Rationale functies

I Rationale vergelijkingen

1 Definitie

Een rationale vergelijking is een vergelijking waarbij de onbekende(n) optreden in een noemer.

2 Voorbeeld en methode

Beschouw:

\[ \frac {1}{x+2}+\frac {4}{3x-4}=1 \]

• 1. Bestaansvoorwaarden opstellen (BV)
  Noemers mogen niet nul zijn:

  \[ x+2\neq 0 \quad \text {en} \quad 3x-4\neq 0 \]

  dus

  \[ x\neq -2 \quad \text {en} \quad x\neq \frac {4}{3}. \]

• 2. Noemers wegwerken
  Vermenigvuldig beide leden met het k.g.v. van de noemers, namelijk \((x+2)(3x-4)\):

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} &&\left (\frac {1}{x+2}+\frac {4}{3x-4}\right )(x+2)(3x-4) &= 1\cdot (x+2)(3x-4) \\ \iff &&(3x-4) + 4(x+2) &= (x+2)(3x-4). \end{align*}

• 3. Bekomen veeltermvergelijking oplossen

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} &&3x-4 + 4x + 8 &= (x+2)(3x-4) \\ \iff &&7x+4 &= 3x^2+2x-8 \\ \iff &&0 &= 3x^2-5x-12. \end{align*} Discriminant:

  \[ D = (-5)^2 - 4\cdot 3\cdot (-12)=25+144=169=13^2. \]

  Oplossingen:

  \[ x=\frac {5-13}{6}=-\frac {4}{3} \qquad \text {of} \qquad x=\frac {5+13}{6}=3. \]

• 4. BV controleren en \(V\) noteren
  Beide oplossingen voldoen aan de bestaansvoorwaarden (\(x\neq -2\) en \(x\neq \frac {4}{3}\)), dus:

  \[ V=\left \{-\frac {4}{3},\,3\right \}. \]

3 Grafisch controleren m.b.v. GRM

y=
\(Y_1=\dfrac {1}{X+2}+\dfrac {4}{3X-4}\)
\(Y_2=1\)

2nd calc 5:intersect

4 Extra voorbeelden

Los op in \(\R \)

• (a) \(\displaystyle \frac {4}{x+2}+\frac {6}{x+3}=\frac {37}{x^2+5x+6}\)

  BV: \(x\neq -2\) en \(x\neq -3\)   (want \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\))

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \Leftrightarrow \quad \left (\frac {4}{x+2}+\frac {6}{x+3}\right )(x+2)(x+3) &= \frac {37}{(x+2)(x+3)}(x+2)(x+3)\\ \Leftrightarrow \quad 4(x+3)+6(x+2) &= 37\\ \Leftrightarrow \quad 4x+12+6x+12 &= 37\\ \Leftrightarrow \quad 10x+24 &= 37\\ \Leftrightarrow \quad 10x &= 13\\ \Leftrightarrow \quad x &= \frac {13}{10} \end{align*}

  \[ V=\left \{\frac {13}{10}\right \}. \]

• (b) \(\displaystyle \frac {x-2}{x+2}+\frac {x+2}{x-2}=\frac {4+6x}{x^2-4}\)
  

  BV: \(x\neq -2\) en \(x\neq 2\)   (want \(x^2-4=(x-2)(x+2)\))

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \Leftrightarrow \quad \left (\frac {x-2}{x+2}+\frac {x+2}{x-2}\right )(x+2)(x-2) &= \frac {4+6x}{(x+2)(x-2)}(x+2)(x-2)\\ \Leftrightarrow \quad (x-2)^2+(x+2)^2 &= 4+6x\\ \Leftrightarrow \quad (x^2-4x+4)+(x^2+4x+4) &= 4+6x\\ \Leftrightarrow \quad 2x^2+8 &= 4+6x\\ \Leftrightarrow \quad 2x^2-6x+4 &= 0\\ \Leftrightarrow \quad x^2-3x+2 &= 0\\ \Leftrightarrow \quad (x-1)(x-2) &= 0\\ \Leftrightarrow \quad x=1 \ \text {of}\ x=2 \end{align*}

  BV controleren: \(x=2\) mag niet, dus

  \[ V=\{1\}. \]

5 Oefeningen

p95 nr27

II Rationale ongelijkheden

1 Voorbeeld en methode

Los op:

\[ \frac {3x-1}{12x^2-6x-6}\ge 0 \]

• 1. Standaardvorm
  De ongelijkheid staat al in standaardvorm: \(\dfrac {T(x)}{N(x)}\ge 0\).

• 2. Nulwaarden van teller \(T\) en noemer \(N\) bepalen
  

  \[ T(x)=3x-1 \quad \Rightarrow \quad 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac {1}{3}. \]

  \[ N(x)=12x^2-6x-6=6(2x^2-x-1)=6(2x+1)(x-1). \]

  \[ N(x)=0 \Rightarrow x=-\frac {1}{2}\ \text {of}\ x=1. \]

  Dit zijn de polen (waarden waarvoor de breuk niet bestaat).

• 3. Tekenverloop opstellen
  Kritieke waarden in volgorde: \(-\dfrac {1}{2} < \dfrac {1}{3} < 1\).

  \[ \begin {array}{c|ccccccc} x & & -\tfrac 12 & & \tfrac 13 & & 1 & \\ \hline T(x) & - & & - & 0 & + & & + \\ N(x) & + & 0 & - & & - & 0 & + \\ \hline f(x)=\dfrac {T(x)}{N(x)} & - & | & + & 0 & - & | & + \end {array} \]

• 4. Ongelijkheid toepassen en \(V\) noteren
  \(\dfrac {T(x)}{N(x)}\ge 0\) betekent: positief of nul.
  Nul komt voor bij \(x=\dfrac {1}{3}\) (mag), polen \(x=-\dfrac {1}{2}\) en \(x=1\) (mogen niet).

  \[ V= \left ]-\frac {1}{2},\,\frac {1}{3}\right ] \cup \left ]1,\,+\infty \right [. \]

2 Grafisch controleren m.b.v. GRM

y=
\(Y_1=\dfrac {3X-1}{12X^2-6X-6}\)

2nd calc   2:zero

trace  (gebruik de pijltjestoetsen om \(X\) te laten lopen)

3 Extra voorbeeld

Los op:

\[ \frac {x^3-8x^2+5x+50}{x^3-x^2-4x+4}\le 0 \]

• 1. Nulwaarden bepalen van teller \(T\) en noemer \(N\)

  T:

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} x^3-8x^2+5x+50 &= 0\\ (x-5)(x^2-3x-10) &= 0\\ (x-5)(x-5)(x+2) &= 0\\ (x-5)^2(x+2) &= 0 \end{align*}

  \[ \Rightarrow \text {nulw T:}\ 5, -2. \]

  N:

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} x^3-x^2-4x+4 &= 0\\ x^2(x-1)-4(x-1) &= 0\\ (x-1)(x^2-4) &= 0\\ (x-1)(x-2)(x+2) &= 0 \end{align*}

  \[ \Rightarrow \text {nulw N:}\ 1, 2, -2. \]

• 2. Tekenverloop opstellen

  Kritieke waarden (in volgorde):

  \[ -2,\ 1,\ 2,\ 5. \]

  \[\begin {array}{r@{\,}c|ccccccccc} & x & & -2 & & 1 & & 2 & & 5 & \\ \hline \ldelim \{{2}{*}[T] & (x-5)^2 & + & + & + & + & + & + & + & 0 & + \\ & x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + & + & + \\ \hline \ldelim \{{3}{*}[N] & x-1 & - & - & - & 0 & + & + & + & + & + \\ & x-2 & - & - & - & - & - & 0 & + & + & + \\ & x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + & + & + \\ \hline & f(x) & + & / & + & | & - & | & + & 0 & + \\ & & & & & \circ & \rule [3pt]{24pt}{1pt} & \circ & & \bullet & \end {array}\]

• 3. Ongelijkheid toepassen en \(V\) noteren

  We zoeken \(f(x)\le 0\): dus negatief of nul.
  Negatief op \(\,]1,2[\). Nul bij \(x=5\).
  Punten waar \(N=0\) (\(x=-2,1,2\)) horen niet bij de oplossing.

  \[ V=\,]1,2[\,\cup \,\{5\}. \]

4 Oefeningen

p95 nr28

III Rationale functies

1 Definitie

Voorbeeld: \(f(x)=\dfrac {2x^2+7x+4}{x-3}\)

2 Voorbeelden

Voorbeeld 1: konijnenpopulatie

De grootte van een konijnenpopulatie wordt beschreven door

\[ f(t)=\frac {150t+90}{t+3}, \]

met

\[ t=\text {tijd in maanden},\qquad f(t)=\text {aantal konijnen}. \]

• (a) Schets de grafiek van \(f(t)\) (voor \(t\ge 0\)).

• (b) Hoeveel konijnen zijn er de 6de maand bijgekomen?

• (c) Na hoeveel maanden zijn er \(135\) konijnen?

• (d) Hoeveel konijnen telt deze populatie op lange termijn?

Voorbeeld 2

Opgave: Bespreek \(f(x)=\dfrac {1}{x}\)

• 1. Domein

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} x\neq 0 \qquad \Rightarrow \qquad \dom f=\mathbb {R}\setminus \{0\}. \end{align*}

• 2. Bereik

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \frac {1}{x}\neq 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ber f=\mathbb {R}\setminus \{0\}. \end{align*}

• 3. Nulwaarden
  Geen, want \(f(x)=0\) heeft geen oplossing.

• 4. Polen
  Nulwaarde van de noemer: \(x=0\).

• 5. Tekenverloop

  \[ \renewcommand {\arraystretch }{1.15} \begin {array}{c|ccccccc} x && && 0 && &\\ \hline f(x)=\dfrac {1}{x} && - && | && +& \end {array} \]

• 6. Asymptoten
  Een asymptoot van een functie is een rechte lijn waartoe de grafiek van de functie nadert wanneer de \(x\)- of \(y\)-coördinaat naar oneindig gaat.

  • • Horizontale asymptoten (HA): \(y=0\) (de \(x\)-as)

    \[ \lim _{x\to +\infty }\frac {1}{x}=0, \qquad \lim _{x\to -\infty }\frac {1}{x}=0. \]

  • • Verticale asymptoten (VA): \(x=0\) (de \(y\)-as)

    \[ \lim _{x\to 0^+}\frac {1}{x}=+\infty , \qquad \lim _{x\to 0^-}\frac {1}{x}=-\infty . \]

• 7. Stijgen & dalen

  \[ \renewcommand {\arraystretch }{1.2} \begin {array}{c|c|c|c} x & (-\infty ,0) & 0 & (0,+\infty ) \\ \hline f(x) & \searrow & \text {//} & \searrow \end {array} \]

• 8. Grafiek: \(f(x)=\dfrac {1}{x}\) is een hyperbool

3 Stijgen en dalen

Definitie

Een functie \(f\) is strikt stijgend in \([a,b]\) als en slechts als

• 1. \(f\) is gedefinieerd in \([a,b]\),

• 2. voor alle \(x_1,x_2\in [a,b]\) geldt:

  \[ x_1<x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1)<f(x_2). \]

Een functie \(f\) is strikt dalend in \([a,b]\) als en slechts als

• 1. \(f\) is gedefinieerd in \([a,b]\),

• 2. voor alle \(x_1,x_2\in [a,b]\) geldt:

  \[ x_1<x_2 \ \Rightarrow \ f(x_1)>f(x_2). \]

Eigenschap

Voor alle \(a,b\in \mathbb {R}_0^+\) geldt:

\[ a<b \ \Leftrightarrow \ \frac {1}{a}>\frac {1}{b}. \]

Gevolg

De functie \(f:x\mapsto \dfrac {1}{x}\) is strikt dalend in \(\mathbb {R}_0^+\) en ook strikt dalend in \(\mathbb {R}_0^-\).

IV Homografische functies

1 Definitie

2 Opmerkingen

• 1. Als \(c=0\), dan is

  \[ f(x)=\frac {ax+b}{d}=\frac {a}{d}\,x+\frac {b}{d}, \]

  dus een eerstegraadsfunctie.

• 2. Als \(ad=bc\), dan is \(f\) een constante functie. Inderdaad:

  \[ ad=bc \ \Rightarrow \ b=\frac {ad}{c} \ \Rightarrow \ ax+b=ax+\frac {ad}{c} =\frac {a}{c}(cx+d), \]

  zodat

  \[ f(x)=\frac {ax+b}{cx+d} =\frac {\frac {a}{c}(cx+d)}{cx+d} =\frac {a}{c}. \]

3 Verband tussen een homografische functie en \(y=\dfrac {1}{x}\)

\begin{align*} f(x) &=\frac {ax+b}{cx+d}\\ &=\frac {ax+\dfrac {ad}{c} + b - \dfrac {ad}{c}}{cx+d}\\ &=\frac {a\left (x+\frac {d}{c}\right )+b-\frac {ad}{c}}{c\left (x+\frac {d}{c}\right )}\\ &=\frac {a}{c}+\frac {b-\frac {ad}{c}}{c\left (x+\frac {d}{c}\right )}\\ &=\frac {a}{c}+\frac {bc-ad}{c^2}\cdot \frac {1}{x+\frac {d}{c}}. \end{align*}

Stel nu

\[ p=-\frac {d}{c},\qquad q=\frac {a}{c},\qquad k=\frac {bc-ad}{c^2}. \]

Dan wordt

\[ f(x)=\frac {k}{x-p}+q. \]

Een homografische functie ontstaat dus uit \(y=\dfrac {1}{x}\) door:

• • horizontaal verschuiven over \(p\) eenheden (naar rechts als \(p>0\), naar links als \(p<0\));

• • schalen in \(y\)-richting met factor \(k\) (als \(k<0\): spiegeling t.o.v. de \(x\)-as);

• • verticaal verschuiven over \(q\) eenheden (omhoog als \(q>0\), omlaag als \(q<0\)).

4 Voorbeeld 1

Bespreek: \(f(x)=\dfrac {2x+1}{x-1}\)

5 Voorbeeld 2

Bepaal het voorschrift van de homografische functie \(f\) met:

\[ \text {pool: }x=-2,\qquad \text {nulpunt: }x=4,\qquad \lim _{x\to +\infty } f(x)=3. \]

6 Oefeningen

p91 nr10, 11, 12

V Rationale functies benaderen door veeltermfuncties

1 Idee

Voor grote waarden van \(x\) kan je een rationale functie benaderen door een veeltermfunctie via de Euclidische deling van veeltermen:

\[ f(x)=\frac {P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac {R(x)}{Q(x)}, \]

waarbij \(S(x)\) het quotiënt is en \(R(x)\) de rest. Omdat \(\deg R < \deg Q\), geldt:

\[ \frac {R(x)}{Q(x)} \to 0 \quad \text {als } x\to \pm \infty , \]

dus voor grote \(|x|\) is \(f(x)\approx S(x)\).

2 Voorbeeld

We benaderen

\[ f(x)=\frac {x^4-2x^3+x^2-1}{x^2+1} \]

door een veeltermfunctie voor grote \(|x|\).

3 Grafisch controleren m.b.v. GRM

y=
\(Y_1=\dfrac {X^4-2X^3+X^2-1}{X^2+1}\)
\(Y_2=X^2-2X\)

4 Oefeningen

p92 nr13 (Opgave: Benader volgende functies en controleer m.b.v. ICT.)

VI Asymptoten bij rationale functies

1 Definitie

2 Grafisch voorbeeld

y=

\begin{align*} Y_1&=\dfrac {X^3-3X^2+2X+5}{(X+1)(X-2)}\\ Y_2&=X-2 &\text {(Schuine asymptoot)} \end{align*} 2nd prgm 4:Vertical -1 enter
2nd prgm 4:Vertical 2 enter

3 Verticale asymptoten (VA)

4 Voorbeeld: verwijderbare discontinuïteit (geen VA)

\[ f(x)=\frac {x^2+x-2}{x-1} \]

\begin{align*} x^2+x-2 &= (x-1)(x+2)\\ \Rightarrow \quad f(x) &= \frac {(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2 \qquad (x\neq 1) \end{align*}

5 Horizontale asymptoten (HA)

 Twee mogelijkheden (voor rationale functies \(f(x)=\dfrac {T(x)}{N(x)}\))

• 1. \(\deg (T)<\deg (N)\)
  Dan is

  \[ \lim _{x\to \pm \infty }\frac {T(x)}{N(x)}=0 \]

  en dus is \(y=0\) een HA.

• 2. \(\deg (T)=\deg (N)\)
  Dan is de HA gelijk aan de verhouding van de leidende coëfficiënten:

  \[ \lim _{x\to \pm \infty }\frac {a_nx^n+\cdots }{b_nx^n+\cdots }=\frac {a_n}{b_n} \qquad \Rightarrow \qquad y=\frac {a_n}{b_n}\ \text {is HA.} \]

Besluit: Als \(\deg (T)>\deg (N)\), dan heeft de functie geen horizontale asymptoot.

6 Schuine asymptoten (SA)

Dit is het geval als het quotiënt bij de Euclidische deling een eerstegraadsfunctie is, m.a.w.

\[ \deg (T)=\deg (N)+1. \]

7 Voorbeeld

Bepaal de eventuele asymptoten van

\[ f(x)=\frac {2x^2+3x-5}{x-2}. \]

8 Oefeningen

p89 nr2 p92 nr13, p93 nr17, 18 p96 nr31, 32, 34

VII Toepassingen

1 Voorbeeld: concentratie van een medicijn

De concentratie van een medicijn wordt beschreven door

\[ C(t)=\frac {12t}{t^2+2}, \]

met \(C\) in \(\text {mg}/\ell \) en \(t\) in uren (met \(t\ge 0\)). Het medicijn is werkzaam bij een concentratie vanaf \(2 \text { mg}/\ell \).

• (a) Wanneer moet de 2e injectie toegediend worden?

  We nemen aan dat het medicijn werkt vanaf \(C(t)\ge 2\).

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} C(t)\ge 2 &\Leftrightarrow \frac {12t}{t^2+2}\ge 2\\ &\Leftrightarrow \frac {12t-2(t^2+2)}{t^2+2}\ge 0\\ &\Leftrightarrow \frac {-2t^2+12t-4}{t^2+2}\ge 0. \end{align*}

  Omdat \(t^2+2>0\) voor alle \(t\), wordt dit:

  \[ -2t^2+12t-4\ge 0 \Leftrightarrow t^2-6t+2\le 0. \]

  Nulwaarden:

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} t^2-6t+2=0 &\Rightarrow t=\frac {6\pm \sqrt {36-8}}{2} =\frac {6\pm \sqrt {28}}{2} =3\pm \sqrt {7}. \end{align*}

  \[ t_1=3-\sqrt 7\approx 0.35, \qquad t_2=3+\sqrt 7\approx 5.64. \]

  \[ \renewcommand {\arraystretch }{1.2} \begin {array}{c|ccccc} t & & 0.35 & & 5.64 & \\ \hline -2t^2+12t-4 & - & 0 & + & 0 & -\\ t^2+2 & + & + & + & + & +\\ \hline \dfrac {-2t^2+12t-4}{t^2+2} & - & 0 & + & 0 & - \end {array} \]

  Dus \(C(t)\ge 2\) voor \(t\in [t_1,t_2]\).
  In context (\(t\ge 0\)):

  \[ C(t)\ge 2 \quad \text {voor} \quad t\in [3-\sqrt 7,\,3+\sqrt 7]. \]

  Interpretatie (afgerond):

  \[ 3-\sqrt 7\approx 0.35\text { u } \approx 21\text { min }15\text { s}, \qquad 3+\sqrt 7\approx 5.64\text { u } \approx 5\text { u }38\text { min }45\text { s}. \]

  Antwoordzin: Na ongeveer \(5\text { u }38\text { min }45\text { s}\) daalt de concentratie terug onder \(2\), dus dan moet een 2e injectie toegediend worden.

• (b) Concentratie op lange termijn

  \[ \lim _{t\to +\infty } \frac {12t}{t^2+2}=0. \]

  Antwoordzin: Op lange termijn verdwijnt de concentratie en nadert \(C(t)\) naar \(0\ \text {mg}/\ell \).

2 Oefeningen

p90 nr 3-9
probeer ook de extremumvraagstukken p94 nr20-22
extra uitdagingen p94 nr23-26