$\newcommand{\footnotename}{footnote}$ $\def \LWRfootnote {1}$ $\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}$ $\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}$ $\let \LWRorighspace \hspace $ $\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }$ $\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}$ $\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}$ $\newcommand \ensuremath [1]{#1}$ $\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } $ $\newcommand {\setlength }[2]{}$ $\newcommand {\addtolength }[2]{}$ $\newcommand {\setcounter }[2]{}$ $\newcommand {\addtocounter }[2]{}$ $\newcommand {\arabic }[1]{}$ $\newcommand {\number }[1]{}$ $\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}$ $\newcommand {\cline }[1]{}$ $\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}$ $\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}$ $\newcommand {\protect }{}$ $\def \LWRabsorbnumber #1 {}$ $\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}$ $\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}$ $\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }$ $\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }$ $\def \mathcode #1={\mathchar }$ $\let \delcode \mathcode $ $\let \delimiter \mathchar $ $\def \oe {\unicode {x0153}}$ $\def \OE {\unicode {x0152}}$ $\def \ae {\unicode {x00E6}}$ $\def \AE {\unicode {x00C6}}$ $\def \aa {\unicode {x00E5}}$ $\def \AA {\unicode {x00C5}}$ $\def \o {\unicode {x00F8}}$ $\def \O {\unicode {x00D8}}$ $\def \l {\unicode {x0142}}$ $\def \L {\unicode {x0141}}$ $\def \ss {\unicode {x00DF}}$ $\def \SS {\unicode {x1E9E}}$ $\def \dag {\unicode {x2020}}$ $\def \ddag {\unicode {x2021}}$ $\def \P {\unicode {x00B6}}$ $\def \copyright {\unicode {x00A9}}$ $\def \pounds {\unicode {x00A3}}$ $\let \LWRref \ref $ $\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }$ $ \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}$ $\require {textcomp}$ $\newcommand {\opl }[2][]{\bbox [whitesmoke, 3px, border: 1px dashed darkseagreen]{\class {opl-math opl-optie-#1}{#2}}}$ $\newcommand {\hint }[1]{\class {hint}{#1}}$ $\newcommand {\aside }[1]{\class {aside}{#1}}$ $\newcommand {\vov }[1]{\aside {{\vphantom {#1}}^{\textstyle \lower {0.7ex}{\text {`}}}\mkern -1mu\mathopen {}#1\mathclose {}\mkern -1mu{\vphantom {#1}}^{\textstyle \lower {0.7ex}{\text {'}}}}}$ $\newcommand {\truc }[1]{\class {truc}{#1}}$ $\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$ $\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$ $\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$ $\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$ $\newcommand {\C }{\mathbb {C}}$ $\newcommand {\E }{\mathrm {E}}$ $\newcommand {\T }{\mathsf {T}}$ $\newcommand {\dom }{\mathrm {dom}}$ $\newcommand {\ber }{\mathrm {ber}}$ $\newcommand {\degree }{^{\circ }}$ $\newcommand {\Bgsin }{\operatorname {Bgsin}}$ $\newcommand {\Bgcos }{\operatorname {Bgcos}}$ $\newcommand {\Bgtan }{\operatorname {Bgtan}}$ $\newcommand {\Bgcot }{\operatorname {Bgcot}}$ $\newcommand {\bgsin }{\operatorname {bgsin}}$ $\newcommand {\bgcos }{\operatorname {bgcos}}$ $\newcommand {\bgtan }{\operatorname {bgtan}}$ $\newcommand {\bgcot }{\operatorname {bgcot}}$ $\newcommand {\qed }{\class {mathesis-qed}{\square }}$ $\newcommand {\markeercellen }[4][.35]{}$ $\newcommand {\celpijl }[3]{}$ $\newcommand {\weq }{\ifnextchar [{\weqmet }{\weqzonder }}$ $\def \weqmet [#1]{\ifnextchar [{\weqtwee {#1}}{\weqeen {#1}}}$ $\def \weqtwee #1[#2]#3{\mathrel {\overset {#1}{\underset {#2}{#3}}}}$ $\def \weqeen #1#2{\mathrel {\overset {#1}{#2}}}$ $\def \weqzonder #1{\mathrel {#1}}$ $\newcommand {\shortstack }[2][]{\substack {#2}}$ $\newcommand {\scriptsize }{}$ $\newcommand {\tiny }{}$ $\newcommand {\tvmax }[1]{\begin {array}{c} \scriptstyle \text {max} \\[-0.8ex] \scriptstyle =#1 \end {array}}$ $\newcommand {\tvmin }[1]{\begin {array}{c} \scriptstyle \text {min} \\[-0.8ex] \scriptstyle =#1 \end {array}}$ $\newcommand {\markeerterm }[2]{#2}$ $\newcommand {\lightning }{\unicode {x21AF}}$ $\newcommand {\arceervak }{\enclose {updiagonalstrike}{\phantom {\rule {0em}{1.2ex}}}\kern -0.33em}$ $\newcommand {\undefsign }{\class {undefsign}{\arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak }}$ $\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}$ $\let \Hat \hat $ $\let \Check \check $ $\let \Tilde \tilde $ $\let \Acute \acute $ $\let \Grave \grave $ $\let \Dot \dot $ $\let \Ddot \ddot $ $\let \Breve \breve $ $\let \Bar \bar $ $\let \Vec \vec $ $\require {mathtools}$ $\newcommand {\vcentcolon }{\mathrel {\unicode {x2236}}}$ $\newcommand {\approxcolon }{\approx \vcentcolon }$ $\newcommand {\Approxcolon }{\approx \dblcolon }$ $\newcommand {\simcolon }{\sim \vcentcolon }$ $\newcommand {\Simcolon }{\sim \dblcolon }$ $\newcommand {\dashcolon }{\mathrel {-}\vcentcolon }$ $\newcommand {\Dashcolon }{\mathrel {-}\dblcolon }$ $\newcommand {\colondash }{\vcentcolon \mathrel {-}}$ $\newcommand {\Colondash }{\dblcolon \mathrel {-}}$ $\newenvironment {crampedsubarray}[1]{}{}$ $\newcommand {\smashoperator }[2][]{#2\limits }$ $\newcommand {\SwapAboveDisplaySkip }{}$ $\newcommand {\LaTeXunderbrace }[1]{\underbrace {#1}}$ $\newcommand {\LaTeXoverbrace }[1]{\overbrace {#1}}$ $\Newextarrow \xLongleftarrow {10,10}{0x21D0}$ $\Newextarrow \xLongrightarrow {10,10}{0x21D2}$ $\let \xlongleftarrow \xleftarrow $ $\let \xlongrightarrow \xrightarrow $ $\newcommand {\LWRmultlined }[1][]{\begin {multline*}}$ $\newenvironment {multlined}[1][]{\LWRmultlined }{\end {multline*}}$ $\let \LWRorigshoveleft \shoveleft $ $\renewcommand {\shoveleft }[1][]{\LWRorigshoveleft }$ $\let \LWRorigshoveright \shoveright $ $\renewcommand {\shoveright }[1][]{\LWRorigshoveright }$ $\newcommand {\shortintertext }[1]{\text {#1}\notag \\}$ $\newcommand {\bm }[1]{\boldsymbol {#1}}$ $\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }$ $\let \midrule \toprule $ $\let \bottomrule \toprule $ $\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}$ $\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}$ $\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }$ $\newcommand {\morecmidrules }{}$ $\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }$ $\newcommand {\addlinespace }[1][]{}$ $\newcommand {\LWRnicearrayarray }[1]{\begin {array}{#1}}$ $\def \LWRnicearrayarrayopt #1[#2] {\begin {array}{#1}}$ $\newenvironment {NiceArray}[2][]{\ifnextchar [{\LWRnicearrayarrayopt {#2}}{\LWRnicearrayarray {#2}}}{\end {array}}$ $\newcommand {\LWRnicearraywithdelimtwo }[2][]{\ifnextchar [{\LWRnicearrayarrayopt {#2}}{\LWRnicearrayarray {#2}}}$ $\newenvironment {NiceArrayWithDelims}[2]{\def \LWRnicearrayrightdelim {\right #2}\left #1\LWRnicearraywithdelimtwo }{\end {array}\LWRnicearrayrightdelim }$ $\newenvironment {pNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{(}{)}} {\end {NiceArrayWithDelims}} $ $\newenvironment {bNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{[}{]}} {\end {NiceArrayWithDelims}} $ $\newenvironment {BNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{\{}{\}}} {\end {NiceArrayWithDelims}} $ $\newenvironment {vNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{\vert }{\vert }} {\end {NiceArrayWithDelims}} $ $\newenvironment {VNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{\Vert }{\Vert }} {\end {NiceArrayWithDelims}} $ $\newenvironment {NiceMatrix}[1][]{\begin {matrix}}{\end {matrix}}$ $\newenvironment {pNiceMatrix}[1][]{\begin {pmatrix}}{\end {pmatrix}}$ $\newenvironment {bNiceMatrix}[1][]{\begin {bmatrix}}{\end {bmatrix}}$ $\newenvironment {BNiceMatrix}[1][]{\begin {Bmatrix}}{\end {Bmatrix}}$ $\newenvironment {vNiceMatrix}[1][]{\begin {vmatrix}}{\end {vmatrix}}$ $\newenvironment {VNiceMatrix}[1][]{\begin {Vmatrix}}{\end {Vmatrix}}$ $\newcommand {\LWRnicematrixBlock }[1]{#1}$ $\def \LWRnicematrixBlockopt <#1>#2{#2}$ $\newcommand {\Block }[2][]{\ifnextchar <\LWRnicematrixBlockopt \LWRnicematrixBlock }$ $\newcommand {\diagbox }[2]{\begin {array}{l}\hfill \quad #2\\\hline #1\quad \hfill \end {array}}$ $\let \hdottedline \hdashline $ $\newcommand {\Hline }[1][]{\hline }$ $\newcommand {\CodeBefore }{}$ $\newcommand {\Body }{}$ $\newcommand {\CodeAfter }{}$ $\newcommand {\line }[3][]{}$ $\newcommand {\RowStyle }[2][]{}$ $\newcommand {\LWRSubMatrix }[1][]{}$ $\newcommand {\SubMatrix }[4]{\LWRSubMatrix }$ $\newcommand {\OverBrace }[4][]{}$ $\newcommand {\UnderBrace }[4][]{}$ $\newcommand {\HBrace }[3][]{}$ $\newcommand {\VBrace }[3][]{}$ $\newcommand {\ShowCellNames }{}$ $\newcommand {\tabularnote }[2][]{}$ $\newcommand {\cellcolor }[3][]{}$ $\newcommand {\rowcolor }[3][]{}$ $\newcommand {\LWRrowcolors }[1][]{}$ $\newcommand {\rowcolors }[4][]{\LWRrowcolors }$ $\newcommand {\rowlistcolors }[3][]{\LWRrowcolors }$ $\newcommand {\columncolor }[3][]{}$ $\newcommand {\rectanglecolor }[4][]{}$ $\newcommand {\arraycolor }[2][]{}$ $\newcommand {\chessboardcolors }[3][]{}$ $\newcommand {\ldots }[1][]{\dots }$ $\newcommand {\Cdots }[1][]{\cdots }$ $\newcommand {\Vdots }[1][]{\vdots }$ $\newcommand {\Ddots }[1][]{\ddots }$ $\newcommand {\Iddots }[1][]{\mathinner {\unicode {x22F0}}}$ $\newcommand {\Hdotsfor }[1]{\ldots }$ $\newcommand {\Vdotsfor }[1]{\vdots }$ $\newcommand {\AutoNiceMatrix }[2]{\text {(AutoNiceMatrix #1)}}$ $\let \pAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix $ $\let \bAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix $ $\let \BAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix $ $\let \vAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix $ $\let \VAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix $ $\require {cancel}$ $\newcommand {\LWRsubmultirow }[2][]{#2}$ $\newcommand {\LWRmultirow }[2][]{\LWRsubmultirow }$ $\newcommand {\multirow }[2][]{\LWRmultirow }$ $\newcommand {\mrowcell }{}$ $\newcommand {\mcolrowcell }{}$ $\newcommand {\STneed }[1]{}$ $\newcommand {\LWRldelimtwo }[1][]{\text {#1}~\LWRbigdelim }$ $\newcommand {\LWRldelimone }[2][]{\LWRldelimtwo }$ $\def \ldelim #1#2{\def \LWRbigdelim {#1}\LWRldelimone }$ $\newcommand {\LWRrdelimtwo }[1][]{\LWRbigdelim ~\text {#1}}$ $\newcommand {\LWRrdelimone }[2][]{\LWRrdelimtwo }$ $\def \rdelim #1#2{\def \LWRbigdelim {#1}\LWRrdelimone }$

Hoofdstuk 12

Continuïteit

(-tikz- diagram)

Leerplandoelstellingen (GO! Navigator)

Basisvorming (BV3_06)

• BV3_06.19 (MD 06.18) De leerlingen beargumenteren wiskundige redeneringen.

Gevorderde wiskunde (WD3_06.08)

• WD3_06.08.25 De leerlingen definiëren continuïteit en het limietbegrip op een formele manier.
- – afbakening: beeld van een gesloten interval door een continue functie, met inbegrip van de tussenwaardenstelling
- – WD3_06.08.25.01 De leerlingen definiëren continuïteit op een formele manier.
- – WD3_06.08.25.02 (MD 06.08.14) De leerlingen definiëren het limietbegrip op een formele manier.
• WD3_06.08.26 (MD 06.08.16) De leerlingen bepalen grafisch en algebraïsch limieten van functies en analyseren het asymptotisch gedrag.
- – afbakening: continuïteit
- – afbakening: horizontaal, verticaal en schuin asymptotisch gedrag
• WD3_06.08.42 (MD 06.08.39) De leerlingen beargumenteren wiskundige redeneringen en bewijzen wiskundige uitspraken.
- – afbakening: bewijstechnieken: rechtstreeks bewijs, contrapositie, bewijs uit het ongerijmde, bewijs door volledige inductie, existentieel bewijs, bewijs door gevalsonderscheiding, ontkrachting door tegenvoorbeeld
- – afbakening: kwantoren

Didactische uitwerking: continuïteit van functie in $\R $, intuïtieve definitie, omgevingsdefinitie, $\varepsilon ,\delta $-definitie, links- en rechtscontinu, continuïteit en bewerkingen met functies, eigenschappen van functies die continu zijn in gesloten interval, Weierstrass of tussenwaardenstelling, Bolzano, benaderingsmethode voor het bepalen van nulwaarden van continue functies

Extra uitleg: inwendig punt, omgeving, discontinu, linker omgeving, rechter omgeving, elke veeltermfunctie, elke rationale functie en elke irrationale functie is continu in haar domein

I Continuïteit van functie in $\R $

1 Intuïtieve definitie

Voorbeelden

(-tikz- diagram)

De grafieken verlopen vloeiend, zonder onderbreking. Deze functies zijn continu in elk punt $x \in [a,b]$.

(-tikz- diagram)

De grafieken van deze functies worden onderbroken: ze maken een sprong of bestaan niet in $x_1$.

Deze functies zijn discontinu in $x_1$ of niet continu.

Definitie

• Een functie $f$ in $\R $ is continu in $x_1 \in \dom f$ als haar grafiek vloeiend verloopt in $x_1$ (dus geen onderbreking).
• Een functie $f$ in $\R $ is discontinu in $x_1$ als

\[ x_1 \notin \dom f \qquad \text {ofwel} \qquad f \text { een sprong maakt in } x_1. \]
• Een functie $f$ in $\R $ is continu in $I=]a,b[$ als $f$ continu is $\forall x \in I=]a,b[$.

2 Omgevingsdefinitie

Inwendig punt

Een punt $a$ is een inwendig punt van een verzameling $A$ als er rond $a$ nog een klein open interval volledig in $A$ ligt.

\[ a \text { is inwendig punt van } A \quad \Leftrightarrow \quad \exists \varepsilon > 0 : ]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [ \subset A \]

(-tikz- diagram)

Omgeving

Een verzameling $A$ is een omgeving van $a$ als $A$ een open interval rond $a$ bevat.

\[ A \in \mathcal {V}_a \quad \Leftrightarrow \quad \exists \varepsilon > 0 : ]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [ \subset A \]

(-tikz- diagram)

Weetje. De letter $V$ in $\mathcal {V}(a)$ komt waarschijnlijk van het Franse woord voisinage, dat “omgeving” of “nabijheid” betekent.

\[ \mathcal {V}(a) = \{\text {alle omgevingen van } a\} \]

In Engelstalige cursussen zie je soms ook $\mathcal {N}(a)$, van neighbourhood.

Continu

\[ \begin {array}{c} f \text { is \textbf {continu} in } a \in \dom f \\[1ex] \Updownarrow \\[1ex] \begin {array}{c} \text {voor elke omgeving $B$ van $f(a)$, bestaat er een omgeving $A$ van $a$} \\ \text {zodat } f(A) \subset B \end {array} \\[1ex] \Updownarrow \\[1ex] \forall B \in \mathcal {V}_{f(a)}\; \exists A \in \mathcal {V}_a : f(A) \subset B. \end {array} \]

(-tikz- diagram)

Discontinu

\[ f \text { is \textbf {discontinu} in } a \in \dom f \Leftrightarrow \exists B \in \mathcal {V}_{f(a)}\; \forall A \in V_a : f(A) \not \subset B. \]

(-tikz- diagram)

3 $\varepsilon ,\delta $-definitie

Opstellen

Stel $f:\R \to \R $ is continu in $a \in \dom f$.

\[ \begin {array}{c} f \text { is continu in $a \in \dom f$} \\[1ex] \Updownarrow \\[1ex] \forall B \in \mathcal {V}_{f(a)}\; \exists A \in \mathcal {V}_{a} : f(A) \subset B \end {array} \]

We beperken ons tot $\varepsilon $-omgevingen voor

\[ f(a):\quad ]f(a)-\varepsilon ,\ f(a)+\varepsilon [ = B \]

\[ a:\quad ]a-\delta ,\ a+\delta [ = A \]

met $\varepsilon $ en $\delta \in \R _0^+$.

Daarmee wordt de definitie:

\begin{align*} & & f \text { is continu in $a \in \dom f$} \\ & \Leftrightarrow & \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+: f(]a-\delta ,\ a+\delta [) & \subset ]f(a)-\varepsilon ,\ f(a)+\varepsilon [ \\ & \Leftrightarrow & \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \dom f: x \in ]a-\delta ,\ a+\delta [ & \Rightarrow f(x) \in ]f(a)-\varepsilon ,\ f(a)+\varepsilon [ \\ & \Leftrightarrow & \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \dom f: a-\delta < x < a+\delta & \Rightarrow f(a)-\varepsilon < f(x) < f(a)+\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \dom f: -\delta < x-a < \delta & \Rightarrow -\varepsilon < f(x)-f(a) < \varepsilon \\ & \Leftrightarrow & \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \dom f: |x-a| < \delta & \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon \end{align*}

\[ \boxed { \begin {array}{c} f \text { is continu in $a \in \dom f$} \\[0.5ex] \Updownarrow \\[0.5ex] \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \dom f: |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \end {array} } \]

Voorbeeld

Bewijs m.b.v. $\varepsilon ,\delta $-def. dat

\[ f(x)=3x+1 \]

continu is in $x=2$.

T.b.:

\[ \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \dom f\;(=\R ): |x-2|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(2)|<\varepsilon \]

\begin{align*} & & |x-2|<\delta & \Rightarrow |f(x)-f(2)|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x-2|<\delta & \Rightarrow |3x+1-7|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x-2|<\delta & \Rightarrow |3x-6|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x-2|<\delta & \Rightarrow 3|x-2|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x-2|<\delta & \Rightarrow |x-2|<\frac {\varepsilon }{3} \end{align*}

Voor elke keuze van $\varepsilon $ kunnen we dus een $\delta $ vinden, nl.

\[ \delta =\frac {\varepsilon }{3}. \]

De uitspraak is dan waar. Bijvoorbeeld:

\[ \varepsilon =\frac {1}{1000} \quad \Rightarrow \quad \delta =\frac {1}{3000}. \]

\[ \boxed {f \text { is continu in $x=2$.}} \]

4 Oefeningen

(a) $f(x)=5x+12$ continu in $a=1$?

T.B.: $\forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \R : |x-1|<\delta \Rightarrow |5x+12-5-12|<\varepsilon $
$\seteqnumber{0}{}{0}$
\begin{align*} & \Leftrightarrow & |x-1|<\delta & \Rightarrow |5x-5|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x-1|<\delta & \Rightarrow |x-1|<\frac {\varepsilon }{5} \end{align*}

\[ \Rightarrow \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+, \text { nl. kies } \delta =\frac {\varepsilon }{5}. \]

\[ \boxed {f \text { is continu in $a=1$.}} \]
(b) $f(x)=x^2$ continu in $a=0$?

T.B.: $\forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \R : |x-0|<\delta \Rightarrow |x^2-0^2|<\varepsilon $
$\seteqnumber{0}{}{0}$
\begin{align*} & \Leftrightarrow & |x|<\delta & \Rightarrow |x^2|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x|<\delta & \Rightarrow |x|<\sqrt {\varepsilon } \end{align*}

\[ \Rightarrow \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+, \text { nl. kies } \delta =\sqrt {\varepsilon }. \]

\[ \boxed {f \text { is continu in $a=0$.}} \]
(c) $f(x)=px+q$ continu in $a=10$ met $p \in \R _0$ en $q \in \R $?

T.B.: $\forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \R : |x-10|<\delta \Rightarrow |px+q-10p-q|<\varepsilon $
$\seteqnumber{0}{}{0}$
\begin{align*} & \Leftrightarrow & |x-10|<\delta & \Rightarrow |p(x-10)|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x-10|<\delta & \Rightarrow |p|\,|x-10|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x-10|<\delta & \Rightarrow |x-10|<\frac {\varepsilon }{|p|} \end{align*}

\[ \Rightarrow \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+, \text { nl. kies } \delta =\frac {\varepsilon }{|p|}. \]

\[ \boxed {f \text { is continu in $a=10$.}} \]
(d) $f(x)=-x^2+6x-7$ continu in $a=3$?

T.B.: $\forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \R : |x-3|<\delta \Rightarrow |-x^2+6x-7+9-18+7|<\varepsilon $
$\seteqnumber{0}{}{0}$
\begin{align*} & \Leftrightarrow & |x-3|<\delta & \Rightarrow |-x^2+6x-9|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x-3|<\delta & \Rightarrow |-(x-3)^2|<\varepsilon \\ & \Leftrightarrow & |x-3|<\delta & \Rightarrow |x-3|<\sqrt {\varepsilon } \end{align*}

\[ \Rightarrow \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in R_0^+, \text { nl. kies } \delta =\sqrt {\varepsilon }. \]

\[ \boxed {f \text { is continu in $a=3$.}} \]

II Links- en rechtscontinu

1 Definitie

\[ \begin {array}{c} f \text { is } \begin {cases} \text {linkscontinu}\\ \text {rechtscontinu} \end {cases} \text { in } a \in \dom f \\[1ex] \Updownarrow \\[1ex] \begin {array}{c} \forall B \in \mathcal {V}_{f(a)}\; \exists A \begin {cases} \text { linker omgeving}\\ \text { rechter omgeving} \end {cases} \text { van } a : f(A) \subset B \end {array}\\ \Updownarrow \\[1ex] \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \dom f: \begin {cases} a-\delta < x < a\\ a < x < a+\delta \end {cases} \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \end {array} \]

2 Gevolg

\[ \boxed { \begin {array}{c} f \text { is continu in } [a,b] \\[1ex] \Updownarrow \\[1ex] \begin {array}{ll} 1) & f \text { is continu in } ]a,b[ \\[0.5ex] 2) & f \text { is rechtscontinu in } a \\[0.5ex] 3) & f \text { is linkscontinu in } b \end {array} \end {array} } \]

3 Eigenschap

\[ \boxed { \begin {array}{c} f \text { is continu in elk punt } a \in \dom f \\[1ex] \Updownarrow \\[1ex] f \text { is links- en rechtscontinu in } a \end {array} } \]

4 Oefeningen

VBTL – Analyse 2: p109, nr 1 (met GRM), 2

III Continuïteit en bewerkingen met functies

1 Eigenschappen

Als $f$ en $g$ continu zijn in $a \in \R $, dan

\[ \begin {array}{ll} 1) & f+g \text { is continu in } a. \\[0.5ex] 2) & k \cdot f \text { is continu in } a \quad (k \in \R ). \\[0.5ex] 3) & f \cdot g \text { is continu in } a. \\[0.5ex] 4) & g(a) \neq 0 \Rightarrow \dfrac {f}{g} \text { is continu in } a. \\[1ex] 5) & \begin {array}[t]{l} \text {Als } f \text { continu is in } a \text { en } g \text { continu is in } b=f(a),\\ \text {dan is } g \circ f \text { continu in } a. \end {array} \end {array} \]

Zonder bewijs.

2 Gevolg

\[ \boxed { \begin {array}{c} \text {Elke veeltermfunctie, elke rationale functie en elke irrationale functie} \\ \text {is continu in haar domein!} \end {array} } \]

Het volstaat dus voor een algebraïsche functie om haar domein te bepalen om de continuïteit na te gaan.

Ter herinnering:

\[ \begin {array}{lll} \dom (\text {veeltermfunctie}) & = & \R \\[0.5ex] \dom (\text {rationale functie}) & : & \text {B.V.: noemer} \neq 0 \\[0.5ex] \dom (\text {irrationale functie}) & : & \text {B.V.: onder } \sqrt {\phantom {x}} \geq 0 \end {array} \]

3 Oefeningen

VBTL Analyse 2: p109 nr 3

4 Toch een bewijs

Bewijs.

Stel $f$ en $g$ continu in $a$
T.b.:

\[ f+g \text { is continu in } a. \]

Neem $\varepsilon \in \R _0^+$. Omdat $f$ continu is in $a$:

\[ \exists \delta _1 \in \R _0^+\; \forall x \in \dom f: |x-a|<\delta _1 \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\frac {\varepsilon }{2}. \]

Omdat $g$ continu is in $a$:

\[ \exists \delta _2 \in \R _0^+\; \forall x \in \dom g: |x-a|<\delta _2 \Rightarrow |g(x)-g(a)|<\frac {\varepsilon }{2}. \]

Kies

\[ \delta =\min \{\delta _1,\delta _2\}. \]

Dan geldt voor $x \in \dom (f+g)$:

\begin{align*} & & |x-a| &< \delta \\ & \Rightarrow & |x-a| &< \delta _1 && \text {en } |x-a|<\delta _2 \\ & \Rightarrow & |f(x)-f(a)| &< \frac {\varepsilon }{2} && \text {en } |g(x)-g(a)|<\frac {\varepsilon }{2} \end{align*} Dus:

\begin{align*} & & |(f+g)(x)-(f+g)(a)| & = |f(x)+g(x)-f(a)-g(a)| \\ & & & = |(f(x)-f(a))+(g(x)-g(a))| \\ & \leq & & |f(x)-f(a)|+|g(x)-g(a)| \\ & < & & \frac {\varepsilon }{2}+\frac {\varepsilon }{2} \\ & = & & \varepsilon \end{align*} Bijgevolg:

\[ \forall \varepsilon \in \R _0^+\; \exists \delta \in \R _0^+\; \forall x \in \dom (f+g): |x-a|<\delta \Rightarrow |(f+g)(x)-(f+g)(a)|<\varepsilon . \]

\[ \boxed {f+g \text { is continu in } a.} \]

IV Eigenschappen van functies die continu zijn in gesloten interval

1 Weierstrass of tussenwaardenstelling

Stelling

Is een functie $f$ continu $\forall x \in [a,b]$, dan neemt ze in $[a,b]$ minstens één maal elke waarde aan begrepen tussen $f(a)$ en $f(b)$.

Meetkundige betekenis

(-tikz- diagram)

\[ \forall p \in [f(a),f(b)], \]

\[ \exists m \in [a,b]: \]

\[ f(m)=p \]

2 Bolzano

= bijzonder geval Weierstrass met $p=0$

Stelling

Is een functie $f$ continu in $[a,b]$ en hebben $f(a)$ en $f(b)$ een verschillend teken, dan bestaat er minstens één $m \in ]a,b[$ waarvoor

\[ f(m)=0. \text { (dus $m$ is een nulwaarde)} \]

Meetkundige betekenis

(-tikz- diagram)

Bewijs.

Stel $f$ continu in $[a,b]$ en $f(a)$ en $f(b)$ hebben een verschillend teken.

Zonder verlies van algemeenheid:

\[ f(a)<0<f(b). \]

Het andere geval volgt analoog, of door $-f$ te bekijken.

Beschouw

\[ S=\{x \in [a,b] \mid f(x)<0\}. \]

Dan is $S \neq \varnothing $, want $a \in S$, en $S$ is naar boven begrensd door $b$. Dus bestaat, door de volledigheid van $\R $,

\[ m=\sup S. \]

We tonen aan dat $f(m)=0$.

Stel eerst $f(m)<0$. Dan is

\[ \varepsilon =-f(m)>0. \]

Omdat $f$ continu is in $m$:

\[ \exists \delta \in \R _0^+ \; \forall x \in [a,b]: |x-m|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(m)|<\varepsilon . \]

Dus voor zulke $x$:

\begin{align*} & & |f(x)-f(m)| &< -f(m) \\ &\Rightarrow & f(x)-f(m) &< -f(m) \\ &\Rightarrow & f(x) &< 0. \end{align*}

Er liggen dus nog punten $x>m$ met $f(x)<0$. Dit is in strijd met

\[ m=\sup S. \]

Dus $f(m)<0$ kan niet.

Stel nu $f(m)>0$. Dan is

\[ \varepsilon =f(m)>0. \]

Omdat $f$ continu is in $m$:

\[ \exists \delta \in \R _0^+ \; \forall x \in [a,b]: |x-m|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(m)|<\varepsilon . \]

Dus voor zulke $x$:

\begin{align*} & & |f(x)-f(m)| &< f(m) \\ &\Rightarrow & -f(m) &< f(x)-f(m) \\ &\Rightarrow & 0 &< f(x). \end{align*}

Dus in een omgeving links van $m$ liggen geen punten van $S$. Dit is in strijd met

\[ m=\sup S, \]

want punten van $S$ moeten willekeurig dicht links van $m$ liggen.

Bijgevolg:

\[ f(m) \not < 0 \qquad \text {en} \qquad f(m) \not > 0. \]

Dus:

\[ \boxed {f(m)=0} \]

Daarmee:

\[ \boxed {\exists m \in ]a,b[ : f(m)=0.} \]

3 Toepassing: Benaderingsmethode bij bepalen van nulwaarden

Voorbeeld

Bepaal tot op $2$ decimalen nauwkeurig de nulwaarden van

\[ f(x)=x^2-3x+1. \]

\[ \begin {array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & + & - & - & + \end {array} \]

\[ \begin {array}{c} f(0) \text { en } f(1) \text { hebben verschillend teken} \Rightarrow \text { nulwaarde tussen } 0 \text { en } 1, \\[0.5ex] f(2) \text { en } f(3) \text { hebben verschillend teken} \Rightarrow \text { nulwaarde tussen } 2 \text { en } 3. \end {array} \]

Tussen $0$ en $1$:

Neem midden $m_1=\dfrac 12$ van $[0,1]$.

\[ f(m_1)=-0,25<0. \]

\[ f(0) \text { en } f(m_1) \text { hebben verschillend teken} \Rightarrow \text { nulwaarde tussen } 0 \text { en } \frac 12. \]

Neem midden $m_2=\dfrac 14$ van $\left [0,\dfrac 12\right ]$.

\[ f(m_2)=0,3125>0 \qquad \Rightarrow \text { nulwaarde tussen } \frac 14 \text { en } \frac 12. \]

Neem midden $m_3=\dfrac 38$ van $\left [\dfrac 14,\dfrac 12\right ]$.

\[ f\left (\frac 38\right )>0. \qquad \Rightarrow \text { nulwaarde tussen } \frac 38 \text { en } \frac 12. \]

\[ \begin {array}{c|cc|cc} \text {stap} & \multicolumn {2}{c|}{\text {startwaarden}} & \multicolumn {2}{c}{\text {midden}} \\ & a & b & m & f(m) \\ \hline 1 & 0 & 1 & \frac 12 & -\frac 14<0 \\ 2 & 0 & \frac 12 & \frac 14 & 0,3125>0 \\ 3 & \frac 14 & \frac 12 & \frac 38=0,375 & 0,015625>0 \\ 4 & \frac 38 & \frac 12 & \frac {7}{16}=0,4375 & -0,1211<0 \\ 5 & \frac 38 & \frac {7}{16} & \frac {13}{32}=0,40625 & -0,0537<0 \\ 6 & \frac 38 & \frac {13}{32} & \frac {25}{64}=0,390625 & -0,0193<0 \\ 7 & \frac 38 & \frac {25}{64} & \frac {49}{128}=0,3828125 & -0,0019<0 \\ 8 & \frac 38 & \frac {49}{128} & \frac {97}{256}=0,37890625 & 0,00685>0 \\ 9 & \frac {97}{256} & \frac {49}{128} & \frac {195}{512}=0,380859 & 0,00248>0 \\ 10 & \frac {195}{512} & \frac {49}{128} & \frac {391}{1024}=0,381835 & 0,00029>0 \end {array} \]

\[ \Rightarrow \boxed {\text {nulwaarde } \approx 0,38 \text { op } 2 \text { decimalen}} \]

Programmeren

Zie lessen informaticawetenschappen in 6de.

4 Oefeningen

VBTL – Analyse 2 : p109 nr6

Continuïteit

Leerplandoelstellingen (GO! Navigator)

I Continuïteit van functie in \(\R \)

1 Intuïtieve definitie

Voorbeelden

Definitie

2 Omgevingsdefinitie

Inwendig punt

Omgeving

Continu

Discontinu

3 \(\varepsilon ,\delta \)-definitie

Opstellen

Voorbeeld

4 Oefeningen

II Links- en rechtscontinu

1 Definitie

2 Gevolg

3 Eigenschap

4 Oefeningen

III Continuïteit en bewerkingen met functies

1 Eigenschappen

2 Gevolg

3 Oefeningen

4 Toch een bewijs

Bewijs.

IV Eigenschappen van functies die continu zijn in gesloten interval

1 Weierstrass of tussenwaardenstelling

Stelling

Meetkundige betekenis

2 Bolzano

Stelling

Meetkundige betekenis

Bewijs.

3 Toepassing: Benaderingsmethode bij bepalen van nulwaarden

Voorbeeld

Programmeren

4 Oefeningen