Integratiemethodes

I Onbepaalde integraal

1 Definitie

Is \(F\) een primitieve functie van \(f\), dan wordt de verzameling van alle primitieve functies van \(f\),

\[ \{\,F + C \mid C \in \mathbb {R}\,\}, \]

de onbepaalde integraal van \(f\) genoemd.

\[ \int f(x)\,dx \;=\; \{\,F + C \mid C \in \mathbb {R}\,\}. \]

Hierbij heet \(f(x)\) het integrandum en \(\int \) het integraalteken.

2 Eigenschappen

• • \(\displaystyle d\!\left (\int f(x)\,dx\right ) = d(F(x)) = F'(x)\,dx = f(x)\,dx. \)
  Dus: \(d\) na \(\int \) heffen elkaar op.

• • \(\displaystyle \int dF(x) = \int F'(x)\,dx = \int f(x)\,dx = F(x) + C. \)
  Dus: \(\int \) na \(d\) heffen elkaar op (op een constante term na).

\(\Rightarrow \) Integreren en differentiëren zijn inverse bewerkingen!

3 Rekenregels

\begin{align*} \int (f+g)\,dx \;&=\; \int f\,dx \;+\; \int g\,dx\\ \int k\,f(x)\,dx \;&=\; k\int f(x)\,dx \end{align*}

Meer algemeen, voor \(a,b\in \mathbb {R}\):

\[ \int \bigl (a\,f(x)+b\,g(x)\bigr )\,dx \;=\; a\int f\,dx \;+\; b\int g\,dx. \]

Maar:

\begin{align*} \int f\cdot g\,dx \;&\neq \; \left (\int f\,dx\right )\left (\int g\,dx\right )\\ \int \frac {f}{g}\,dx \;&\neq \; \frac {\int f\,dx}{\int g\,dx}. \end{align*} zie later bij partiële integratie.

II Basisintegralen

Zie ook HB Analyse 4 p. 71. Fundamentele integralen

1 Oefeningen

p75 nr 1, 2, 4, e.v.

III Substitutiemethode

1 Geval 1: \(t=ax+b\)

Neem

\[ t=ax+b \quad \Rightarrow \quad dt=a\,dx \quad \Rightarrow \quad dx=\frac 1a\,dt. \]

Voorbeeld 1

\begin{align*} \int \sin (x+3)\,dx &= \int \sin t\,dt \qquad (t=x+3,\ dt=dx)\\ &= -\cos t + C\\ &= -\cos (x+3)+C. \end{align*}

Praktisch:

\[ \int \sin (x+3)\,dx=\int \sin (x+3)\,d(x+3)=-\cos (x+3)+C. \]

Voorbeeld 2

\begin{align*} \int e^{-2x+1}\,dx &= \int e^{t}\left (-\frac 12\,dt\right ) \qquad (t=-2x+1,\ dt=-2\,dx)\\ &= -\frac 12\int e^{t}\,dt\\ &= -\frac 12 e^{t}+C\\ &= -\frac 12 e^{-2x+1}+C. \end{align*}

Praktisch:

\[ \int e^{-2x+1}\,dx = -\frac 12\int e^{-2x+1}\,d(-2x+1) = -\frac 12 e^{-2x+1}+C. \]

Voorbeeld 3

\begin{align*} \int \sin ^2 x\,dx &= \int \frac {1-\cos 2x}{2}\,dx\\ &= \frac 12\int 1\,dx - \frac 12\int \cos 2x\,dx\\ &= \frac 12 x - \frac 12\cdot \frac 12\sin 2x + C\\ &= \frac 12 x - \frac 14\sin 2x + C\\ &= \frac 12 x - \frac 14(2\sin x\cos x) + C\\ &= \frac {x-\sin x\cos x}{2}+C. \end{align*}

\[ \int \cos ^2 x\,dx=\frac {x+\sin x\cos x}{2}+C \qquad \text {(analoog).} \]

Voorbeeld 4

\begin{align*} \int \frac {1}{a^{2}+x^{2}}\,dx &= \frac {1}{a^{2}}\int \frac {1}{1+\left (\frac {x}{a}\right )^{2}}\,dx\\ &= \frac {1}{a^{2}}\cdot a \int \frac {1}{1+\left (\frac {x}{a}\right )^{2}}\,d\!\left (\frac {x}{a}\right )\\ &= \frac {1}{a}\,\arctan \!\left (\frac {x}{a}\right )+C. \end{align*}

\begin{align*} \int \frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx &= \frac {1}{a}\int \frac {1}{\sqrt {1-\left (\frac {x}{a}\right )^{2}}}\,dx\\ &= \frac {1}{a}\cdot a \int \frac {1}{\sqrt {1-\left (\frac {x}{a}\right )^{2}}}\,d\!\left (\frac {x}{a}\right )\\ &= \arcsin \!\left (\frac {x}{a}\right )+C \qquad (a>0). \end{align*}

\[ \int \frac {1}{a^{2}+x^{2}}\,dx=\frac {1}{a}\,\arctan \!\left (\frac {x}{a}\right )+C \]

\[ \int \frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx=\arcsin \!\left (\frac {x}{a}\right )+C \qquad (a>0). \]

2 Geval 2: \(t=\text {noemer}\)

Indien de integranda een breuk is, waarvan de teller de afgeleide is van de noemer:

\[ \int \frac {f'(x)}{f(x)}\,dx \qquad \text {met}\qquad t=f(x)\ \Rightarrow \ dt=f'(x)\,dx, \]

dan geldt

\[ \int \frac {f'(x)}{f(x)}\,dx =\int \frac {dt}{t} =\ln |t|+C =\ln |f(x)|+C. \]

Voorbeeld 1

\begin{align*} \int \frac {e^{x}}{e^{x}+5}\,dx &= \int \frac {dt}{t} \qquad (t=e^{x}+5,\ dt=e^{x}\,dx)\\ &= \ln |t|+C\\ &= \ln |e^{x}+5|+C. \end{align*}

Voorbeeld 2

\begin{align*} \frac {1}{3}\int \frac {3x^{2}}{x^{3}+5}\,dx &= \frac {1}{3}\int \frac {dt}{t} \qquad (t=x^{3}+5,\ dt=3x^{2}\,dx)\\ &= \frac {1}{3}\ln |t|+C\\ &= \frac {1}{3}\ln |x^{3}+5|+C. \end{align*}

3 Geval 3: \(\displaystyle \int f(x)^n\,f'(x)\,dx \ \Rightarrow \ t=f(x)\)

Als de integraal de vorm heeft

\[ \int f(x)^n\,f'(x)\,dx, \qquad \text {neem dan } t=f(x)\ \Rightarrow \ dt=f'(x)\,dx. \]

Dan wordt

\[ \int f(x)^n\,f'(x)\,dx=\int t^n\,dt=\frac {t^{n+1}}{n+1}+C =\frac {f(x)^{n+1}}{n+1}+C \qquad (n\neq -1). \]

Voorbeeld 1

\begin{align*} \int \frac {\cos x}{\sin ^{5}x}\,dx &= \int \sin ^{-5}x\cdot \cos x\,dx\\ &= \int t^{-5}\,dt \qquad (t=\sin x,\ dt=\cos x\,dx)\\ &= \frac {t^{-4}}{-4}+C\\ &= -\frac {1}{4t^{4}}+C\\ &= -\frac {1}{4\sin ^{4}x}+C. \end{align*}

Voorbeeld 2

\begin{align*} \int (x^{3}-2x+1)^{4}\,(3x^{2}-2)\,dx &= \int t^{4}\,dt \qquad (t=x^{3}-2x+1,\ dt=(3x^{2}-2)\,dx)\\ &= \frac {1}{5}t^{5}+C\\ &= \frac {1}{5}(x^{3}-2x+1)^{5}+C. \end{align*}

4 Oefeningen

p85 nr 1, 2, 3, e.v.

IV Partiële integratie

1 Opstellen regel

Beschouw 2 afleidbare functies:

\[ f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}: x\mapsto f(x), \qquad g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}: x\mapsto g(x). \]

Dan geldt (productregel):

\[ d(f\cdot g)=df\cdot g + f\cdot dg. \]

Hieruit volgt:

\begin{align*} &&f\,dg &= d(fg) - g\,df\\ \Leftrightarrow && \int f\,dg &= \int d(fg) - \int g\,df\\ \Leftrightarrow && \int f\,dg &= fg - \int g\,df. \end{align*}

\[ \boxed {\int f\,dg = f\,g - \int g\,df} \]

Opmerkingen

• • Bijna integratie van een ’product’ !

• • De bedoeling is een integraal te vinden die makkelijker te berekenen is dan de gegeven integraal.

2 Type \(\int x^n\ln x\,dx\) en \(\int x^n\arctan x\,dx\)

1) \(\displaystyle \int \ln x\,dx\)

Kies bij partiële integratie:

\[ f=\ln x \qquad \text {en}\qquad dg=dx. \]

Dan:

\[ df=\frac {1}{x}\,dx \qquad \text {en}\qquad g=\int dx=x. \]

Dus:

\begin{align*} \int \ln x\,dx &= \int f\,dg\\ &= f\,g - \int g\,df\\ &= x\ln x - \int x\cdot \frac {1}{x}\,dx\\ &= x\ln x - \int 1\,dx\\ &= x\ln x - x + C. \end{align*}

Opmerking: \(C\) wordt toegevoegd als er geen andere constanten zijn.

2) \(\displaystyle \int x^{2}\ln x\,dx\)

Kies:

\[ f=\ln x \qquad \text {en}\qquad dg=x^{2}\,dx. \]

Dan:

\[ df=\frac {1}{x}\,dx \qquad \text {en}\qquad g=\int x^{2}\,dx=\frac {1}{3}x^{3}. \]

Dus:

\begin{align*} \int x^{2}\ln x\,dx &= f\,g-\int g\,df\\ &= \frac {1}{3}x^{3}\ln x-\int \frac {1}{3}x^{3}\cdot \frac {1}{x}\,dx\\ &= \frac {1}{3}x^{3}\ln x-\frac {1}{3}\int x^{2}\,dx\\ &= \frac {1}{3}x^{3}\ln x-\frac {1}{3}\cdot \frac {1}{3}x^{3}+C\\ &= \frac {1}{9}x^{3}\,(3\ln x-1)+C. \end{align*}

3) \(\displaystyle \int \arctan (3x)\,dx\)

Kies bij partiële integratie:

\[ f=\arctan (3x) \qquad \text {en}\qquad dg=dx. \]

Dan:

\[ df=\frac {3}{1+9x^{2}}\,dx \qquad \text {en}\qquad g=\int dx=x. \]

Dus:

\begin{align*} \int \arctan (3x)\,dx &= f\,g-\int g\,df\\ &= x\,\arctan (3x)-\int x\cdot \frac {3}{1+9x^{2}}\,dx\\ &= x\,\arctan (3x)-3\int \frac {x}{1+9x^{2}}\,dx. \end{align*}

Substitutie:

\[ t=1+9x^{2}\quad \Rightarrow \quad dt=18x\,dx \quad \Rightarrow \quad x\,dx=\frac {1}{18}\,dt. \]

Dan:

\begin{align*} 3\int \frac {x}{1+9x^{2}}\,dx &= 3\int \frac {1}{t}\cdot \frac {1}{18}\,dt\\ &= \frac {1}{6}\int \frac {1}{t}\,dt\\ &= \frac {1}{6}\ln |t|+C\\ &= \frac {1}{6}\ln (1+9x^{2})+C. \end{align*}

Conclusie:

\[ \int \arctan (3x)\,dx = x\,\arctan (3x)-\frac {1}{6}\ln (1+9x^{2})+C. \]

Oefeningen

p110 nr1

3 Type \(\int x^n e^x\,dx\)

1) \(\displaystyle \int x\,e^x\,dx\)

Kies:

\[ f=x \qquad \text {en}\qquad dg=e^x\,dx. \]

Dan:

\[ df=dx \qquad \text {en}\qquad g=\int e^x\,dx=e^x. \]

Dus:

\begin{align*} \int x\,e^x\,dx &= f\,g-\int g\,df\\ &= x\,e^x-\int e^x\,dx\\ &= x\,e^x-e^x+C\\ &= e^x(x-1)+C. \end{align*}

4 Type \(\int x^n\cos x\,dx\) en \(\int x^n\sin x\,dx\)

1) \(\displaystyle \int x\cos x\,dx\)

Kies:

\[ f=x \qquad \text {en}\qquad dg=\cos x\,dx. \]

Dan:

\[ df=dx \qquad \text {en}\qquad g=\int \cos x\,dx=\sin x. \]

Dus:

\begin{align*} \int x\cos x\,dx &= f\,g-\int g\,df\\ &= x\sin x-\int \sin x\,dx\\ &= x\sin x+\cos x+C. \end{align*}

Algemeen

• • Bij de combinatie van een veeltermfunctie met een exponentiële functie, kies je de veelterm voor \(f\) en de exponentiële met \(dx\) voor \(dg\).

• • Bij de combinatie van een veeltermfunctie met een goniometrische functie, kies je de veelterm voor \(f\) en de goniometrische met \(dx\) voor \(dg\).

2) \(\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx\)

Eerst partiële integratie:

\[ f=x^{2} \qquad \text {en}\qquad dg=\sin x\,dx. \]

Dan:

\[ df=2x\,dx \qquad \text {en}\qquad g=\int \sin x\,dx=-\cos x. \]

\begin{align*} I=\int x^{2}\sin x\,dx &= f\,g-\int g\,df\\ &= -x^{2}\cos x-\int (-\cos x)\,2x\,dx\\ &= -x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx. \end{align*}

Nogmaals partiële integratie op \(J=\int 2x\cos x\,dx\):

\[ f=2x,\quad dg=\cos x\,dx \qquad \Rightarrow \qquad df=2\,dx,\quad g=\sin x. \]

\begin{align*} J &= 2x\sin x-\int \sin x\cdot 2\,dx\\ &= 2x\sin x-2\int \sin x\,dx\\ &= 2x\sin x+2\cos x + C. \end{align*}

Dus:

\[ \int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x + C. \]

Oefeningen

p110 nr2

5 Type \(\displaystyle \int \sqrt {x^{2}+k}\,dx\) en \(\displaystyle \int \sqrt {k-x^{2}}\,dx\)

Voorbeeld 1 Bereken

\[ I=\int \sqrt {x^{2}+5}\,dx. \]

Oplossing Partiële integratie met

\[ f=\sqrt {x^{2}+5},\quad dg=dx \qquad \Rightarrow \qquad df=\frac {x}{\sqrt {x^{2}+5}}\,dx,\quad g=x. \]

Dan:

\begin{align*} I &= x\sqrt {x^{2}+5}-\int x\,d\!\left (\sqrt {x^{2}+5}\right )\\ &= x\sqrt {x^{2}+5}-\int x\cdot \frac {x}{\sqrt {x^{2}+5}}\,dx\\ &= x\sqrt {x^{2}+5}-\int \frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}+5}}\,dx\\ &= x\sqrt {x^{2}+5}-\int \frac {x^{2}+5-5}{\sqrt {x^{2}+5}}\,dx\\ &= x\sqrt {x^{2}+5}-\int \frac {x^{2}+5}{\sqrt {x^{2}+5}}\,dx +5\int \frac {1}{\sqrt {x^{2}+5}}\,dx\\ &= x\sqrt {x^{2}+5}-\underbrace {\int \sqrt {x^{2}+5}\,dx}_{=\,I} +5\int \frac {1}{\sqrt {x^{2}+5}}\,dx. \end{align*}

In het rechterlid verschijnt opnieuw de te zoeken integraal.

Voor de laatste integraal gebruiken we de basisintegraal:

\[ \int \frac {1}{\sqrt {x^{2}+k^{2}}}\,dx = \ln \!\left |x+\sqrt {x^{2}+k^{2}}\right |+C. \]

Hier is \(k^{2}=5\), dus:

\[ \int \frac {1}{\sqrt {x^{2}+5}}\,dx = \ln \!\left |x+\sqrt {x^{2}+5}\right |+C. \]

Bijgevolg:

\[ 2I=x\sqrt {x^{2}+5}+5\ln \!\left |x+\sqrt {x^{2}+5}\right |+C \]

en dus:

\[ \boxed { I=\frac 12\,x\sqrt {x^{2}+5}+\frac 52\,\ln \!\left |x+\sqrt {x^{2}+5}\right |+C }. \]

 Oefeningen

p110 nr3

6 Type \(\int e^x\sin x\,dx\) en \(\int e^x\cos x\,dx\)

1) \(\displaystyle \int e^x\cos x\,dx\)

Zet

\[ I=\int e^x\cos x\,dx. \]

Eerste partiële integratie:

\[ f=e^x,\quad dg=\cos x\,dx \qquad \Rightarrow \qquad df=e^x\,dx,\quad g=\sin x. \]

\begin{align*} I &= e^x\sin x-\int e^x\sin x\,dx. \end{align*}

Noem

\[ J=\int e^x\sin x\,dx. \]

Tweede partiële integratie:

\[ f=e^x,\quad dg=\sin x\,dx \qquad \Rightarrow \qquad df=e^x\,dx,\quad g=-\cos x. \]

\begin{align*} J &= -e^x\cos x+\int e^x\cos x\,dx\\ &= -e^x\cos x+\underbrace {\int e^x\cos x\,dx}_{=\,I}. \end{align*}

Invullen in de eerste vergelijking:

\begin{align*} I &= e^x\sin x - J\\ &= e^x\sin x -\Bigl (-e^x\cos x+\underbrace {\int e^x\cos x\,dx}_{=\,I}\Bigr )\\ &= e^x\sin x + e^x\cos x - I. \end{align*}

Dus:

\[ 2I=e^x(\sin x+\cos x) \qquad \Rightarrow \qquad I=\frac 12 e^x(\sin x+\cos x)+C. \]

Methode 2: goniometrische als \(f\) en exponentiële met \(dx\) als \(dg\) (zelfde opgave)

Neem opnieuw

\[ I=\int e^x\cos x\,dx. \]

Eerste partiële integratie:

\[ f=\cos x,\quad dg=e^x\,dx \qquad \Rightarrow \qquad df=-\sin x\,dx,\quad g=e^x. \]

\begin{align*} I &= f\,g-\int g\,df\\ &= e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)\,dx\\ &= e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx. \end{align*}

Noem

\[ J=\int e^x\sin x\,dx. \]

Tweede partiële integratie:

\[ f=\sin x,\quad dg=e^x\,dx \qquad \Rightarrow \qquad df=\cos x\,dx,\quad g=e^x. \]

\begin{align*} J &= e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx\\ &= e^x\sin x-\underbrace {\int e^x\cos x\,dx}_{=\,I}. \end{align*}

Invullen:

\begin{align*} I &= e^x\cos x+J\\ &= e^x\cos x+\Bigl (e^x\sin x-\underbrace {\int e^x\cos x\,dx}_{=\,I}\Bigr )\\ &= e^x(\cos x+\sin x)-I. \end{align*}

Dus:

\[ 2I=e^x(\sin x+\cos x) \qquad \Rightarrow \qquad I=\frac 12 e^x(\sin x+\cos x)+C. \]

Oefeningen

p111 nr4

7 Recursieformules voor \(\int \sin ^n x\,dx\) en \(\int \cos ^n x\,dx\)

1) Recursie voor \(\displaystyle I_n=\int \sin ^n x\,dx\)

Zet

\[ I_n=\int \sin ^n x\,dx=\int \sin ^{n-1}x\;\sin x\,dx. \]

Kies bij partiële integratie:

\[ f=\sin ^{n-1}x,\quad dg=\sin x\,dx \qquad \Rightarrow \qquad df=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx,\quad g=-\cos x. \]

Dan:

\begin{align*} I_n &= f\,g-\int g\,df\\ &= -\sin ^{n-1}x\cos x+\int \cos x\,(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx\\ &= -\sin ^{n-1}x\cos x+(n-1)\int \sin ^{n-2}x\cos ^2x\,dx\\ &= -\sin ^{n-1}x\cos x+(n-1)\int \sin ^{n-2}x(1-\sin ^2x)\,dx\\ &= -\sin ^{n-1}x\cos x+(n-1)\underbrace {\int \sin ^{n-2}x\,dx}_{=\,I_{n-2}} -(n-1)\underbrace {\int \sin ^{n}x\,dx}_{=\,I_n}. \end{align*}

Dus:

\[ nI_n=-\sin ^{n-1}x\cos x+(n-1)I_{n-2} \]

en de recursieformule wordt:

\[ \boxed { I_n=-\frac {1}{n}\sin ^{n-1}x\cos x+\frac {n-1}{n}\,I_{n-2} } \qquad (n\ge 2). \]

2) Recursie voor \(\displaystyle J_n=\int \cos ^n x\,dx\)

Zet

\[ J_n=\int \cos ^n x\,dx=\int \cos ^{\,n-1}x\;\cos x\,dx. \]

Kies:

\[ f=\cos ^{\,n-1}x,\quad dg=\cos x\,dx \qquad \Rightarrow \qquad df=-(n-1)\cos ^{\,n-2}x\sin x\,dx,\quad g=\sin x. \]

Dan:

\begin{align*} J_n &= f\,g-\int g\,df\\ &= \cos ^{\,n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{\,n-2}x\sin ^2x\,dx\\ &= \cos ^{\,n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{\,n-2}x(1-\cos ^2x)\,dx\\ &= \cos ^{\,n-1}x\sin x+(n-1)\underbrace {\int \cos ^{\,n-2}x\,dx}_{=\,J_{n-2}} -(n-1)\underbrace {\int \cos ^{\,n}x\,dx}_{=\,J_n}. \end{align*}

Dus:

\[ nJ_n=\cos ^{\,n-1}x\sin x+(n-1)J_{n-2} \]

en:

\[ \boxed { J_n=\frac {1}{n}\cos ^{\,n-1}x\sin x+\frac {n-1}{n}\,J_{n-2} } \qquad (n\ge 2). \]

Voorbeeld: \(\displaystyle I_3=\int \sin ^3 x\,dx\)

\begin{align*} I_3 &= -\frac {1}{3}\sin ^{2}x\cos x+\frac {2}{3}I_{1}\\ &= -\frac {1}{3}\sin ^{2}x\cos x+\frac {2}{3}\int \sin x\,dx\\ &= -\frac {1}{3}\sin ^{2}x\cos x-\frac {2}{3}\cos x + C\\ &= -\frac {1}{3}\bigl (\sin ^{2}x\cos x+2\cos x\bigr )+C. \end{align*}

Oefeningen

p113 nr10

V Herhalingsoefeningen

Belangrijkste van dit hoofdstuk:
p115 nr1-38