\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\newcommand {\opl }[2][]{\bbox [whitesmoke, 3px, border: 1px dashed darkseagreen]{\class {opl-math opl-optie-#1}{#2}}}\)
\(\newcommand {\hint }[1]{\class {hint}{#1}}\)
\(\newcommand {\aside }[1]{\class {aside}{#1}}\)
\(\newcommand {\vov }[1]{\aside {{\vphantom {#1}}^{\textstyle \lower {0.7ex}{\text {`}}}\mkern -1mu\mathopen {}#1\mathclose {}\mkern -1mu{\vphantom {#1}}^{\textstyle \lower {0.7ex}{\text
{'}}}}}\)
\(\newcommand {\truc }[1]{\class {truc}{#1}}\)
\(\newcommand {\N }{\mathbb {N}}\)
\(\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}\)
\(\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}\)
\(\newcommand {\R }{\mathbb {R}}\)
\(\newcommand {\C }{\mathbb {C}}\)
\(\newcommand {\E }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\T }{\mathsf {T}}\)
\(\newcommand {\dom }{\mathrm {dom}}\)
\(\newcommand {\ber }{\mathrm {ber}}\)
\(\newcommand {\degree }{^{\circ }}\)
\(\newcommand {\Bgsin }{\operatorname {Bgsin}}\)
\(\newcommand {\Bgcos }{\operatorname {Bgcos}}\)
\(\newcommand {\Bgtan }{\operatorname {Bgtan}}\)
\(\newcommand {\Bgcot }{\operatorname {Bgcot}}\)
\(\newcommand {\bgsin }{\operatorname {bgsin}}\)
\(\newcommand {\bgcos }{\operatorname {bgcos}}\)
\(\newcommand {\bgtan }{\operatorname {bgtan}}\)
\(\newcommand {\bgcot }{\operatorname {bgcot}}\)
\(\newcommand {\qed }{\class {mathesis-qed}{\square }}\)
\(\newcommand {\markeercellen }[4][.35]{}\)
\(\newcommand {\celpijl }[3]{}\)
\(\newcommand {\weq }{\ifnextchar [{\weqmet }{\weqzonder }}\)
\(\def \weqmet [#1]{\ifnextchar [{\weqtwee {#1}}{\weqeen {#1}}}\)
\(\def \weqtwee #1[#2]#3{\mathrel {\overset {#1}{\underset {#2}{#3}}}}\)
\(\def \weqeen #1#2{\mathrel {\overset {#1}{#2}}}\)
\(\def \weqzonder #1{\mathrel {#1}}\)
\(\newcommand {\shortstack }[2][]{\substack {#2}}\)
\(\newcommand {\scriptsize }{}\)
\(\newcommand {\tiny }{}\)
\(\newcommand {\tvmax }[1]{\begin {array}{c} \scriptstyle \text {max} \\[-0.8ex] \scriptstyle =#1 \end {array}}\)
\(\newcommand {\tvmin }[1]{\begin {array}{c} \scriptstyle \text {min} \\[-0.8ex] \scriptstyle =#1 \end {array}}\)
\(\newcommand {\markeerterm }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\lightning }{\unicode {x21AF}}\)
\(\newcommand {\arceervak }{\enclose {updiagonalstrike}{\phantom {\rule {0em}{1.2ex}}}\kern -0.33em}\)
\(\newcommand {\undefsign }{\class {undefsign}{\arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak \arceervak
\arceervak \arceervak \arceervak }}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {mathtools}\)
\(\newcommand {\vcentcolon }{\mathrel {\unicode {x2236}}}\)
\(\newcommand {\approxcolon }{\approx \vcentcolon }\)
\(\newcommand {\Approxcolon }{\approx \dblcolon }\)
\(\newcommand {\simcolon }{\sim \vcentcolon }\)
\(\newcommand {\Simcolon }{\sim \dblcolon }\)
\(\newcommand {\dashcolon }{\mathrel {-}\vcentcolon }\)
\(\newcommand {\Dashcolon }{\mathrel {-}\dblcolon }\)
\(\newcommand {\colondash }{\vcentcolon \mathrel {-}}\)
\(\newcommand {\Colondash }{\dblcolon \mathrel {-}}\)
\(\newenvironment {crampedsubarray}[1]{}{}\)
\(\newcommand {\smashoperator }[2][]{#2\limits }\)
\(\newcommand {\SwapAboveDisplaySkip }{}\)
\(\newcommand {\LaTeXunderbrace }[1]{\underbrace {#1}}\)
\(\newcommand {\LaTeXoverbrace }[1]{\overbrace {#1}}\)
\(\Newextarrow \xLongleftarrow {10,10}{0x21D0}\)
\(\Newextarrow \xLongrightarrow {10,10}{0x21D2}\)
\(\let \xlongleftarrow \xleftarrow \)
\(\let \xlongrightarrow \xrightarrow \)
\(\newcommand {\LWRmultlined }[1][]{\begin {multline*}}\)
\(\newenvironment {multlined}[1][]{\LWRmultlined }{\end {multline*}}\)
\(\let \LWRorigshoveleft \shoveleft \)
\(\renewcommand {\shoveleft }[1][]{\LWRorigshoveleft }\)
\(\let \LWRorigshoveright \shoveright \)
\(\renewcommand {\shoveright }[1][]{\LWRorigshoveright }\)
\(\newcommand {\shortintertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\bm }[1]{\boldsymbol {#1}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRnicearrayarray }[1]{\begin {array}{#1}}\)
\(\def \LWRnicearrayarrayopt #1[#2] {\begin {array}{#1}}\)
\(\newenvironment {NiceArray}[2][]{\ifnextchar [{\LWRnicearrayarrayopt {#2}}{\LWRnicearrayarray {#2}}}{\end {array}}\)
\(\newcommand {\LWRnicearraywithdelimtwo }[2][]{\ifnextchar [{\LWRnicearrayarrayopt {#2}}{\LWRnicearrayarray {#2}}}\)
\(\newenvironment {NiceArrayWithDelims}[2]{\def \LWRnicearrayrightdelim {\right #2}\left #1\LWRnicearraywithdelimtwo }{\end {array}\LWRnicearrayrightdelim }\)
\(\newenvironment {pNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{(}{)}} {\end {NiceArrayWithDelims}} \)
\(\newenvironment {bNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{[}{]}} {\end {NiceArrayWithDelims}} \)
\(\newenvironment {BNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{\{}{\}}} {\end {NiceArrayWithDelims}} \)
\(\newenvironment {vNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{\vert }{\vert }} {\end {NiceArrayWithDelims}} \)
\(\newenvironment {VNiceArray} {\begin {NiceArrayWithDelims}{\Vert }{\Vert }} {\end {NiceArrayWithDelims}} \)
\(\newenvironment {NiceMatrix}[1][]{\begin {matrix}}{\end {matrix}}\)
\(\newenvironment {pNiceMatrix}[1][]{\begin {pmatrix}}{\end {pmatrix}}\)
\(\newenvironment {bNiceMatrix}[1][]{\begin {bmatrix}}{\end {bmatrix}}\)
\(\newenvironment {BNiceMatrix}[1][]{\begin {Bmatrix}}{\end {Bmatrix}}\)
\(\newenvironment {vNiceMatrix}[1][]{\begin {vmatrix}}{\end {vmatrix}}\)
\(\newenvironment {VNiceMatrix}[1][]{\begin {Vmatrix}}{\end {Vmatrix}}\)
\(\newcommand {\LWRnicematrixBlock }[1]{#1}\)
\(\def \LWRnicematrixBlockopt <#1>#2{#2}\)
\(\newcommand {\Block }[2][]{\ifnextchar <\LWRnicematrixBlockopt \LWRnicematrixBlock }\)
\(\newcommand {\diagbox }[2]{\begin {array}{l}\hfill \quad #2\\\hline #1\quad \hfill \end {array}}\)
\(\let \hdottedline \hdashline \)
\(\newcommand {\Hline }[1][]{\hline }\)
\(\newcommand {\CodeBefore }{}\)
\(\newcommand {\Body }{}\)
\(\newcommand {\CodeAfter }{}\)
\(\newcommand {\line }[3][]{}\)
\(\newcommand {\RowStyle }[2][]{}\)
\(\newcommand {\LWRSubMatrix }[1][]{}\)
\(\newcommand {\SubMatrix }[4]{\LWRSubMatrix }\)
\(\newcommand {\OverBrace }[4][]{}\)
\(\newcommand {\UnderBrace }[4][]{}\)
\(\newcommand {\HBrace }[3][]{}\)
\(\newcommand {\VBrace }[3][]{}\)
\(\newcommand {\ShowCellNames }{}\)
\(\newcommand {\tabularnote }[2][]{}\)
\(\newcommand {\cellcolor }[3][]{}\)
\(\newcommand {\rowcolor }[3][]{}\)
\(\newcommand {\LWRrowcolors }[1][]{}\)
\(\newcommand {\rowcolors }[4][]{\LWRrowcolors }\)
\(\newcommand {\rowlistcolors }[3][]{\LWRrowcolors }\)
\(\newcommand {\columncolor }[3][]{}\)
\(\newcommand {\rectanglecolor }[4][]{}\)
\(\newcommand {\arraycolor }[2][]{}\)
\(\newcommand {\chessboardcolors }[3][]{}\)
\(\newcommand {\ldots }[1][]{\dots }\)
\(\newcommand {\Cdots }[1][]{\cdots }\)
\(\newcommand {\Vdots }[1][]{\vdots }\)
\(\newcommand {\Ddots }[1][]{\ddots }\)
\(\newcommand {\Iddots }[1][]{\mathinner {\unicode {x22F0}}}\)
\(\newcommand {\Hdotsfor }[1]{\ldots }\)
\(\newcommand {\Vdotsfor }[1]{\vdots }\)
\(\newcommand {\AutoNiceMatrix }[2]{\text {(AutoNiceMatrix #1)}}\)
\(\let \pAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix \)
\(\let \bAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix \)
\(\let \BAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix \)
\(\let \vAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix \)
\(\let \VAutoNiceMatrix \AutoNiceMatrix \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\LWRsubmultirow }[2][]{#2}\)
\(\newcommand {\LWRmultirow }[2][]{\LWRsubmultirow }\)
\(\newcommand {\multirow }[2][]{\LWRmultirow }\)
\(\newcommand {\mrowcell }{}\)
\(\newcommand {\mcolrowcell }{}\)
\(\newcommand {\STneed }[1]{}\)
\(\newcommand {\LWRldelimtwo }[1][]{\text {#1}~\LWRbigdelim }\)
\(\newcommand {\LWRldelimone }[2][]{\LWRldelimtwo }\)
\(\def \ldelim #1#2{\def \LWRbigdelim {#1}\LWRldelimone }\)
\(\newcommand {\LWRrdelimtwo }[1][]{\LWRbigdelim ~\text {#1}}\)
\(\newcommand {\LWRrdelimone }[2][]{\LWRrdelimtwo }\)
\(\def \rdelim #1#2{\def \LWRbigdelim {#1}\LWRrdelimone }\)
Hoofdstuk 4
Irrationale functies
Leerplandoelstellingen (GO! Navigator)
Basisvorming (BV3_06)
-
• BV3_06.20 (MD 06.20) De leerlingen lossen vraagstukken en problemen op door te mathematiseren en demathematiseren en door gebruik te maken van heuristieken.
-
• BV3_06.21 (MD 06.21) De leerlingen gebruiken ICT om berekeningen uit te voeren en grafische voorstellingen te maken.
Gevorderde wiskunde (WD3_06.08)
-
• WD3_06.08.18 (MD 06.08.13) De leerlingen lossen eenvoudige veeltermvergelijkingen, rationale
vergelijkingen, irrationale vergelijkingen, exponentiële vergelijkingen, logaritmische vergelijkingen en goniometrische vergelijkingen algebraïsch op.
-
• WD3_06.08.21 (MD 06.08.07) De leerlingen leggen het verband tussen de grafiek en het voorschrift van een functie en haar kenmerken.
-
– afbakening: veeltermfuncties, rationale functies, (elementaire) irrationale functies, exponentiële functies, logaritmische functies \(f(x)=\log _a(x)\), goniometrische functies \(f(x)=\cos
x\) en \(f(x)=\tan x\), cyclometrische functies, absolute waardenfunctie, meervoudig
functievoorschrift
-
– afbakening: domein, bereik, nulwaarden, tekenverloop, stijgen/dalen/constant, extrema, constante/toenemende/afnemende stijging/daling, symmetrie, periode, amplitude, asymptotisch gedrag, gedrag op oneindig
I Irrationale vergelijkingen
1 Definitie
Een irrationale vergelijking in \(\mathbb {R}\) is een vergelijking in \(\mathbb {R}\) waarbij de onbekende onder
het wortelteken voorkomt.
2 Oplossingsmethode
Om een irrationale vergelijking op te lossen zetten we de vergelijking om naar een nieuwe vergelijking zonder worteltermen. Dit
doen we typisch door te kwadrateren.
\[ A(x)=B(x)\ \Longleftrightarrow \ \bigl (A(x)\bigr )^2=\bigl (B(x)\bigr )^2, \]
maar daarbij moeten we altijd de kwadrateringsvoorwaarde (KV) opstellen: beide leden moeten hetzelfde
teken hebben.
-
1. B.V. (bestaansvoorwaarde): eis dat alle uitdrukkingen onder een wortel \(\ge 0\) zijn.
-
2. Vergelijking in standaardvorm brengen: zet alle worteltermen aan één kant (isoleer een wortelterm).
-
3. K.V. (kwadrateringsvoorwaarde): zorg dat linker lid en rechter lid hetzelfde teken hebben (meestal beide \(\ge 0\)).
-
4. Oplossen: kwadrateer (en herhaal indien nodig) tot er geen wortels meer zijn.
-
5. Controleren: controleer B.V. en K.V. (en eventueel in de oorspronkelijke vergelijking) en noteer \(V\).
3 Voorbeeld 1
Los op in \(\mathbb {R}\):
\[ \sqrt {x-1}-2=0. \]
\[ \text {B.V.: } x-1\ge 0 \Longleftrightarrow x\ge 1. \]
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)
\begin{align*}
\sqrt {x-1}-2&=0\\ \sqrt {x-1}&=2\\ x-1&=4\\ x&=5
\end{align*}
Dus \(V=\{5\}\).
4 Voorbeeld 2
Los op in \(\mathbb {R}\):
\[ \sqrt {x-1}=7-x. \]
\[ \text {B.V.: } x-1\ge 0 \Longleftrightarrow x\ge 1 \qquad \text {en}\qquad \text {K.V.: } 7-x\ge 0 \Longleftrightarrow x\le 7, \]
dus \(x\in [1,7]\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)
\begin{align*}
\sqrt {x-1}&=7-x\\ x-1&=(7-x)^2\\ x-1&=49-14x+x^2\\ 0&=x^2-15x+50
\end{align*}
\[ D=(-15)^2-4\cdot 1\cdot 50=225-200=25. \]
\[ x=\frac {15\pm 5}{2}\ \Rightarrow \ x=5\ \text { of }\ x=10. \]
Controle met \(x\in [1,7]\) geeft enkel \(x=5\). Dus \(V=\{5\}\).
5 Voorbeeld 3
Los op in \(\mathbb {R}\):
\[ \sqrt {x+4}-\sqrt {x-4}=\sqrt {x-1}. \]
\[ \text {B.V.: }\;x+4\ge 0,\;x-4\ge 0,\;x-1\ge 0 \;\Longrightarrow \; x\ge 4. \]
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)
\begin{align*}
\sqrt {x+4}-\sqrt {x-4}&=\sqrt {x-1}\\ \sqrt {x+4}&=\sqrt {x-1}+\sqrt {x-4}
\end{align*}
(K.V.: geen, beide leden \(\ge 0\).)
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)
\begin{align*}
x+4&=(x-1)+(x-4)+2\sqrt {(x-1)(x-4)}\\ x+4&=2x-5+2\sqrt {x^2-5x+4}\\ -x+9&=2\sqrt {x^2-5x+4}
\end{align*}
\[ \text {K.V.2: }-x+9\ge 0 \Longleftrightarrow x\le 9 \quad \Rightarrow \quad x\in [4,9]. \]
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)
\begin{align*}
(-x+9)^2&=4(x^2-5x+4)\\ x^2-18x+81&=4x^2-20x+16\\ 0&=3x^2-2x-65
\end{align*}
\[ D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-65)=4+780=784=28^2. \]
\[ x=\frac {2\pm 28}{6}\ \Rightarrow \ x=5\ \text { of }\ x=-\frac {13}{3}. \]
Controle met \(x\in [4,9]\) geeft enkel \(x=5\). Dus \(V=\{5\}\).
6 Oefeningen
p111 nr3
II Bespreken van irrationale functies
1 Voorbeeld 1: \(f(x)=\sqrt {4-x^2}\)
a. Domein
Eis onder het wortelteken niet-negatief:
\[ 4-x^2 \ge 0. \]
| . |
|---|
| \(x\) |
|
\(-2\) |
|
\(2\) |
|
| \(4-x^2\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(-\) |
| |
|
|
 |
|
\[ \boxed {\ \dom (f)=[-2,2]\ }. \]
b. Symmetrie
\[ f(-x)=\sqrt {4-(-x)^2}=\sqrt {4-x^2}=f(x). \]
Dus \(f\) is even en de grafiek is symmetrisch t.o.v. de \(y\)-as.
c. Nulwaarden
\[ f(x)=0 \Longleftrightarrow \sqrt {4-x^2}=0 \Longleftrightarrow 4-x^2=0 \Longleftrightarrow x=\pm 2. \]
d. Snijpunten met de assen
-
• Met de \(x\)-as: \((-2,0)\) en \((2,0)\).
-
• Met de \(y\)-as: \(x=0 \Rightarrow f(0)=\sqrt {4}=2\), dus \((0,2)\).
e. Tekenverloop
Op het domein geldt \(f(x)=\sqrt {4-x^2}\ge 0\).
| . |
|---|
| \(x\) |
|
\(-2\) |
|
\(2\) |
|
|
| \(4-x^2\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(-\) |
|
| \(\sqrt {4-x^2}\) |
\(\undefsign\) |
\(0\) |
+ |
\(0\) |
\(\undefsign\) |
|
f. Grafiek (met GRM)
\[ y=\sqrt {4-x^2}\ \Longleftrightarrow \ y^2=4-x^2\ \Longleftrightarrow \ x^2+y^2=4,\quad y\ge 0. \]
De grafiek is dus de bovenste halve cirkel met straal \(2\) en middelpunt \((0,0)\).
g. Extrema (grafisch)
-
• Absoluut maximum: \(f(0)=2\), dus maximumwaarde \(2\) bij \(x=0\).
-
• Absoluut minimum: \(f(\pm 2)=0\), dus minimumwaarde \(0\) bij \(x=-2\) en \(x=2\).
h. Stijgen en dalen (grafisch)
\[ \begin {array}{c|cccccccc} x & & -2 & & 0 & & 2 \\ \hline f(x) & \undefsign & 0 & \nearrow & 2 & \searrow & 0 & \undefsign \end {array} \]
2 Expliciet versus impliciet voorschrift
Definitie
-
• Als het voorschrift in feite in de vorm \(y=f(x)\) staat, spreken we van een expliciet gedefinieerde functie. Voor elke \(x\in \dom (f)\) kunnen we \(y\) berekenen.
-
• Als een uitdrukking in \(x\) en \(y\) in de vorm \(F(x,y)=c\) (\(c\in \mathbb {R}\)) staat, spreken we van een impliciet gedefinieerd voorschrift.
Voorbeelden
Merk op
Impliciet \(\to \) expliciet
\[ x^2+y^2=4 \Longleftrightarrow y^2=4-x^2 \Longleftrightarrow y=\sqrt {4-x^2}\ \ \text {of}\ \ y=-\sqrt {4-x^2}. \]
Dit impliciete voorschrift stelt dus geen (enkelvoudige) functie voor, maar kan wel beschreven worden door twee
irrationale functies:
\[f_1(x)=\sqrt {4-x^2} \text { en } f_2(x)=-\sqrt {4-x^2}\]
3 Voorbeeld 2: Bespreek \(3x^2+y^2=4\)
Om dit impliciet voorschrift te bespreken, zetten we het eerst om naar een expliciet voorschrift (zie vorige paragraaf):
\[ 3x^2+y^2=4 \Longleftrightarrow y^2=4-3x^2 \Longleftrightarrow y=\sqrt {4-3x^2}\ \ \text {of}\ \ y=-\sqrt {4-3x^2}. \]
Dit impliciete voorschrift stelt dus geen (enkelvoudige) functie voor, maar kan wel beschreven worden door twee
irrationale functies:
\[ f_1(x)=\sqrt {4-3x^2} \qquad \text {en}\qquad f_2(x)=-\sqrt {4-3x^2}. \]
Deze twee grafieken zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de \(x\)-as.
Bespreking van \(f_1(x)=\sqrt {4-3x^2}\)
1. Domein
\[ 4-3x^2\ge 0 \Longleftrightarrow 3x^2\le 4 \Longleftrightarrow x^2\le \frac {4}{3} \Longleftrightarrow -\frac {2\sqrt {3}}{3}\le x\le \frac {2\sqrt {3}}{3}. \]
| . |
|---|
| \(x\) |
|
\(-\frac {2\sqrt {3}}{3}\) |
|
\(\frac {2\sqrt {3}}{3}\) |
|
| \(4-3x^2\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(-\) |
| |
|
|
 |
|
\[ \boxed {\ \dom (f_1)=\left [-\frac {2\sqrt {3}}{3},\frac {2\sqrt {3}}{3}\right ]\ }. \]
2. Symmetrie
\[ f_1(-x)=\sqrt {4-3(-x)^2}=\sqrt {4-3x^2}=f_1(x), \]
dus \(f_1\) is even (symmetrisch t.o.v. de \(y\)-as).
3. Nulwaarden
\[ f_1(x)=0 \Longleftrightarrow \sqrt {4-3x^2}=0 \Longleftrightarrow 4-3x^2=0 \Longleftrightarrow x=\pm \frac {2\sqrt {3}}{3}. \]
Nulpunten: \(\left (-\frac {2\sqrt {3}}{3},0\right )\) en \(\left (\frac {2\sqrt {3}}{3},0\right )\).
4. Snijpunten met de assen
-
• Met de \(x\)-as: \(\left (-\frac {2\sqrt {3}}{3},0\right )\) en \(\left (\frac {2\sqrt {3}}{3},0\right )\).
-
• Met de \(y\)-as: \(x=0 \Rightarrow f_1(0)=2\), dus \((0,2)\).
5. Tekenverloop
| . |
|---|
| \(x\) |
|
\(-\frac {2\sqrt {3}}{3}\) |
|
\(\frac {2\sqrt {3}}{3}\) |
|
|
| \(4-3x^2\) |
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(-\) |
|
| \(f_1(x)\) |
\(\undefsign\) |
\(0\) |
\(+\) |
\(0\) |
\(\undefsign\) |
|
6. Grafiek
\[ y=\sqrt {4-3x^2} \Longleftrightarrow y^2=4-3x^2 \Longleftrightarrow 3x^2+y^2=4,\quad y\ge 0. \]
Dit is de bovenste helft van de ellips \(3x^2+y^2=4\).
7. Extrema (grafisch)
8. Stijgen en dalen (grafisch)
\[ \begin {array}{c|cccccccc} x & & -\frac {2\sqrt {3}}{3} & & 0 & & \frac {2\sqrt {3}}{3} \\ \hline f_1(x) & \undefsign & 0 & \nearrow & 2 &
\searrow & 0 & \undefsign \end {array} \]
4 Oefeningen
p111 nr2
p112 nr4, 5
III Vraagstukken
1 Voorbeeld (Dakar)
Gegeven:
-
•
\(|AO|=320\) km
-
•
\(|OB|=600\) km.
-
•
Snelheden:
-
–
woestijn \(100\) km/h
-
– weg
\(250\) km/h.
Gevraagd: Kies \(P\) op de weg en minimaliseer de reistijd van \(A\to P\to B\).
a) Rechtstreeks door de woestijn (\(A\to B\)).
\[ |AB|=\sqrt {|AO|^2+|OB|^2}=\sqrt {320^2+600^2}=680\text { km} \]
\[ t_{AB}=\frac {680}{100}=6.8\text { h}=6\text { h }48\text { min}. \]
b) Eerst naar de weg, dan over de weg (\(A\to O\to B\)).
\[ t_{AOB}=\frac {|AO|}{100}+\frac {|OB|}{250} =\frac {320}{100}+\frac {600}{250} =3.2+2.4=5.6\text { h}=5\text { h }36\text { min}. \]
c) Algemeen punt \(P\) op de weg.
Stel \(|OP|=x\) (met \(0\le x\le 600\)). Dan
\[ |AP|=\sqrt {320^2+x^2} \qquad \text {en}\qquad |PB|=600-x. \]
De totale tijd is
\[ t(x)=\frac {\sqrt {320^2+x^2}}{100}+\frac {600-x}{250}, \qquad 0\le x\le 600. \]
Bepaal (grafisch met GRM) de waarde van \(x\) waarvoor \(t(x)\) minimaal is.
2 Oefeningen
p112 nr6, 11
