Rijen en convergentie

I Rijen

1 Definitie

Een rij (of sequentie) is een afbeelding van \(\N _0\) naar \(\R \)

\[ u:\N _0 \to \R ,\qquad n \mapsto u_n=u(n). \]

2 Notaties

Veelgebruikte notaties:

• • \((u_n)\) of \((u_n)_{n\in \N }\) voor de volledige rij;

• • \(u_1,u_2,u_3,\dots \) voor de eerste termen;

• • \(u_i\) heet de \(i\)-de term van de rij;

• • \(u_n\) voor de algemene term (als die bestaat).

3 Voorbeelden

• • \(u_n = 2n+1\) geeft: \(3,5,7,9,\dots \)

• • \(u_n = \dfrac {1}{n}\) geeft: \(1,\dfrac 12,\dfrac 13,\dfrac 14,\dots \)

• • \(u_n = (-1)^n\) geeft: \(-1,1,-1,1,\dots \)

4 Expliciet voorschrift

Definitie Bij een expliciet voorschrift geef je \(u_n\) rechtstreeks als formule in \(n\).

\(\Rightarrow \) elke term meteen te berekenen door \(n\) te vervangen

Voorbeeld Stel \(u_n = 3n-2\). Dan vinden we:

• • \(u_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1\)

• • \(u_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 4\)

• • \(u_{20} = 3 \cdot 20 - 2 = 58\)

5 Recursief voorschrift

Bij een recursief voorschrift definieer je:

• • een beginterm (of meerdere beginwaarden),

• • een regel om van \(u_n\) naar \(u_{n+1}\) te gaan.

Voorbeeld

\[ u_1=10,\qquad u_{n+1}=u_n+3. \]

Dan: \(u_1=10\), \(u_2=13\), \(u_3=16\), \(\dots \)

6 GRM: TI-84 (mode SEQ)

• • MODE FUNC SEQ

• • Y=

  • – nMin=1

  • – u(n)=u(n-1)+3 alpha f4

  • – u(1)=10

• • window

  • – nMin=0

  • – nmax=20

  • – Xmin=-1

  • – Xmax=20

  • – Ymin=-5

  • – Ymax=80

• • graph of 2nd table

II Rekenkundige rijen (RR)

1 Definitie

Een rij \((u_n)\) heet rekenkundig als het verschil tussen twee opeenvolgende termen constant is:

\[ u_{n+1}-u_n = v \quad (\text {constant}). \]

Het getal \(v\) heet het verschil.

\[ \boxed {u_n = u_{n-1} + v} \quad \rightarrow \text {recursief voorschrift} \]

2 Voorbeelden

• • \(4,7,10,13,\dots \) met \(v=3\)

• • \(12,9,6,3,\dots \) met \(v=-3\)

• • \(5,5,5,5,\dots \) met \(v=0\) (constante rij)

3 Algemene term

Als \(u_1\) en \(v\) gekend zijn:

\[ \begin {aligned} u_2 &= u_1 + v \\ u_3 &= u_2 + v = u_1 + 2v \\ u_4 &= u_3 + v = u_1 + 3v \\ &\vdots \\ u_n &= u_1 + (n-1)v \end {aligned} \]

\[ \boxed {u_n = u_1 + (n-1)v.} \quad \rightarrow \text {expliciet voorschrift} \]

Voorbeeld \(u_1=4\) en \(v=3\):

\[ u_n = 4+(n-1)\cdot 3 = 3n+1. \]

4 Gedrag van rij

• • Als \(v>0\), dan stijgt de rij.

• • Als \(v<0\), dan daalt de rij.

• • Als \(v=0\), dan is de rij constant.

5 Grafische voorstelling

Je tekent de punten \((n,u_n)\).

6 Eigenschap 1: Rekenkundig gemiddelde

Eigenschap

\[ \boxed { a,b,c \text { zijn drie opeenvolgende termen van RR} \iff b=\frac {a+c}{2} } \]

Bewijs

\begin{gather*} a, b, c \text { zijn drie opeenvolgende termen van RR} \\ \Updownarrow \\ b = a + v \text { en } c = b + v \\ \Updownarrow \\ b - a = v \text { en } c - b = v \\ \Updownarrow \\ b - a = c - b \\ \Updownarrow \\ 2b = a + c \\ \Updownarrow \\ b = \frac {a + c}{2} \end{gather*}

Besluit In RR is elke term het rekenkundig gemiddelde van de twee termen die hem insluiten.

7 Eigenschap 2: Symmetrische sommen

Eigenschap

\[ \boxed {u_1+u_n=u_2+u_{n-1}=u_3+u_{n-2}=\dots } \]

Bewijs

Schema:

Dus:

\[ \begin {aligned} u_2+u_{n-1} &= (u_1+v)+(u_n-v)=u_1+u_n,\\ u_3+u_{n-2} &= (u_1+2v)+(u_n-2v)=u_1+u_n,\\ &\vdots \end {aligned} \]

Voorbeeld:

\[ \text {RR: } \begin {array}{ccccccc} u_1 & u_2 & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 & u_7 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 7 & 3 & -1 & -5 & -9 & -13 & -17 \end {array} \quad (n = 7) \]

Gevolg In RR zijn alle symmetrische sommen zijn gelijk.

8 Partiële som \(s_n\)

\begin{equation*} \renewcommand {\arraystretch }{2} \begin{array}{r@{\;}c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} s_n & = & u_1 & + & u_2 & + & \dots & + & u_n \\ +\quad s_n & = & u_n & + & u_{n-1} & + & \dots & + & u_1 \\ \hline 2 \cdot s_n & = & \underbrace {(u_1 + u_n)}_{u_1 + u_n} & + & \underbrace {(u_2 + u_{n-1})}_{u_1 + u_n} & + & \dots & + & \underbrace {(u_n + u_1)}_{u_1 + u_n} \end {array} \end{equation*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow & 2 \cdot s_n &= n \cdot (u_1 + u_n) \\ &\Leftrightarrow & \Aboxed {s_n &= \frac {n \cdot (u_1 + u_n)}{2}} \end{align*}

9 Toepassingen

 Voorbeeld 1: Lineaire groei

Je spaart elke maand €\(50\) extra dan de maand ervoor. Maand 1: €\(100\), maand 2: €\(150\), maand 3: €\(200\), \(\dots \)

• (a) Soort rij?

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} &\text {Maand 1: }100,\ \text {maand 2: }150,\ \text {maand 3: }200,\dots \\ &\text {Verschillen: }150-100=50,\quad 200-150=50,\ \dots \end{align*}

  \[\text {RR: } u_1=100 \qquad v=50\]

• (b) Algemene term?

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} u_1&=100,\quad v=50\\ u_n&=u_1+(n-1)\,v \qquad \text {(algemene term rek. rij)}\\ u_n&=100+(n-1)\cdot 50\\ u_n&=100+50n-50\\ u_n&=50n+50 \end{align*}

  \[ \boxed {u_n=100+50(n-1)=50n+50} \]

• (c) Bedrag na 2 jaar?

  Na 2 jaar zijn er \(24\) maanden, dus we zoeken \(u_{24}\).

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} u_{24}&=100+(24-1)\cdot 50\\ &=100+23\cdot 50\\ &=100+1150\\ &=1250 \end{align*}

  \[ \boxed {u_{24}=1250} \]

 Voorbeeld 2

Bepaal drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij als hun som \(s\) en hun product \(p\) respectievelijk 21 en 315 zijn.

 Voorbeeld 3

De som van de eerste \(n\) natuurlijke getallen verschillend van nul.

10 Oefeningen

VBTL Analyse 1b: p20 nr 1, 2, 3, ...

III Meetkundige rijen (MR)

1 Definitie

Een rij \((u_n)\) heet meetkundig als elke term uit de vorige ontstaat door telkens met eenzelfde constant reëel getal \(q\) te vermenigvuldigen:

\[ \boxed {u_{n+1}=u_n \cdot q} \quad \rightarrow \text {recursief voorschrift} \]

Het getal \(q\) heet de reden.

2 Voorbeelden

 Voorbeeld 1

\[ u_1=4,\qquad u_{n+1}=2u_n. \]

Dan:

\[ u_1=4,\; u_2=8,\; u_3=16,\; u_4=32,\;\dots \]

 Nog voorbeelden

• • \(3,6,12,24,\dots \) met \(q=2\)

• • \(100,50,25,12.5,\dots \) met \(q=0.5\)

• • \(-2,4,-8,16,\dots \) met \(q=-2\)

• • \(5,5,5,5,\dots \) met \(q=1\) (constante rij)

3 Algemene term

Als \(u_1\) en \(q\) gekend zijn, dan kan je een expliciet voorschrift opbouwen:

\[ \begin {aligned} u_2 &= u_1\,q,\\ u_3 &= u_2\,q = (u_1\,q)\,q=u_1\,q^2,\\ u_4 &= u_3\,q = u_1\,q^3,\\ &\vdots \\ u_n &= u_1\,q^{n-1}. \end {aligned} \]

\[ \boxed {u_n=u_1\,q^{\,n-1}.} \quad \rightarrow \text {expliciet voorschrift} \]

Voorbeeld \(u_1=100\) en \(q=0.5\):

\[ u_n = 100\cdot (0.5)^{n-1}. \]

4 Gedrag van de rij

Het gedrag hangt vooral af van \(|q|\):

• • Als \(0<q<1\), dan daalt de rij en nadert ze naar \(0\) (bij \(u_1>0\)).

• • Als \(q>1\), dan groeit de rij in absolute waarde (bij \(u_1>0\) naar \(+\infty \)).

• • Als \(-1<q<0\), dan wisselen de tekens af en gaan de termen naar \(0\).

• • Als \(q\le -1\), dan wisselen de tekens af en worden de termen in absolute waarde groter (behalve \(u_1=0\)).

• • Als \(q=1\), dan is de rij constant: \(u_n=u_1\).

• • Als \(q=0\), dan: \(u_2=0\) en alle volgende termen ook \(0\).

5 Grafische voorstelling

Je tekent de punten \((n,u_n)\).

6 Eigenschap 1: Meetkundig gemiddelde

Eigenschap

\[ \boxed { a,b,c \text { zijn drie opeenvolgende termen van MR} \iff b^2=ac } \]

Bewijs

\begin{gather*} a,b,c \text { opeenvolgend in MR} \\ \Updownarrow \\ b=aq \text { en } c=bq \\ \Updownarrow \\ b=aq \text { en } c=(aq)q=aq^2 \\[1em] \Rightarrow \quad b^2=a^2q^2=a(aq^2)=ac. \end{gather*}

Gevolg Als bovendien \(a>0\) en \(c>0\), dan mag je ook schrijven:

\[ \boxed {b=\sqrt {ac}.} \]

7 Eigenschap 2: Symmetrische producten

Eigenschap

\[ \boxed {u_1u_n=u_2u_{n-1}=u_3u_{n-2}=\dots } \]

Bewijs Gebruik \(u_k=u_1q^{k-1}\):

\[ u_k\,u_{n+1-k}=\bigl (u_1q^{k-1}\bigr )\bigl (u_1q^{n-k}\bigr ) = u_1^2 q^{(k-1)+(n-k)}=u_1^2q^{n-1}, \]

dus dit product is onafhankelijk van \(k\).

Voorbeeld

\[ \text {MR: } 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ 162 \quad (q=3,\ n=5) \]

\[ u_1u_5=2\cdot 162=324,\qquad u_2u_4=6\cdot 54=324,\qquad u_3u_3=18\cdot 18=324. \]

8 Partiële som \(s_n\) MR

Voorwaarde: \(q \neq 1\)

\begin{align*} s_n &= u_1 + u_2 + \dots + u_n && \text {(som eerste $n$ termen)}\\ q \cdot s_n &= q \cdot u_1 + q \cdot u_2 + \dots + q \cdot u_n && (\times q)\\ &= u_2 + u_3 + \dots + u_{n+1} && \text {(recursieve definitie)} \end{align*}

\(s_n - q \cdot s_n\):

\begin{equation*} \renewcommand {\arraystretch }{2} \begin{array}{r@{\;}c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c@{\quad }c} s_n & = & u_1 & + & u_2 & + & \dots & + & u_n & \\ -\quad q \cdot s_n & = & & & u_2 & + & \dots & + & u_n & + & u_{n+1} \\ \hline (1 - q) \cdot s_n & = & u_1 & & & & & & & - & u_{n+1} \end {array} \end{equation*}

\begin{align*} &\Rightarrow & (1 - q) \cdot s_n &= u_1 - u_{n+1} && (u_{n+1}=u_1 \cdot q^n)\\ &\Leftrightarrow & (1 - q) \cdot s_n &= u_1 - u_1 \cdot q^n\\ &\Leftrightarrow & (1 - q) \cdot s_n &= u_1 \cdot (1 - q^n)\\[1em] &\Leftrightarrow & \Aboxed {s_n &= u_1 \cdot \frac {1 - q^n}{1 - q}} && (q \neq 1) \end{align*}

Voorwaarde: \(q = 1\)

\begin{align*} & & (u_n) & = u_1, u_1, u_1, \dots , u_1, \dots \\ & & s_n & = \underbrace {u_1 + u_1 + \dots + u_1}_{n \text { termen}} \\ & & & = n \cdot u_1 \\ & \Rightarrow & \Aboxed {s_n & = n \cdot u_1} & & (q = 1) \end{align*}

9 Toepassingen

 Voorbeeld 1: Samengestelde interest

Je zet €\(1000\) op een rekening met \(2\%\) groei per jaar.

• (a) Welke rij is dit?

  Elke periode wordt het bedrag vermenigvuldigd met \(1.02\).

  \[ \text {MR met } u_1=1000,\quad q=1.02. \]

• (b) Geef een formule voor \(u_n\).

  \[ u_n=u_1q^{n-1}=1000\cdot 1.02^{n-1}. \]

• (c) Hoeveel staat er na \(10\) jaar?

  Na \(10\) jaar is dit \(u_{10}\):

  \[ u_{10}=1000\cdot 1.02^{9}. \]

 Voorbeeld 2: Afschrijving

Een laptop verliest elk jaar \(20\%\) van zijn waarde. De startwaarde is €\(1200\).

• (a) Bepaal \(q\).

  \(20\%\) verlies betekent vermenigvuldigen met \(0.80\).

  \[ q=0.80. \]

• (b) Geef \(u_n\).

  \[ u_n=1200\cdot 0.80^{n-1}. \]

 Voorbeeld 3

Bepaal drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij waarvan het product \(p\) gelijk is aan 1000 en de kleinste term 2 is.

10 Oefeningen

VBTL Analyse 1b: p34 nr 1, 2, 3, …

IV Harmonische rijen

1 Definitie

De harmonische rij is:

\[ \boxed {u_n=\frac {1}{n}\qquad (n\ge 1).} \]

Algemener kom je ook rijen tegen van de vorm

\[ u_n=\frac {a}{b+cn}\qquad (a,b,c\in \R ,\ c\neq 0). \]

2 Voorbeelden

\[ 1,\ \frac 12,\ \frac 13,\ \frac 14,\ \frac 15,\ \dots \]

3 Grafische voorstelling

V Limiet van een rij

1 Eindige limiet

 Inleiding

Beschouw de rij

\[ u_n = 2 + \frac {(-1)^n}{n}. \]

De eerste termen zijn:

\[ u_1=1,\quad u_2=\frac 52,\quad u_3=\frac 53,\quad u_4=\frac 94,\quad u_5=\frac 95,\dots \]

Punten liggen afwisselend boven en onder de rechte \(y=2\) liggen, maar wel steeds dichter!

Afstand van \(u_n\) tot \(2\) is

\[ |u_n-2|=\left |\frac {(-1)^n}{n}\right |=\frac {1}{n}. \]

Op minder dan \(0.01\) van \(2\) We willen:

\[ |u_n-2|<0.01. \]

Omdat \(|u_n-2|=\frac 1n\), moeten we dus hebben:

\[ \frac 1n<0.01 \quad \Longleftrightarrow \quad n>100. \]

We mogen bijvoorbeeld \(n=101\) kiezen. Dan:

\[ u_{101}=2+\frac {(-1)^{101}}{101}=2-\frac 1{101}, \]

en dus

\[ |u_{101}-2|=\frac 1{101}<0.01. \]

Op minder dan \(0.0005\) van \(2\) Nu willen we:

\[ |u_n-2|<0.0005. \]

Dus:

\[ \frac 1n<0.0005 \quad \Longleftrightarrow \quad n>2000. \]

We mogen bijvoorbeeld \(n=2001\) kiezen. Dan:

\[ u_{2001}=2-\frac 1{2001}, \]

en dus

\[ |u_{2001}-2|=\frac 1{2001}<0.0005. \]

Algemeen idee Willen we dat de afstand tussen \(u_n\) en \(2\) kleiner is dan een willekeurig positief getal \(\varepsilon \), dan moeten we gewoon zorgen dat

\[ \frac 1n<\varepsilon . \]

Dat kan altijd door \(n\) groot genoeg te kiezen, bijvoorbeeld met

\[ n>\frac 1\varepsilon . \]

Met andere woorden: voor elke foutmarge \(\varepsilon >0\) kunnen we een index \(N\) vinden zodat voor alle \(n\ge N\) geldt:

\[ |u_n-2|<\varepsilon . \]

Dit is precies het idee van

\[ \lim _{n\to \infty } u_n = 2. \]

 Definitie (eindige limiet)

We zeggen dat \((u_n)\) een limiet \(L\in \R \) heeft als \(u_n\) willekeurig dicht bij \(L\) komt voor grote \(n\).

Formeler:

\[ \lim _{n\to \infty }u_n=L \]

betekent:

Voor elke foutmarge \(\varepsilon >0\) bestaat er een \(N\) zodat voor alle \(n\ge N\) geldt:

\[ |u_n-L|<\varepsilon . \]

 Nog voorbeelden

• • \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }\frac {1}{n}=0\).

• • \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }\frac {3n-1}{n+2} =\lim _{n\to \infty }\frac {3-\frac 1n}{1+\frac 2n}=3.\)

• • \(u_n=(-1)^n\) heeft geen limiet (blijft wisselen).

2 Oneindige limiet

 Inleiding

Beschouw de rij

\[ u_n = n-\frac {1}{n}. \]

De eerste termen zijn:

\[ u_1=0,\quad u_2=\frac 32,\quad u_3=\frac 83,\quad u_4=\frac {15}{4},\quad u_5=\frac {24}{5},\dots \]

We zien in de grafiek dat de punten steeds hoger komen te liggen. De rij lijkt dus zonder bovengrens te groeien.

Dat kunnen we ook algebraïsch aantonen:

\[ u_n=n-\frac 1n. \]

Boven \(10\) komen We willen een index vinden zodat alle termen vanaf daar groter zijn dan \(10\).

Nu geldt voor \(n\ge 1\):

\[ u_n=n-\frac 1n > n-1. \]

Dus het volstaat dat

\[ n-1>10. \]

Dat is waar zodra

\[ n>11. \]

We mogen dus bijvoorbeeld \(N=12\) nemen. Dan geldt voor alle \(n\ge 12\):

\[ u_n=n-\frac 1n>n-1\ge 11>10. \]

Boven \(1000\) komen Op dezelfde manier willen we:

\[ u_n>1000. \]

Omdat opnieuw

\[ u_n>n-1, \]

volstaat het dat

\[ n-1>1000. \]

Dat is waar zodra

\[ n>1001. \]

We mogen dus bijvoorbeeld \(N=1002\) nemen. Dan geldt voor alle \(n\ge 1002\):

\[ u_n=n-\frac 1n>n-1\ge 1001>1000. \]

Algemeen idee Willen we dat de termen uiteindelijk groter zijn dan een willekeurig reëel getal \(M\), dan moeten we gewoon zorgen dat

\[ n-1>M. \]

Dat kan altijd door \(n\) groot genoeg te kiezen, bijvoorbeeld met

\[ N>M+1. \]

Dan geldt voor alle \(n\ge N\):

\[ u_n=n-\frac 1n>n-1\ge N-1>M. \]

Met andere woorden: voor elke grens \(M\) kunnen we een index \(N\) vinden zodat voor alle \(n\ge N\) geldt:

\[ u_n>M. \]

Dit is precies het idee van

\[ \lim _{n\to \infty } u_n=+\infty . \]

 Definitie

\[ \lim _{n\to \infty }u_n=+\infty \]

betekent:

Voor elk getal \(M\) bestaat er een \(N\) zodat voor alle \(n\ge N\) geldt: \(u_n>M\).

Analoog definieer je \(\lim u_n=-\infty \).

3 Oefeningen

VBTL Analyse 2: p30 nr 10,11,12

4 Standaard limieten

• • \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }\frac {1}{n}=0\)

Bewijs.

Neem \(\varepsilon >0\). Kies een natuurlijk getal \(N>\frac {1}{\varepsilon }\). Dan geldt voor alle \(n\geq N\):

\[ \left |\frac 1n-0\right |=\frac 1n\leq \frac 1N<\varepsilon . \]

Dus:

\[ \lim _{n\to \infty }\frac 1n=0. \]

Bewijs.

Neem \(M\in \R \) willekeurig. Kies een natuurlijk getal \(N>\sqrt {M}\). Dan geldt voor alle \(n\geq N\):

\[ n>\sqrt {M} \quad \Rightarrow \quad n^2>M. \]

Dus voor elke grens \(M\) bestaat er een \(N\) zodat voor alle \(n\geq N\) geldt \(n^2>M\).

Daarom:

\[ \lim _{n\to \infty } n^2=+\infty . \]

5 Rekenregels voor eindige limieten

Als \(\lim \limits _{n\to \infty } u_n\) en \(\lim \limits _{n\to \infty } v_n\) bestaan, dan geldt:

• • \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }(u_n+v_n)=\lim _{n\to \infty }u_n+\lim _{n\to \infty }v_n\)

• • \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }(u_n-v_n)=\lim _{n\to \infty }u_n-\lim _{n\to \infty }v_n\)

• • \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }(u_n\cdot v_n)=\left (\lim _{n\to \infty }u_n\right )\cdot \left (\lim _{n\to \infty }v_n\right )\)

• • \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left (\frac {u_n}{v_n}\right )=\frac {\lim _{n\to \infty }u_n}{\lim _{n\to \infty }v_n}\), als \(\displaystyle \lim _{n\to \infty }v_n\neq 0\)

6 Rekenregels voor oneindige limieten

 Enkele rekenregels

• • Als \(\lim _{n\to \infty } u_n=+\infty \quad \text {en} \quad (v_n) \text { begrensd is,} \) dan

  \[ \lim _{n\to \infty }(u_n+v_n)=+\infty . \]

• • Als \(\lim _{n\to \infty } u_n=+\infty \quad \text {en} \quad \lim _{n\to \infty } v_n=+\infty , \) dan

  \[ \lim _{n\to \infty }(u_n+v_n)=+\infty . \]

• • Opgelet: Vormen zoals \(\lim _{n\to \infty } u_n=+\infty \quad \text {en} \quad \lim _{n\to \infty } v_n=+\infty \) geven voor

  \[ \lim _{n\to \infty }(u_n-v_n) \]

  een onbepaalde vorm.

 Symbolisch

 Voorlopig Onbepaalde Vormen (VOV)

\[ \frac {0}{0},\qquad \frac {\infty }{\infty },\qquad \infty -\infty ,\qquad 0\cdot \infty ,\qquad 1^\infty ,\qquad 0^0,\qquad \infty ^0 \]

We onderzoeken vier limieten van het type \((+\infty )-(+\infty )\).

• •

  \[ \lim _{n\to +\infty }(n-n)=0 \]

• •

  \[ \lim _{n\to +\infty }(n^3-n^2) =\lim _{n\to +\infty } n^3\left (1-\frac {1}{n}\right ) =\lim _{n\to +\infty } n^3 =+\infty \]

  (\(n^3\) holt veel sneller naar \(+\infty \) dan \(n^2\))

• •

  \[ \lim _{n\to +\infty }(n^3-n^5) =\lim _{n\to +\infty } n^5\left (\frac {1}{n^2}-1\right ) =-\lim _{n\to +\infty } n^5 =-\infty \]

• •

  \[ \lim _{n\to +\infty }\bigl [n^2-(1+n^2)\bigr ]=-1 \]

7 Oefeningen

VBTL Analyse 2: p30 nr14!

VI Convergentie van rijen

1 Definitie

Een rij heet convergent als ze een eindige limiet heeft. Anders heet ze divergent.

2 Uniciteit van de limiet

Een convergente rij heeft hoogstens één limiet.

Bewijs.

Stel dat \(\lim u_n = L\) en ook \(\lim u_n = M\). Neem \(\varepsilon >0\).

Dan bestaat er \(N_1\) zodat voor \(n\ge N_1\) geldt \(|u_n-L|<\varepsilon /2\), en er bestaat \(N_2\) zodat voor \(n\ge N_2\) geldt \(|u_n-M|<\varepsilon /2\).

Voor \(n\ge \max (N_1,N_2)\):

\[ |L-M|\le |L-u_n|+|u_n-M|<\frac {\varepsilon }{2}+\frac {\varepsilon }{2}=\varepsilon . \]

Omdat dit voor elke \(\varepsilon >0\) kan, moet \(|L-M|=0\) en dus \(L=M\).

3 Ongelijkheid van Bernoulli

Voor elke \(x>-1\) en elk \(n\in \N \) geldt:

\[ \boxed {(1+x)^n \ge 1+nx.} \]

Bewijs.

We bewijzen dit met inductie.

Start: voor \(n=1\) is \((1+x)^1=1+x=1+1\cdot x\).

Stap: stel dat \((1+x)^n\ge 1+nx\). Dan:

\[ (1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)\ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2\ge 1+(n+1)x, \]

want \(nx^2\ge 0\). Dus geldt de ongelijkheid ook voor \(n+1\).

4 Limiet van de rij \(u_n=a^n\)

Beschouw \(u_n=a^n\).

• • Als \(|a|<1\), dan \(a^n\to 0\).

• • Als \(a=1\), dan \(a^n\to 1\).

• • Als \(a=-1\), dan is er geen limiet.

• • Als \(a>1\), dan \(a^n\to +\infty \).

• • Als \(a<-1\), dan groeit \(|a|^n\to +\infty \) en de tekens wisselen, dus geen limiet.

5 Convergentie van rekenkundige rijen

Voor \(u_n=u_1+(n-1)v\):

• • Als \(v=0\), dan is de rij constant en dus convergent.

• • Als \(v>0\), dan \(u_n\to +\infty \).

• • Als \(v<0\), dan \(u_n\to -\infty \).

6 Convergentie van meetkundige rijen

Voor \(u_n=u_1q^{n-1}\):

• • Als \(|q|<1\), dan \(u_n\to 0\).

• • Als \(q=1\), dan is de rij constant: \(u_n=u_1\).

• • Als \(q=-1\), dan is er geen limiet (wisselende tekens).

• • Als \(|q|>1\), dan groeit \(|u_n|\to +\infty \) (dus divergent).

7 Convergentie van harmonische rijen

Voor \(u_n=\dfrac {1}{n}\):

\[ \boxed {\lim _{n\to \infty }\frac {1}{n}=0,} \]

dus de harmonische rij is convergent.

8 Monotone rijen

• • \((u_n)\) is stijgend als \(u_{n+1}\ge u_n\) voor alle \(n\).

• • \((u_n)\) is dalend als \(u_{n+1}\le u_n\) voor alle \(n\).

• • Een rij heet monotoon als ze stijgend of dalend is.

9 Begrensde rijen

• • \((u_n)\) is begrensd boven als er een \(M\) bestaat met \(u_n\le M\) voor alle \(n\).

• • \((u_n)\) is begrensd onder als er een \(m\) bestaat met \(u_n\ge m\) voor alle \(n\).

• • \((u_n)\) is begrensd als ze begrensd boven en onder is.

10 Convergentiekenmerk voor monotone rijen

Stelling (monotoon convergentiekenmerk).

Elke monotone en begrensde rij is convergent.

11 Voorbeeld met recursie (monotoon en begrensd)

Gegeven:

\[ u_1=0,\qquad u_{n+1}=\frac {u_n+2}{2}. \]

• • Begrensd boven: we tonen aan dat \(u_n\le 2\) voor alle \(n\). Als \(u_n\le 2\), dan

  \[ u_{n+1}=\frac {u_n+2}{2}\le \frac {2+2}{2}=2. \]

  En \(u_1=0\le 2\), dus inductie geeft \(u_n\le 2\).

• • Stijgend:

  \[ u_{n+1}-u_n=\frac {u_n+2}{2}-u_n=\frac {2-u_n}{2}\ge 0 \]

  omdat \(u_n\le 2\).

Dus \((u_n)\) is stijgend en begrensd, en daarom convergent.

Als \(u_n\to L\), dan moet (door de rekenregels) ook \(u_{n+1}\to L\) en dus:

\[ L=\frac {L+2}{2}\quad \Rightarrow \quad 2L=L+2\quad \Rightarrow \quad L=2. \]

Dus \(\lim u_n = 2\).

12 Oefeningen