Asymptoten

I Wat is een asymptoot?

1 Definitie

Een rechte \(a\) is een asymptoot van de grafiek van \(y=f(x)\) als de grafiek steeds dichter tegen de rechte aankruipt wanneer we de grafiek onbegrensd ver volgen.

2 Drie soorten

Naargelang de richting van de rechte \(a\) onderscheiden we:

• • een verticale asymptoot \(x=a\); Hierbij vertrekt \(P\) naar \(\pm \infty \) in de \(y\)-richting terwijl \(x\) naar \(a\) nadert.

• • een horizontale asymptoot \(y=b\); Hierbij vertrekt \(P\) naar \(\pm \infty \) in de \(x\)-richting en nadert \(f(x)\) naar \(b\).

• • een schuine asymptoot \(y=mx+q\) met \(m\ne 0\). Hierbij vertrekt \(P\) naar \(\pm \infty \) in de \(x\)-richting en nadert het verschil met de rechte naar \(0\).

Alle drie de soorten staan samen op de figuur bij de titel van dit hoofdstuk.

II Verticale asymptoten

1 Definitie

De rechte \(x=c\) is een verticale asymptoot (VA) van \(y=f(x)\) als

\[ \lim _{x\underset {>}{\to }c}f(x)\in \{-\infty ,+\infty \} \quad \text {of}\quad \lim _{x\underset {<}{\to }c}f(x)\in \{-\infty ,+\infty \}. \]

2 Opsporen van verticale asymptoten

 Voorbeeld 1

\[ f(x)=\frac {x^2-4x+5}{(x-2)^2}, \qquad \aside {\dom f=\R \setminus \{2\}}. \]

\(x=2\) is nulwaarde van de noemer, niet van de teller:

\[ \lim _{x\to 2}f(x)=\frac {1}{0}=\underbrace {+\infty \text { of }-\infty }_{\text {juiste liggen m.b.v. t.v.}} \quad \Longrightarrow \quad \boxed {x=2\text { is VA}.} \]

\[ \begin {array}{c|ccc} x& &2&\\ \hline T=x^2-4x+5&+&+&+\\ N=(x-2)^2&+&0&+\\ \hline f(x)&+&|&+ \end {array} \qquad \raisebox {-0.35cm}{\smash {\begin {tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)] \begin {axis}[ width=5.2cm, height=3.6cm, axis lines=middle, xmin=-1, xmax=5, ymin=-1, ymax=20, ticks=none, clip=true, ] \addplot [gray,dashed] coordinates {(2,-1) (2,20)}; \addplot [gray,dashed] coordinates {(-1,1) (5,1)}; \addplot [thick,domain=-1:1.78,samples=100] {1+1/(x-2)^2}; \addplot [thick,domain=2.22:5,samples=100] {1+1/(x-2)^2}; \node [anchor=south west] at (axis cs:3.8,1.1) {$f$}; \end {axis} \end {tikzpicture}}} \]

Dus \(f(x)\to +\infty \) langs beide zijden van \(x=2\).

 Voorbeeld 2

Voor \(f(x)=\tan x\) geldt

\[ \lim _{x\underset {<}{\to }\frac \pi 2}\tan x=+\infty , \qquad \lim _{x\underset {>}{\to }\frac \pi 2}\tan x=-\infty . \]

Door de periode \(\pi \):

\[ \boxed {x=\frac \pi 2+k\pi \text { is VA},\quad k\in \Z .} \]

 Besluit

• • Een functie kan oneindig veel verticale asymptoten hebben.

• • Bij een rationale functie zijn de kandidaten de nulwaarden van de noemer.

• • Gemeenschappelijke factor van T en N is mogelijks een perforatie i.p.v. VA.

• • Onderzoek de ligging met een tekenverloop van \(f\) rond de kandidaat.

III Horizontale asymptoten

1 Definitie

De rechte \(y=b\) is een horizontale asymptoot (HA) van \(y=f(x)\) als

\[ \lim _{x\to +\infty }f(x)=b\in \R \qquad \text {of}\qquad \lim _{x\to -\infty }f(x)=b\in \R . \]

2 Opsporen van horizontale asymptoten

 Voorbeeld 1

\[ f(x)=\frac {x^2-4x+5}{(x-2)^2}. \]

\[ \lim _{x\to \pm \infty }f(x) =\lim _{x\to \pm \infty }\frac {x^2}{x^2}=1\in \R \quad \Longrightarrow \quad \boxed {y=1\text { is HA}.} \]

Ligging ten opzichte van de HA: onderzoek het verschil

\[ v(x)=f(x)-b, \]

dat is de verticale afstand van de grafiek tot de HA, mét een teken. Hier is \(b=1\), dus

\[ v(x)=f(x)-1 =\frac {x^2-4x+5}{(x-2)^2}-\frac {(x-2)^2}{(x-2)^2} =\frac {x^2-4x+5-x^2+4x-4}{(x-2)^2} =\frac 1{(x-2)^2}. \]

\[ \begin {array}{c|ccc} x& &2&\\ \hline T=1&+&+&+\\ N=(x-2)^2&+&0&+\\ \hline v(x)&+&|&+ \end {array} \qquad \begin {array}{r@{\;}c@{\;}l} v(x)>0&\Longrightarrow &\text {grafiek boven de HA}\\ v(x)<0&\Longrightarrow &\text {grafiek onder de HA}\\ v(x)=0&\Longrightarrow &\text {grafiek snijdt de HA} \end {array} \]

Hier is \(v(x)>0\) voor elke \(x\ne 2\):

\[ \boxed {\text {de grafiek ligt overal boven de HA }y=1.} \]

Bovendien is

\[ \lim _{x\to \pm \infty }v(x)=\lim _{x\to \pm \infty }\frac 1{(x-2)^2}=0, \]

en dat moet ook: de verticale afstand tot de HA krimpt naar \(0\).

 Voorbeeld 2

\[ f(x)=\sqrt {x^2+6x}-x. \]

Voor \(x\to +\infty \):

\begin{align*} \lim _{x\to +\infty }f(x) &=\lim _{x\to +\infty } \frac {x^2+6x-x^2}{\sqrt {x^2+6x}+x}\\ &=\lim _{x\to +\infty }\frac {6}{\sqrt {1+6/x}+1}=3\in \R . \end{align*} Dus \(\boxed {y=3\text { is HA voor }x\to +\infty }\).

Voor \(x\to -\infty \) is \(f(x)\to +\infty \notin \R \): geen HA.

Ligging ten opzichte van de HA voor \(x \to +\infty \):

\[ v(x)=f(x)-3=\sqrt {x^2+6x}-x-3\underset {\text {onder HA}}{<}0 \quad (x\to +\infty ) \qquad \raisebox {-0.55cm}{\smash {\begin {tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)] \begin {axis}[ width=4.5cm,height=3.1cm, axis lines=middle,xmin=-12,xmax=12,ymin=-1,ymax=16, ticks=none,clip=true, ] \addplot [gray,dashed] coordinates {(-12,3) (12,3)}; \addplot [thick,domain=-12:-6,samples=80] {sqrt(x^2+6*x)-x}; \addplot [thick,domain=0:12,samples=80] {sqrt(x^2+6*x)-x}; \node [anchor=north west] at (axis cs:8,2.9) {$f$}; \end {axis} \end {tikzpicture}}} \]

Voor \(x \to +\infty \) is \(x+3>0\), dus:

\[ \sqrt {x^2+6x} < \sqrt {x^2+6x+9} = \sqrt {(x+3)^2} = x+3. \]

Daarom:

\[ \sqrt {x^2+6x}-x-3<0. \]

 Besluit

• • Een functie heeft ten hoogste twee verschillende horizontale asymptoten.

• • Onderzoek beide limieten \(x\to +\infty \) en \(x\to -\infty \).

• • Voor de ligging bij \(y=b\): \(v(x)=f(x)-b\). Dan \(v<0\): onder de HA; \(v>0\): boven de HA.

IV Schuine asymptoten

1 Definitie

De rechte \(y=mx+q\), met \(m\ne 0\), is een schuine asymptoot (SA) van \(y=f(x)\) als

\[ \lim _{x\to +\infty }\bigl (f(x)-mx-q\bigr )=0 \quad \text {of}\quad \lim _{x\to -\infty }\bigl (f(x)-mx-q\bigr )=0. \]

Voor \(m=0\) krijgen we een horizontale asymptoot.

2 Formules van Cauchy

Als \(y=mx+q\) een SA is, dan

\[ \boxed {m=\lim _{x\to \pm \infty }\frac {f(x)}x}, \qquad \boxed {q=\lim _{x\to \pm \infty }\bigl (f(x)-mx\bigr )}. \]

Beide limieten moeten reëel zijn.

3 Berekening van \(m\) en \(q\)

\(m\): \(y=mx+q\) is SA van \(y=f(x)\)

\begin{align*} &\Longleftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }\bigl (f(x)-mx-q\bigr )=0 \\ &\Longrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }\bigl (f(x)-mx-q\bigr )\cdot \lim _{x\to \pm \infty }\frac 1x=0 \qquad \left (0\cdot \frac 1\infty =0\cdot 0=0\right ) \\ &\Longleftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }\frac {f(x)-mx-q}{x}=0 \\ &\Longleftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }\left (\frac {f(x)}x-m-\frac qx\right )=0 \\ &\Longleftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }\frac {f(x)}x -\lim _{x\to \pm \infty }m -\lim _{x\to \pm \infty }\frac qx=0 \\ &\Longleftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }\frac {f(x)}x-m-0=0 \\ &\Longleftrightarrow \boxed {m=\lim _{x\to \pm \infty }\frac {f(x)}x}. \end{align*}

\(q\): \(y=mx+q\) is SA van \(y=f(x)\)

\begin{align*} &\Longleftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }\bigl (f(x)-mx-q\bigr )=0 \\ &\Longleftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }\bigl (f(x)-mx\bigr ) -\lim _{x\to \pm \infty }q=0 \\ &\Longleftrightarrow \lim _{x\to \pm \infty }\bigl (f(x)-mx\bigr )-q=0 \\ &\Longleftrightarrow \boxed {q=\lim _{x\to \pm \infty }\bigl (f(x)-mx\bigr )}. \end{align*}

4 Opsporen van schuine asymptoten

 Voorbeeld 1: rationale functie

\[ f(x)=\frac {x^2+x-7}{x-2}. \]

Via Euclidische deling (H3):

\[ x^2+x-7=(x-2)(x+3)-1 \quad \Longrightarrow \quad f(x)=x+3-\frac 1{x-2}. \]

Omdat \(\operatorname {gr}T=\operatorname {gr}N+1\), is het quotiënt de SA: \(y=x+3\).

Met de algemene methode:

\begin{align*} m &=\lim _{x\to \pm \infty }\frac {f(x)}x =\lim _{x\to \pm \infty }\frac {x^2+x-7}{x^2-2x} =\text {``}\frac {\infty }{\infty }\text {''} \\ &=\lim _{x\to \pm \infty }\frac {x^2}{x^2}=1\in \R \quad \Longrightarrow \quad \text {OK!} \end{align*}

\begin{align*} q &=\lim _{x\to \pm \infty }\bigl (f(x)-mx\bigr ) \\ &=\lim _{x\to \pm \infty } \left (\frac {x^2+x-7}{x-2}-x\right ) \\ &=\lim _{x\to \pm \infty } \frac {x^2+x-7-x^2+2x}{x-2} \\ &=\lim _{x\to \pm \infty }\frac {3x-7}{x-2} =\text {``}\frac {\infty }{\infty }\text {''} \\ &=\lim _{x\to \pm \infty }\frac {3x}{x}=3\in \R \quad \Longrightarrow \quad \text {OK!} \end{align*} Dus \(\boxed {y=x+3\text { is SA voor }x\to \pm \infty }\).

Ligging t.o.v. de SA:

\[ v(x)=f(x)-mx-q =\frac {x^2+x-7}{x-2}-x-3 =-\frac 1{x-2}. \]

\[ \begin {array}{c|ccc} x&&2&\\ \hline -1&-&-&-\\ x-2&-&0&+\\ \hline v(x)&\underset {\text {boven SA}}{+}&|&\underset {\text {onder SA}}{-} \end {array} \qquad \raisebox {-0.5cm}{\smash {\begin {tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)] \begin {axis}[ width=5cm,height=3.5cm, axis lines=middle,xmin=-5,xmax=7,ymin=-4,ymax=10, ticks=none,clip=true, ] \addplot [gray,dashed] coordinates {(2,-4) (2,10)}; \addplot [red!70!black,thick,dashed,domain=-5:7] {x+3}; \addplot [thick,domain=-5:1.8,samples=80] {(x^2+x-7)/(x-2)}; \addplot [thick,domain=2.2:7,samples=80] {(x^2+x-7)/(x-2)}; \node [red!70!black,anchor=south east] at (axis cs:6.7,9.7) {$y=x+3$}; \end {axis} \end {tikzpicture}}} \]

 Voorbeeld 2: irrationale functie

\[ f(x)=\sqrt {x^2-1}. \]

Irrationale functie: onderscheid \(x\to +\infty \) en \(x\to -\infty \).

Voor \(x\to +\infty \) geldt \(\sqrt {x^2}=x\):

\begin{align*} m_1 &=\lim _{x\to +\infty }\frac {f(x)}x =\lim _{x\to +\infty }\frac {\sqrt {x^2-1}}x =\text {``}\frac \infty \infty \text {''} \\ &=\lim _{x\to +\infty } \frac {x\sqrt {1-1/x^2}}x=1\in \R \quad \Longrightarrow \quad \text {OK!} \end{align*}

\begin{align*} q_1 &=\lim _{x\to +\infty }\bigl (f(x)-m_1x\bigr ) =\lim _{x\to +\infty }\bigl (\sqrt {x^2-1}-x\bigr ) =\text {``}\infty -\infty \text {''} \\ &=\lim _{x\to +\infty } \frac {(\sqrt {x^2-1}-x)(\sqrt {x^2-1}+x)} {\sqrt {x^2-1}+x} \\ &=\lim _{x\to +\infty }\frac {x^2-1-x^2}{\sqrt {x^2-1}+x} =\lim _{x\to +\infty }\frac {-1}{\sqrt {x^2-1}+x}=0\in \R \quad \Longrightarrow \quad \text {OK!} \end{align*} Dus \(\boxed {y=x\text { is SA voor }x\to +\infty }\).

Voor \(x\to -\infty \) geldt \(\sqrt {x^2}=|x|=-x\):

\begin{align*} m_2 &=\lim _{x\to -\infty }\frac {f(x)}x =\lim _{x\to -\infty }\frac {\sqrt {x^2-1}}x =\text {``}\frac \infty {-\infty }\text {''} \\ &=\lim _{x\to -\infty } \frac {-x\sqrt {1-1/x^2}}x=-1\in \R \quad \Longrightarrow \quad \text {OK!} \end{align*}

\begin{align*} q_2 &=\lim _{x\to -\infty }\bigl (f(x)-m_2x\bigr ) =\lim _{x\to -\infty }\bigl (\sqrt {x^2-1}+x\bigr ) =\text {``}\infty -\infty \text {''} \\ &=\lim _{x\to -\infty } \frac {(\sqrt {x^2-1}+x)(\sqrt {x^2-1}-x)} {\sqrt {x^2-1}-x} \\ &=\lim _{x\to -\infty }\frac {x^2-1-x^2}{\sqrt {x^2-1}-x} =\lim _{x\to -\infty }\frac {-1}{\sqrt {x^2-1}-x}=0\in \R \quad \Longrightarrow \quad \text {OK!} \end{align*} Dus \(\boxed {y=-x\text { is SA voor }x\to -\infty }\).

Ligging t.o.v. de SA:

\[ v_1(x)=\sqrt {x^2-1}-x\underset {\text {onder SA}_1}{<}0 \quad (x\to +\infty ), \qquad v_2(x)=\sqrt {x^2-1}+x\underset {\text {onder SA}_2}{<}0 \quad (x\to -\infty ). \]

 Besluit

• • Een functie heeft ten hoogste twee verschillende asymptoten die horizontaal of schuin zijn.

• • Bereken \(m\) en \(q\) afzonderlijk voor \(x\to +\infty \) en \(x\to -\infty \).

• • Voor de ligging: \(v(x)=f(x)-mx-q\). Dan \(v<0\): onder de SA; \(v>0\): boven de SA.

 Tip

Start elke oefening met het bepalen van \(\dom f\). Dit geeft onmiddellijk de nulwaarden van de noemer (voor het opsporen van VA’s), maar kan ook veel werk besparen voor HA/SA als \(f\) niet bestaat voor \(x\to \pm \infty \).

V Uitgewerkt voorbeeld

\[ f(x)=\frac {x^3}{x^2-1}. \]

Rationale functie:

\[ \dom f=\R \setminus \{-1,1\}. \]

VA: Nulwaarden noemer: \(x=-1\) en \(x=1\); twee limieten onderzoeken.

\[ \begin {array}{c|ccccccc} x&&-1&&0&&1&\\ \hline T=x^3&-&-&-&0&+&+&+\\ N=x^2-1&+&0&-&-&-&0&+\\ \hline f(x)&-&|&+&0&-&|&+ \end {array} \]

\[ \lim _{x\underset {<}{\to }-1}f(x)=-\infty , \quad \lim _{x\underset {>}{\to }-1}f(x)=+\infty \quad \Longrightarrow \quad \boxed {x=-1\text { is VA}_1}, \]

\[ \lim _{x\underset {<}{\to }1}f(x)=-\infty , \quad \lim _{x\underset {>}{\to }1}f(x)=+\infty \quad \Longrightarrow \quad \boxed {x=1\text { is VA}_2}. \]

HA:

\[ \lim _{x\to \pm \infty }f(x) =\text {``}\frac {\infty ^3}{\infty ^2}\text {''} =\lim _{x\to \pm \infty }x=\pm \infty \notin \R \quad \Longrightarrow \quad \text {geen HA}. \]

SA:

\[ m=\lim _{x\to \pm \infty }\frac {x^3}{x(x^2-1)} =\lim _{x\to \pm \infty }\frac {x^3}{x^3}=1\in \R \quad \Longrightarrow \quad \text {OK!} \]

\begin{align*} q &=\lim _{x\to \pm \infty }\left (\frac {x^3}{x^2-1}-x\right ) \\ &=\lim _{x\to \pm \infty }\frac {x^3-x^3+x}{x^2-1} \\ &=\lim _{x\to \pm \infty }\frac {x}{x^2-1}=0\in \R \quad \Longrightarrow \quad \text {OK!} \end{align*} Dus \(\boxed {y=x\text { is SA voor }x\to \pm \infty }\).

Ligging t.o.v. de SA:

\[ v(x)=f(x)-x=\frac {x}{x^2-1}. \]

\[ \begin {array}{c|ccccccc} x&&-1&&0&&1&\\ \hline x&-&-&-&0&+&+&+\\ x^2-1&+&0&-&-&-&0&+\\ \hline v(x)&\underset {\text {onder SA}}{-}&|&+&0&-&|& \underset {\text {boven SA}}{+} \end {array} \]

VI Oefeningen