frac {\Delta h}{\Delta x} = \frac {8.1}{9} = 0.9 = 90\%, \qquad \tan \alpha = 0.9 \quad \Rightarrow \quad \alpha = 41\degree 59' 14''. \]

Die gemiddelde helling zegt echter weinig over één bepaalde plaats op de heuvel, want ze verandert voortdurend:

\[ \begin {array}{c|c|c} \text {interval} & \dfrac {\Delta h}{\Delta x} = \tan \alpha & \alpha \\[0.8em] \hline \rule {0pt}{1.1em}[0,2] & \dfrac {h(2)-h(0)}{2-0} = 1.6 & 57\degree 59' 41'' \\[0.8em] \left [2,4\right ] & \dfrac {5.6-3.2}{4-2} = 1.2 & 50\degree 11' 40'' \\[0.8em] \left [4,6\right ] & 0.8 & 38\degree 39' 35'' \\[0.8em] \left [6,8\right ] & 0.4 & 21\degree 48' 5'' \end {array} \]

Willen we de helling in één punt kennen, dan laten we de twee punten heel dicht naar elkaar toe gaan. We nemen dus een limiet.

def h(x):
    return 0.1 * (18*x - x**2)

from math import atan, degrees

grenzen = [0, 2, 4, 6, 8]
for i in range(len(grenzen) - 1):
    a = grenzen[i]
    b = grenzen[i + 1]
    helling = (h(b) - h(a)) / (b - a)
    hoek = degrees(atan(helling))
    print(a, b, round(helling, 1), round(hoek, 3))

0 2 1.6 57.995
2 4 1.2 50.194
4 6 0.8 38.66
6 8 0.4 21.801

def dms(hoek):
    graden = int(hoek)
    minuten = int((hoek - graden) * 60)
    seconden = (hoek - graden - minuten / 60) * 3600
    return graden, minuten, round(seconden, 2)

print(dms(degrees(atan(1.6))))

(57, 59, 40.62)

4 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 2: p 135 nr 1

II Definities

1 Differentiequotiënt

Zij \(f\) een functie en \(a \in \dom f\).

• • \(x - a = \Delta x\) is de toename, aangroeiing of differentie van \(x\) in \(a\);

• • \(f(x) - f(a) = \Delta f\) is de toename van \(f\) in \(a\);

• • het quotiënt

  \[ \frac {f(x)-f(a)}{x-a} = \left (\frac {\Delta f}{\Delta x}\right )_{\!a} \]

  heet het differentiequotiënt van \(f\) in \(a\).

2 Afgeleid getal

Als de limiet in \(a\) van het differentiequotiënt van \(f\) bestaat en een reëel getal is (dus verschillend van \(\pm \infty \)), dan noemen we die limiet het afgeleid getal van \(f\) in \(a\):

\[ \boxed {\;f'(a) = \lim _{x\to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a} \in \R \;} \]

We zeggen dan dat \(f\) afleidbaar is in \(a\). Andere notaties voor hetzelfde getal zijn

\[ f'(a) = Df(a) = \frac {df}{dx}(a) \qquad \text {(die laatste vooral in de fysica)}. \]

3 Voorbeeld

Voor \(f(x) = \dfrac {x^2}{4}\) en \(a = 3\) is \(f(3) = \dfrac {9}{4}\), zodat

\begin{align*} f'(3) &= \lim _{x\to 3} \frac {f(x)-f(3)}{x-3} \\ &= \lim _{x\to 3} \frac {\frac {x^2}{4}-\frac {9}{4}}{x-3} \\ &= \lim _{x\to 3} \frac {(x-3)(x+3)}{4(x-3)} \\ &= \lim _{x\to 3} \frac {x+3}{4} \\ &= \frac {6}{4} = 1.5. \end{align*} Merk op dat het differentiequotiënt de onbepaalde vorm \(\vov {\frac {0}{0}}\) oplevert: dat is bij een afgeleide altijd zo, en juist daarom moeten we eerst vereenvoudigen.

Grafisch is \(f'(3) = 1.5\) de helling van de grafiek in het punt \(P\bigl (3,\frac {9}{4}\bigr )\): de raaklijn in \(P\) stijgt \(3\) eenheden wanneer \(x\) met \(2\) toeneemt.

from sympy import symbols, limit

def f(x):
    return x**2 / 4

x = symbols('x')
a = 3

print(f(a))
print((f(x) - f(a)) / (x - a))

2.25
(x**2/4 - 2.25)/(x - 3)

m = float(limit((f(x) - f(a)) / (x - a), x, a))
print(m)

1.5

4 Oefeningen

5 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 2: p 136 nr 4, 9 en 11; p 137 nr 12; p 166 nr 18

III Meetkundige betekenis

1 Besluit

Het differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de rechte \(PQ\):

\[ \left (\frac {\Delta f}{\Delta x}\right )_{\!a} = \frac {f(x)-f(a)}{x-a} = \text {rico van } PQ. \]

Laten we \(Q\) naderen tot \(P\), dus \(x \to a\), dan nadert de rechte \(PQ\) tot haar limietstand \(t\), waarin \(P\) en \(Q\) samenvallen. Die rechte \(t\) is de raaklijn aan de grafiek van \(f\) in \(P\). Bijgevolg:

\[ \boxed {\;f'(a) = \text {rico van de raaklijn aan } y=f(x) \text { in } P\bigl (a,f(a)\bigr ).\;} \]

2 Gevolgen

De raaklijn in \(P\bigl (a,f(a)\bigr )\) heeft als vergelijking

\[ \boxed {\; t \leftrightarrow y - f(a) = f'(a)\,(x-a) \;} \]

De normaal in \(P\) is de rechte door \(P\) die loodrecht staat op \(t\). Omdat voor loodrechte rechten \(m_1 \cdot m_2 = -1\), wordt dat

\[ \boxed {\; n \leftrightarrow y - f(a) = \frac {-1}{f'(a)}\,(x-a) \;} \qquad \text {(op voorwaarde dat } f'(a) \neq 0\text {)}. \]

3 Voorbeeld

Bepaal de raaklijn en de normaal aan \(y = 2x^2-2x+5\) in het punt met \(x\)-coördinaat \(0\).

Eerst \(f(0) = 5\), daarna het afgeleid getal:

\begin{align*} f'(0) &= \lim _{x\to 0} \frac {2x^2-2x+5-5}{x-0} \\ &= \lim _{x\to 0} \frac {x(2x-2)}{x} \\ &= \lim _{x\to 0} (2x-2) = -2. \end{align*} Dus

\[ \begin {aligned} t \leftrightarrow y - 5 &= -2(x-0) \\ &\iff 2x+y-5 = 0, \end {aligned} \qquad \begin {aligned} n \leftrightarrow y - 5 &= \frac {1}{2}(x-0) \\ &\iff x-2y+10 = 0. \end {aligned} \]

4 Oefeningen

5 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 2: p 135 nr 2; p 136 nr 3 en 5; p 151 nr 11 en 12

IV Afleidbaarheid en continuïteit

1 Stelling

Als een functie \(f\) afleidbaar is in \(a\), dan is \(f\) continu in \(a\).

2 Bewijs

\(f'(a)\) bestaat

\begin{align*} \Rightarrow \qquad f'(a) &= \lim _{x\to a}\frac {f(x)-f(a)}{x-a} \\ &= \frac {\displaystyle \lim _{x\to a}\bigl (f(x)-f(a)\bigr )} {\displaystyle \lim _{x\to a}(x-a)} \in \R . \end{align*}

\begin{align*} N &= \lim _{x\to a}(x-a) = 0 \\ \text {Veronderstel } T &= \lim _{x\to a}\bigl (f(x)-f(a)\bigr ) \neq 0 \\ &\Rightarrow \qquad \frac {T}{N} \text { is van de vorm } \frac {k}{0} = \pm \infty \notin \R \quad \lightning \quad f'(a) \in \R \\ &\Rightarrow \qquad \lim _{x\to a}\bigl (f(x)-f(a)\bigr ) = 0 \\ &\Rightarrow \qquad \underbrace {\lim _{x\to a} f(x) = f(a)}_{\text {hoofdeigenschap continuïteit}} \qed \end{align*}

3 Gevolgen

• • Is \(f\) niet continu in \(a\), dan is \(f\) zeker niet afleidbaar in \(a\).

• • Is \(f\) wel continu in \(a\), dan zijn er twee mogelijkheden: \(f'(a)\) bestaat, of \(f'(a)\) bestaat niet. Continuïteit is dus nodig, maar niet voldoende.

Twee typische gevallen van een continue functie die niet afleidbaar is:

4 Voorbeeld

De functie \(f(x) = |x|\) is continu in \(0\), maar

\[ \lim _{x \underset {<}{\to } 0} \frac {|x|-0}{x-0} = -1 \qquad \text {en}\qquad \lim _{x \underset {>}{\to } 0} \frac {|x|-0}{x-0} = +1 . \]

De linker- en de rechterlimiet verschillen, dus bestaat de limiet niet en is \(f\) niet afleidbaar in \(0\).

5 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 2: p 137 nr 13 tot 18 en 20

V De afgeleide functie

1 Inleiding

Neem \(f(x) = x^2+2x-3\) en bereken \(f'(a)\) voor een willekeurige \(a\):

\begin{align*} f'(a) &= \lim _{x\to a}\frac {f(x)-f(a)}{x-a} \\ &= \lim _{x\to a}\frac {x^2+2x-3-a^2-2a+3}{x-a} \\ &= \lim _{x\to a}\frac {x^2-a^2+2x-2a}{x-a} \\ &= \lim _{x\to a}\frac {(x-a)(x+a+2)}{x-a} \\ &= 2a+2. \end{align*} Die \(a\) was willekeurig in \(\dom f\), dus mag ze \(x\) heten:

\[f'(x) = 2x + 2\]

Zo wordt bereken van afgeleide waarde:

\[f'(3) = 8,\quad f'(1) = 4,\quad \ldots \]

2 Definitie

De reële functie \(f'\) die elk reëel getal \(x\) afbeeldt op het afgeleid getal van \(f\) in \(x\) noemen we de afgeleide functie van \(f\):

\[ \boxed {\;f' : \R \to \R : x \mapsto f'(x)\;} \]

Voor het voorbeeld hierboven is dus \(f'(x) = 2x+2\).

Onder de grafiek van \(f\) tekenen we bij elke \(x\) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn als het punt \(\bigl (x, f'(x)\bigr )\). Samen vormen die punten de grafiek van \(f'\): een rechte, want \(f'(x) = 2x+2\).

3 Oefeningen

4 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 2: p 136 nr 6, 7 (b tot d) en 10 (a, b en d); p 137 nr 19

VI Rekenregels

Telkens \(f\) en \(g\) afleidbare functies, \(c \in \R \) en \(n \in \N _0\).

1 Afgeleide van een constante functie

Voor \(f(x) = c\) met \(c \in \R \):

\[ f'(a) = \lim _{x\to a}\frac {c-c}{x-a} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed {\;c' = Dc = 0\;} \]

2 Afgeleide van de identieke functie

Voor \(f(x) = x\):

\[ f'(a) = \lim _{x\to a}\frac {x-a}{x-a} = 1 \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed {\;x' = Dx = 1\;} \]

3 Afgeleide van een som

\[ \begin {aligned} (f+g)'(a) &= \lim _{x\to a}\frac {(f+g)(x)-(f+g)(a)}{x-a} \\ &= \lim _{x\to a}\frac {f(x)+g(x)-f(a)-g(a)}{x-a} \\ &= \lim _{x\to a}\frac {f(x)-f(a)}{x-a} + \lim _{x\to a}\frac {g(x)-g(a)}{x-a} \\ &= f'(a)+g'(a) \end {aligned} \]

\[ \boxed {\;(f \pm g)' = f' \pm g'\;} \]

4 Afgeleide van een product

\[ \begin {aligned} (f\cdot g)'(a) &= \lim _{x\to a}\frac {(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(a)}{x-a} \\ &= \lim _{x\to a} \frac {f(x)g(x) - f(a)g(x) + f(a)g(x) - f(a)g(a)}{x-a} \\ &= \lim _{x\to a}\left (\frac {f(x)-f(a)}{x-a}\cdot g(x)\right ) + \lim _{x\to a}\left (f(a)\cdot \frac {g(x)-g(a)}{x-a}\right ) \\ &= f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a) \end {aligned} \]

\[ \boxed {\;(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'\;} \]

5 Afgeleide van een constante maal een functie

\[ (c\cdot f)' = c'\cdot f + c\cdot f' = 0\cdot f + c\cdot f' \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed {\;(c\cdot f)' = c\cdot f' \quad (c\in \R )\;} \]

6 Afgeleide van een macht

\[ \begin {aligned} (f^n)' &= \bigl (f\cdot f^{n-1}\bigr )' = f'\cdot f^{n-1} + f\cdot \bigl (f^{n-1}\bigr )' \\ &= f'\cdot f^{n-1} + f\cdot \Bigl (f'\cdot f^{n-2} + f\cdot \bigl (f^{n-2}\bigr )'\Bigr ) \\ &= \underbrace {f'\cdot f^{n-1} + f'\cdot f^{n-1} + \cdots + f'\cdot f^{n-1}}_{n \text { termen}} \end {aligned} \]

\[ \boxed {\;\bigl (f^n\bigr )' = n\cdot f^{n-1}\cdot f'\;} \]

Bijzonder geval: een macht van \(x\)

\[ \bigl (x^n\bigr )' = n\cdot x^{n-1}\cdot \underbrace {x'}_{=1} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed {\;\bigl (x^n\bigr )' = n\cdot x^{n-1} \quad (n \in \N )\;} \]

Bijvoorbeeld \(\bigl (x^2\bigr )' = 2x\), \(\bigl (x^3\bigr )' = 3x^2\) en \(\bigl (x^{17}\bigr )' = 17x^{16}\).

7 Uitbreiding: rationale exponenten

Voor \(f(x) = \dfrac {1}{x}\):

\[ f'(a) = \lim _{x\to a}\frac {\frac {1}{x}-\frac {1}{a}}{x-a} = \lim _{x\to a}\frac {a-x}{ax(x-a)} = \lim _{x\to a}\frac {-1}{ax} = -\frac {1}{a^2} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed {\;\left (\frac {1}{x}\right )' = -\frac {1}{x^2}\;} \]

Merk op dat \(\left (\dfrac {1}{x}\right )' = \bigl (x^{-1}\bigr )' = -1\cdot x^{-2} = -\dfrac {1}{x^2}\): de formule blijft dus gelden voor negatieve machten.

Voor \(f(x) = \sqrt {x}\):

\[ f'(a) = \lim _{x\to a}\frac {\sqrt {x}-\sqrt {a}}{x-a} = \lim _{x\to a}\frac {x-a}{(x-a)\bigl (\sqrt {x}+\sqrt {a}\bigr )} = \frac {1}{2\sqrt {a}} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed {\;\bigl (\sqrt {x}\bigr )' = \frac {1}{2\sqrt {x}}\;} \]

Ook hier klopt de machtsformule: \(\bigl (\sqrt {x}\bigr )' = \bigl (x^{1/2}\bigr )' = \tfrac 12 x^{-1/2} = \dfrac {1}{2\sqrt {x}}\), dus ze geldt ook voor breuken. Algemeen:

\[ \boxed {\;\bigl (x^q\bigr )' = q\cdot x^{q-1} \quad \text {en}\quad \bigl (f^q\bigr )' = q\cdot f^{q-1}\cdot f' \qquad (q \in \Q )\;} \]

8 Afgeleide van een quotiënt

\[ \begin {aligned} \left (\frac {f}{g}\right )' &= \left (f\cdot \frac {1}{g}\right )' = f'\cdot \frac {1}{g} + f\cdot \left (\frac {1}{g}\right )' \\ &= f'\cdot \frac {1}{g} + f\cdot \frac {-1}{g^2}\cdot g' = \frac {f'\,g - f\,g'}{g^2} \end {aligned} \]

\[ \boxed {\;\left (\frac {f}{g}\right )' = \frac {f'\cdot g - f\cdot g'}{g^2}\;} \qquad \text {en in het bijzonder}\qquad \boxed {\;\left (\frac {1}{f}\right )' = \frac {-f'}{f^2}\;} \]

9 Afgeleide van een samengestelde functie: de kettingregel

\[ \begin {aligned} (g\circ f)'(a) &= \lim _{x\to a}\frac {(g\circ f)(x)-(g\circ f)(a)}{x-a} = \lim _{x\to a}\frac {g\bigl (f(x)\bigr )-g\bigl (f(a)\bigr )}{x-a} \\ &= \lim _{x\to a}\left ( \frac {g\bigl (f(x)\bigr )-g\bigl (f(a)\bigr )}{f(x)-f(a)} \cdot \frac {f(x)-f(a)}{x-a}\right ) \\ &= \lim _{y\to b}\frac {g(y)-g(b)}{y-b} \cdot f'(a) = g'(b)\cdot f'(a) = g'\bigl (f(a)\bigr )\cdot f'(a) \end {aligned} \]

Daarbij stelden we \(y = f(x)\) en \(b = f(a)\): als \(x \to a\), dan \(y \to b\), want \(f\) is afleidbaar en dus continu in \(a\).

\[ \boxed {\;(g\circ f)' = (g'\circ f)\cdot f' \qquad \text {of}\qquad \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{dt}\cdot \frac {dt}{dx}\;} \]

Voorbeeld

Met \(x \overset {f}{\mapsto } x^2-1 \overset {g}{\mapsto } \sqrt {x^2-1}\):

\[ \left (\sqrt {x^2-1}\right )' = \frac {1}{2\sqrt {x^2-1}}\cdot \bigl (x^2-1\bigr )' = \frac {x}{\sqrt {x^2-1}} . \]

10 Overzicht van de rekenregels

11 Oefeningen

12 VBTL Oefeningen

Afgeleiden berekenen:
VBTL Analyse 2: p 136 nr 8; p 149 nr 1 (a tot d), 2 (a tot d), 3, 4 (a tot d, g tot i en l) en 5 (a, d, e, j, m, n en q); p 150 nr 6 (a, c, d, h, i en l), 9 en 10; p 151 nr 13; p 152 nr 14, 18 en 21; p 153 nr 25 en 26; p 154 nr 30 en 32; p 166 nr 16

Raaklijn en normaal:
VBTL Analyse 2: p 164 nr 1 (a tot e, g en h), 2 tot 6 en 7 (a, b en d); p 165 nr 8 en 9; p 169 nr 37 tot 40

VII Hogere afgeleiden

1 Voorbeeld

Voor \(f(x) = 2x^4-2x^3+3x^2-3x+1\) vinden we

\[ \begin {aligned} f'(x) &= 8x^3-6x^2+6x-3, \\ f''(x) &= \bigl (f'(x)\bigr )' = 24x^2-12x+6, \\ f'''(x)&= \bigl (f''(x)\bigr )' = 48x-12, \quad \ldots \end {aligned} \]

De afgeleide van de afgeleide noemen we de tweede afgeleide, enzovoort:

\[ \begin {array}{lll} \text {1ste afgeleide} & f' = Df & = \dfrac {df}{dx} \\[0.9em] \text {2de afgeleide} & f'' = D^2f & = \dfrac {d^2f}{dx^2} \\[0.9em] \text {3de afgeleide} & f''' = f^{(3)} = D^3f & = \dfrac {d^3f}{dx^3} \end {array} \]

Vanaf de vierde afgeleide schrijven we \(f^{(4)}\), \(f^{(5)}\), …met een getal tussen haakjes, om verwarring met een macht te vermijden.

2 Oefeningen

3 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 2: p 150 nr 8 (a, b, c en f); p 152 nr 15 (b), 16, 19 en 20; p 153 nr 24; p 166 nr 15 en 17

VIII De regel van de l’Hospital

1 De regel

Onderstel dat

• • \(f(a) = g(a) = 0\);

• • \(g(x) \neq 0\) in de gereduceerde omgeving van \(a\);

• • \(f\) en \(g\) afleidbaar zijn in \(a\);

• • \(g'(a) \neq 0\).

Dan is, met \(H\) van l’Hospital,

\[ \boxed {\; \begin {aligned} \lim _{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)} &= \vov {\dfrac {0}{0}}\\ &\overset {H}{=} \lim _{x\to a}\frac {f'(x)}{g'(x)} = \frac {f'(a)}{g'(a)} \end {aligned}\;} \]

De regel geldt eveneens voor de onbepaalde vorm \(\vov {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\) en ook wanneer \(x \to \pm \infty \):

\[ \begin {aligned} \lim _{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)} &= \vov {\dfrac {\infty }{\infty }}\\ &\overset {H}{=} \lim _{x\to a}\frac {f'(x)}{g'(x)}, \end {aligned} \qquad \begin {aligned} \lim _{x\to \pm \infty }\frac {f(x)}{g(x)} &= \vov {\dfrac {\infty }{\infty }}\\ &\overset {H}{=} \lim _{x\to \pm \infty }\frac {f'(x)}{g'(x)} . \end {aligned} \]

Bewijs.

We bewijzen enkel de eerste vorm. Omdat \(f(a) = g(a) = 0\) is

\[ \begin {aligned} \lim _{x\to a}\frac {f(x)}{g(x)} &= \lim _{x\to a}\left (\frac {f(x)}{g(x)}\cdot \frac {x-a}{x-a}\right ) = \lim _{x\to a} \frac {\dfrac {f(x)-\overbrace {f(a)}^{=0}}{x-a}} {\dfrac {g(x)-\underbrace {g(a)}_{=0}}{x-a}} \\[0.6em] &= \frac {\displaystyle \lim _{x\to a}\frac {f(x)-f(a)}{x-a}} {\displaystyle \lim _{x\to a}\frac {g(x)-g(a)}{x-a}} = \frac {f'(a)}{g'(a)} . \end {aligned} \]

  □

2 Voorbeelden

We gaan eerst na welke vorm de limiet heeft. Pas als dat \(\vov {\frac {0}{0}}\) of \(\vov {\frac {\infty }{\infty }}\) is, passen we de regel toe. We noteren met \(\overset {H}{=}\) de stap waarin we dat doen.

• (a)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \lim _{x\to 1}\frac {x^3-1}{x^3-3x^2+3x-1} &= \vov {\dfrac {0}{0}}\\ &\overset {H}{=} \lim _{x\to 1}\frac {3x^2}{3x^2-6x+3}\\ &= \lim _{x\to 1}\frac {x^2}{(x-1)^2} = +\infty \end{align*}

• (b)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \lim _{x\to a}\frac {x^m-a^m}{x^n-a^n} &= \vov {\dfrac {0}{0}}\\ &\overset {H}{=} \lim _{x\to a}\frac {m\,x^{m-1}}{n\,x^{n-1}}\\ &= \frac {m}{n}\,a^{m-n} = \frac {m\,a^m}{n\,a^n} \end{align*}

• (c)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \lim _{x\to +\infty }\frac {4x\sqrt {2x}+5}{\bigl (\sqrt {2x}+1\bigr )^3} &= \vov {\dfrac {\infty }{\infty }}\\ &\overset {H}{=} \lim _{x\to +\infty } \frac {4\sqrt {2x}+\frac {4x}{\sqrt {2x}}} {3\bigl (\sqrt {2x}+1\bigr )^2\cdot \frac {1}{\sqrt {2x}}}\\ &= \lim _{x\to +\infty }\frac {4x}{2x+2\sqrt {2x}+1}\\ &= \vov {\dfrac {\infty }{\infty }}\\ &\overset {H}{=} \lim _{x\to +\infty }\frac {4}{2+\frac {2}{\sqrt {2x}}} = \frac {4}{2} = 2 \end{align*}

3 Opgelet

De regel mag enkel toegepast worden op een onbepaalde vorm. Controleer dus telkens opnieuw of de vorm nog onbepaald is:

\begin{align*} \lim _{x\to \frac 12}\frac {12x^2-4x-1}{4x^2-2x} &= \vov {\dfrac {0}{0}}\\ &\overset {H}{=} \lim _{x\to \frac 12}\frac {24x-4}{8x-2} = \frac {8}{2} = 4 . \end{align*} Na de eerste stap is de vorm \(\frac {8}{2}\) en niet langer \(\vov {\frac {0}{0}}\): de regel een tweede keer toepassen zou hier een fout antwoord geven.

4 Oefeningen

5 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 2: p 201 nr 13 (a, b, f en g); p 202 nr 17 (a)