Verloop van exponentiële en logaritmische functies

I Limieten

1 Definitie: Het getal \(e\)

\begin{align*} e &:= \lim _{x\to +\infty } \left (1+\frac {1}{x}\right )^x\\ &= \lim _{x\to 0} (1+x)^{\frac {1}{x}} \end{align*}

 Opmerking

Zonder definitie, voor altijd VOV \(\vov {1^\infty }\).

2 Eigenschap

Voor alle \(a\in \mathbb {R}_0^+\setminus \{1\}\) geldt:

\[ \lim _{x\to 0} \frac {\log _a(1+x)}{x} = \frac {1}{\ln a} \]

Bewijs.

\[ \begin {aligned} \lim _{x\to 0} \frac {\log _a(1+x)}{x} \quad & = \vov {\dfrac {0}{0}} & & \text {VOV} \\ & = \lim _{x\to 0} \left (\frac {1}{x}\,\log _a(1+x)\right ) \\ & = \lim _{x\to 0} \bigl (\log _a(1+x)^{1/x}\bigr ) \\ & = \log _a\!\left (\lim _{x\to 0} (1+x)^{1/x}\right ) \\ & = \log _a e \\ & = \frac {\log _e e}{\log _e a} \\ & = \frac {1}{\ln a} \end {aligned} \]

3 Bijzonder geval

\[ \lim _{x\to 0} \frac {\ln (1+x)}{x} = 1 \]

4 Standaardlimieten

\[ \begin {array}{c|c} a>1 & 0<a<1 \\ \hline \displaystyle \lim _{x\to +\infty } a^x = +\infty & \displaystyle \lim _{x\to +\infty } a^x = 0 \\[0.8em] \displaystyle \lim _{x\to -\infty } a^x = 0 & \displaystyle \lim _{x\to -\infty } a^x = +\infty \\[0.8em] \displaystyle \lim _{x\to 0} \log _a x = -\infty & \displaystyle \lim _{x\to 0} \log _a x = +\infty \\[0.8em] \displaystyle \lim _{x\to +\infty } \log _a x = +\infty & \displaystyle \lim _{x\to +\infty } \log _a x = -\infty \end {array} \]

5 Voorbeelden

Bereken de volgende limieten met de voorgaande standaardlimieten.

• (a) \(\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left (1+\frac {1}{x}\right )^{3x}\).

  \(\lim _{x\to +\infty }\left (1+\frac {1}{x}\right )^{3x} = e^3\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \lim _{x\to +\infty }\left (1+\frac {1}{x}\right )^{3x} &= \vov {1^\infty } && \text {VOV} \\ &= \lim _{x\to +\infty }\left [\left (1+\frac {1}{x}\right )^x\right ]^3 \\ &= e^3. \end{align*}

• (b) \(\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+2x)^{1/x}\).

  \(\lim _{x\to 0}(1+2x)^{1/x} = e^2\) We stellen \(u=2x\). Als \(x\to 0\), dan \(u\to 0\).

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \lim _{x\to 0}(1+2x)^{1/x} &= \vov {1^\infty } && \text {VOV} \\ &= \lim _{x\to 0}(1+2x)^{\truc {2}/(\truc {2}x)} \\ &= \lim _{x\to 0}\left [(1+2x)^{1/(2x)}\right ]^2 \\ &= \lim _{u\to 0}\left [(1+u)^{1/u}\right ]^2 \\ &= e^2. \end{align*}

• (c) \(\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac {\ln (1+3x)}{x}\).

  \(\lim _{x\to 0}\frac {\ln (1+3x)}{x} = 3\) We stellen \(u=3x\). Als \(x\to 0\), dan \(u\to 0\).

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \lim _{x\to 0}\frac {\ln (1+3x)}{x} &= \vov {\dfrac {0}{0}} && \text {VOV} \\ &= \lim _{x\to 0}\frac {\truc {3}\ln (1+3x)}{\truc {3}x} \\ &= 3\lim _{x\to 0}\frac {\ln (1+3x)}{3x} \\ &= 3\lim _{u\to 0}\frac {\ln (1+u)}{u} \\ &= 3. \end{align*}

• (d) \(\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac {\log _2(1+x)}{5x}\).

  \(\lim _{x\to 0}\frac {\log _2(1+x)}{5x} = \frac {1}{5\ln 2}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \lim _{x\to 0}\frac {\log _2(1+x)}{5x} &= \vov {\dfrac {0}{0}} && \text {VOV} \\ &= \frac {1}{5}\lim _{x\to 0}\frac {\log _2(1+x)}{x} \\ &= \frac {1}{5\ln 2}. \end{align*}

• (e) \(\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\left (\frac {1}{3}\right )^x\).

  \(\lim _{x\to -\infty }\left (\frac {1}{3}\right )^x = +\infty \) Het grondtal ligt tussen \(0\) en \(1\). We kunnen ook herschrijven naar grondtal \(3\):

  \[ \lim _{x\to -\infty }\left (\frac {1}{3}\right )^x = \lim _{x\to -\infty }3^{-x} = +\infty , \]

  want \(-x\to +\infty \).

• (f) \(\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{1/2}x\).

  \(\lim _{x\to +\infty }\log _{1/2}x = -\infty \) Het grondtal ligt tussen \(0\) en \(1\). De bijbehorende standaardlimiet geeft

  \[ \lim _{x\to +\infty }\log _{1/2}x=-\infty . \]

6 Regel van de l’Hospital

\begin{align*} \lim _{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} &= \vov {\dfrac {0}{0}} \text { of } \vov {\dfrac {\infty }{\infty }} && \text {VOV} \\ &= \lim _{x\to a} \frac {f'(x)}{g'(x)} \quad \text {met } a\in \overline {\mathbb {R}}=[-\infty ,+\infty ]. \end{align*}

7 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 3: p 80 nr 3 (a tot d en f); p 82 nr 22 (a, e, f, j en s tot u)

II Afgeleide van logaritmische functies

1 Herhaling: definitie afgeleid getal

\[ f'(a) = \lim _{x\to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a}. \]

De letter \(a\) gebruiken wij echter voor het grondtal, dus zullen we \(f'(b)\) nemen:

\[ f'(b) = \lim _{x\to b} \frac {f(x)-f(b)}{x-b}. \]

2 Voor logaritmische functies

Neem

\[ f(x) = \log _a x. \]

Dan is

\begin{align*} f'(b) &= \lim _{x\to b} \frac {\log _a x - \log _a b}{x-b} \\[0.3em] &= \lim _{x\to b} \left (\frac {1}{x-b}\,\log _a\frac {x}{b}\right ) \\[0.3em] &= \lim _{x\to b} \left (\frac {1}{x-b}\,\log _a\frac {x\truc {-b+b}}{b}\right ) \\[0.3em] &= \lim _{x\to b} \left (\frac {1}{x-b}\,\log _a\left (\frac {b}{b}+\frac {x-b}{b}\right )\right ) \\[0.3em] &= \lim _{x\to b} \left (\frac {1}{x-b}\,\log _a\left (1+\frac {x-b}{b}\right )\right ). \end{align*} Stel nu \(y = \frac {x-b}{b}\). Als \(x\to b\), dan \(y\to 0\) en dus

\begin{align*} f'(b) &= \lim _{y\to 0} \left (\frac {1}{b y} \cdot \log _a(1+y)\right ) \\[0.3em] &= \frac {1}{b} \lim _{y\to 0} \frac {\log _a(1+y)}{y} \\[0.3em] &= \frac {1}{b}\cdot \frac {1}{\ln a} && \left (\lim _{x\to 0} \frac {\log _a(1+x)}{x} = \frac {1}{\ln a}\right )\\ & = \frac {1}{b\ln a}, \end{align*}

Daaruit volgt de algemene formule

\[ \boxed {(\log _a x)' = \frac {1}{x\,\ln a}} \]

3 Bijzonder geval:

\[ (\ln x)' = \frac {1}{x\ln e} = \frac {1}{x} \qquad \Rightarrow \qquad \boxed {(\ln x)' = \frac {1}{x}} \]

4 Samengestelde functies:

\[ \boxed {(\log _a f(x))' = \frac {f'(x)}{f(x)\,\ln a}} \qquad \text {en}\qquad \boxed {(\ln f(x))' = \frac {f'(x)}{f(x)}}. \]

5 Opmerking

Het afgeleide getal van \(\log _a x\) in \(b\) is de rico van de raaklijn aan de grafiek in het punt \((b,\log _a b)\).

6 Voorbeelden

Bereken de volgende afgeleiden.

• (a) \((\log _4 x)'\).

  \((\log _4 x)' = \frac {1}{x\ln 4}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} (\log _4 x)' &= \frac {1}{x\ln 4}. \end{align*}

• (b) \(\bigl (\ln (x^2-1)\bigr )'\).

  \(\bigl (\ln (x^2-1)\bigr )' = \frac {2x}{x^2-1}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (\ln (x^2-1)\bigr )' &= \frac {(x^2-1)'}{x^2-1} \\ &= \frac {2x}{x^2-1}. \end{align*}

• (c) \(\bigl (\ln \sqrt {x}\bigr )'\).

  \(\bigl (\ln \sqrt {x}\bigr )' = \frac {1}{2x}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (\ln \sqrt {x}\bigr )' &= \bigl (\ln x^{1/2}\bigr )' \\ &= \Bigl (\frac 12\ln x\Bigr )' \\ &= \frac 12\cdot \frac 1x \\ &= \frac {1}{2x}. \end{align*}

• (d) \((x\ln x - x)'\).

  \((x\ln x - x)' = \ln x\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} (x\ln x - x)' &= (x\ln x)' - (x)' \\ &= (x)'\ln x + x\,(\ln x)' - 1 \\ &= 1\cdot \ln x + x\cdot \frac 1x - 1 \\ &= \ln x + 1 - 1 \\ &= \ln x. \end{align*}

• (e) \((x^3\ln x)'\).

  \((x^3\ln x)' = x^2(3\ln x + 1)\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} (x^3\ln x)' &= (x^3)'\ln x + x^3(\ln x)' \\ &= 3x^2\ln x + x^3\cdot \frac 1x \\ &= 3x^2\ln x + x^2 \\ &= x^2(3\ln x + 1). \end{align*}

• (f) \(\left (\dfrac {\ln x}{x}\right )'\).

  \(\left (\frac {\ln x}{x}\right )' = \frac {1-\ln x}{x^2}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \left (\frac {\ln x}{x}\right )' &= \frac {(\ln x)'\cdot x - \ln x\cdot (x)'}{x^2} \\ &= \frac {\dfrac 1x\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^2} \\ &= \frac {1-\ln x}{x^2}. \end{align*}

• (g) \(\bigl (\log _2(1+x)\bigr )'\).

  \(\bigl (\log _2(1+x)\bigr )' = \frac {1}{(1+x)\ln 2}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (\log _2(1+x)\bigr )' &= \frac {(1+x)'}{(1+x)\ln 2} \\ &= \frac {1}{(1+x)\ln 2}. \end{align*}

• (h) \(\bigl (\log _{10}(10x+1)\bigr )'\).

  \(\bigl (\log _{10}(10x+1)\bigr )' = \frac {10}{(10x+1)\ln 10}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (\log _{10}(10x+1)\bigr )' &= \frac {(10x+1)'}{(10x+1)\ln 10} \\ &= \frac {10}{(10x+1)\ln 10}. \end{align*}

• (i) \(\bigl (\ln (\sin x)\bigr )'\).

  \(\bigl (\ln (\sin x)\bigr )' = \cot x\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (\ln (\sin x)\bigr )' &= \frac {(\sin x)'}{\sin x} \\ &= \frac {\cos x}{\sin x} \\ &= \cot x. \end{align*}

• (j) \(\bigl (\ln (\cos x)\bigr )'\).

  \(\bigl (\ln (\cos x)\bigr )' = -\tan x\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (\ln (\cos x)\bigr )' &= \frac {(\cos x)'}{\cos x} \\ &= \frac {-\sin x}{\cos x} \\ &= -\tan x. \end{align*}

• (k) \(\bigl (\log _{10}(\tan x)\bigr )'\).

  \(\bigl (\log _{10}(\tan x)\bigr )' = \frac {1}{\sin x\cos x\,\ln 10}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (\log _{10}(\tan x)\bigr )' &= \frac {(\tan x)'}{\tan x\,\ln 10} \\ &= \frac {\dfrac {1}{\cos ^2 x}}{\dfrac {\sin x}{\cos x}\,\ln 10} \\ &= \frac {1}{\cos ^2 x}\cdot \frac {\cos x}{\sin x\,\ln 10} \\ &= \frac {1}{\sin x\cos x\,\ln 10}. \end{align*}

• (l) \(\left (\dfrac {x}{\ln x}\right )'\).

  \(\left (\frac {x}{\ln x}\right )' = \frac {\ln x - 1}{(\ln x)^2}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \left (\frac {x}{\ln x}\right )' &= \frac {(x)'\ln x - x\,(\ln x)'}{(\ln x)^2} \\ &= \frac {1\cdot \ln x - x\cdot \dfrac 1x}{(\ln x)^2} \\ &= \frac {\ln x - 1}{(\ln x)^2}. \end{align*}

7 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 3: p 81 nr 10 (b, c, e, i tot k, m en o tot r)

III Afgeleide van exponentiële functies

1 Opstelling formules

Neem \(f(x)=a^x\). We zoeken \(f'(x)\).

\[ y = a^x \quad \Longleftrightarrow \quad \log _a y = x. \]

Differentieer naar \(x\):

\[ (\log _a y)' = (x)' \quad \Longrightarrow \quad \frac {1}{y\ln a}\,y' = 1 \quad \Longrightarrow \quad y' = y\ln a. \]

Dus

\[ (a^x)' = a^x\ln a. \]

Samengevat:

\[ \boxed {(a^x)' = a^x\ln a},\qquad \boxed {(e^x)' = e^x}, \]

\[ \boxed {(a^{f(x)})' = a^{f(x)}\ln a\,f'(x)},\qquad \boxed {(e^{f(x)})' = e^{f(x)}f'(x)}. \]

Het bijzondere van \(e\)

De afgeleide van \(a^x\) is een veelvoud van de functie zelf: \((a^x)'=\ln a\cdot a^x\). In elk punt is de helling dus evenredig met de hoogte. Enkel voor \(a=e\) is die factor \(1\). Dan is de helling in elk punt gelijk aan de hoogte.

We zien dat aan de raaklijn. In \(P\bigl (x_0,a^{x_0}\bigr )\) is

\[ t \leftrightarrow y - a^{x_0} = a^{x_0}\ln a\,(x-x_0). \]

De raaklijn snijdt de \(x\)-as waar \(y=0\):

\begin{align*} -a^{x_0} &= a^{x_0}\ln a\,(x-x_0)\\ \iff \quad -1 &= \ln a\,(x-x_0)\\ \iff \quad x &= x_0-\frac {1}{\ln a}. \end{align*} Waar \(P\) ook ligt, de raaklijn snijdt de \(x\)-as altijd op afstand \(\frac {1}{\ln a}\) links van \(x_0\). Voor \(a=e\) is die afstand precies \(1\). De helling is dan \(\frac {e^{x_0}}{1}=e^{x_0}\): de hoogte zelf.

Zo is \(e^x\) de functie die gelijk is aan haar eigen afgeleide. Daarom kiezen we in de analyse \(e\) als grondtal: met \(e^x\) en \(\ln x\) valt de factor \(\ln a\) uit elke formule weg.

2 Voorbeelden

Bereken de volgende afgeleiden.

• (a) \((10^x)'\).

  \((10^x)' = 10^x\ln 10\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} (10^x)' &= 10^x\ln 10. \end{align*}

• (b) \(\bigl (2\cdot 5^{x+1}\bigr )'\).

  \(\bigl (2\cdot 5^{x+1}\bigr )' = 2\cdot 5^{x+1}\ln 5\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (2\cdot 5^{x+1}\bigr )' &= 2\cdot \bigl (5^{x+1}\bigr )' \\ &= 2\cdot 5^{x+1}\ln 5\cdot (x+1)' \\ &= 2\cdot 5^{x+1}\ln 5. \end{align*}

• (c) \(\bigl (e^{\ln x}\bigr )'\).

  \(\bigl (e^{\ln x}\bigr )' = 1\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (e^{\ln x}\bigr )' &= e^{\ln x}(\ln x)' \\ &= x\cdot \frac 1x \\ &= 1. \end{align*} Ter controle: \(e^{\ln x}=x\), dus de afgeleide is \((x)'=1\).

• (d) \(\bigl (10^{\log _{10}(x+1)}\bigr )'\).

  \(\bigl (10^{\log _{10}(x+1)}\bigr )' = 1\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (10^{\log _{10}(x+1)}\bigr )' &= 10^{\log _{10}(x+1)}\ln 10\cdot \bigl (\log _{10}(x+1)\bigr )' \\ &= 10^{\log _{10}(x+1)}\ln 10\cdot \frac {1}{(x+1)\ln 10} \\ &= \frac {10^{\log _{10}(x+1)}}{x+1} \\ &= \frac {x+1}{x+1} \\ &= 1. \end{align*} Ter controle: \(10^{\log _{10}(x+1)}=x+1\), dus de afgeleide is \((x+1)'=1\).

• (e) \(\bigl (e^{\sin x}\bigr )'\).

  \(\bigl (e^{\sin x}\bigr )' = e^{\sin x}\cos x\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (e^{\sin x}\bigr )' &= e^{\sin x}(\sin x)' \\ &= e^{\sin x}\cos x. \end{align*}

• (f) \(\bigl (e^{3\cos x}\bigr )'\).

  \(\bigl (e^{3\cos x}\bigr )' = -3e^{3\cos x}\sin x\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (e^{3\cos x}\bigr )' &= e^{3\cos x}(3\cos x)' \\ &= e^{3\cos x}\cdot (-3\sin x) \\ &= -3e^{3\cos x}\sin x. \end{align*}

• (g) \(\bigl (5^{\cos x}\bigr )'\).

  \(\bigl (5^{\cos x}\bigr )' = -5^{\cos x}\ln 5\,\sin x\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (5^{\cos x}\bigr )' &= 5^{\cos x}\ln 5\cdot (\cos x)' \\ &= 5^{\cos x}\ln 5\cdot (-\sin x) \\ &= -5^{\cos x}\ln 5\,\sin x. \end{align*}

• (h) \(\bigl (e^{\tan x}\bigr )'\).

  \(\bigl (e^{\tan x}\bigr )' = \frac {e^{\tan x}}{\cos ^2 x}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \bigl (e^{\tan x}\bigr )' &= e^{\tan x}(\tan x)' \\ &= e^{\tan x}\cdot \frac {1}{\cos ^2 x} \\ &= \frac {e^{\tan x}}{\cos ^2 x}. \end{align*}

3 VBTL Oefeningen

Afgeleiden berekenen:
VBTL Analyse 3: p 80 nr 4 (a, b, d tot k en n tot q); p 81 nr 10 (f, l en n); p 82 nr 21 (a tot e, i en k)

Limieten met de regel van de l’Hospital:
VBTL Analyse 3: p 82 nr 22 (b tot d, g tot i en k tot q)

Volledig verloop (een keuze, met ICT):
VBTL Analyse 3: p 83 nr 23 (a tot f, h tot r en t)

IV Toepassingen

1 \((\ln |x|)'\)

Aangezien een logaritme enkel gedefinieerd is voor \(\mathbb {R}_0^+\), zullen we vaak \(\ln |x|\) tegenkomen: zeker positief!

\[ |x|= \begin {cases} x & \text {als } x\in \mathbb {R}_0^+,\\ -x & \text {als } x\in \mathbb {R}_0^-. \end {cases} \]

Voor \(x\in \mathbb {R}_0^+\):

\[ (\ln |x|)' = (\ln x)' = \dfrac {1}{x}. \]

Voor \(x\in \mathbb {R}_0^-\):

\[ (\ln |x|)' = (\ln (-x))' = \dfrac {1}{-x}\cdot (-1) = \dfrac {1}{x}. \]

Dus

\[ \boxed {(\ln |x|)' = \dfrac {1}{x}}\qquad (x\neq 0) \qquad \Rightarrow \qquad \boxed {(\ln |x|)' = (\ln x)'} \]

2 \(\bigl (\ln |x+\sqrt {x^2+k^2}|\bigr )'\)

\[ \begin {aligned} \bigl (\ln |x+\sqrt {x^2+k^2}|\bigr )' &= \left (\ln \bigl (x+\sqrt {x^2+k^2}\bigr )\right )' \\ &= \frac {\bigl (x+\sqrt {x^2+k^2}\bigr )'}{x+\sqrt {x^2+k^2}} \\ &= \frac {1 + \dfrac {1}{2\sqrt {x^2+k^2}}\cdot 2x}{x+\sqrt {x^2+k^2}} \\ &= \frac {1 + \dfrac {x}{\sqrt {x^2+k^2}}}{x+\sqrt {x^2+k^2}} \\ &= \frac {\truc {\dfrac {\sqrt {x^2+k^2}}{\sqrt {x^2+k^2}}} + \dfrac {x}{\sqrt {x^2+k^2}}}{x+\sqrt {x^2+k^2}} \\ &= \frac {\dfrac {\sqrt {x^2+k^2}+x}{\sqrt {x^2+k^2}}}{x+\sqrt {x^2+k^2}} \\ &= \frac {1}{\sqrt {x^2+k^2}}. \end {aligned} \]

\[ \boxed {\bigl (\ln |x+\sqrt {x^2+k^2}|\bigr )' = \dfrac {1}{\sqrt {x^2+k^2}}} \qquad \text { en } \qquad \boxed {\bigl (\ln |f(x)+\sqrt {f(x)^2+k^2}|\bigr )' = \dfrac {f'(x)}{\sqrt {f(x)^2+k^2}}}. \]

3 VBTL Oefeningen

VBTL Analyse 3: p 80 nr 4 (m); p 81 nr 10 (a)

V Oefeningen

p80 nr7

De functie \(y = x^{\tfrac 14}\,e^{-2\sqrt {x}}\) voldoet aan de vergelijking

\[ x^2\,y'' + \frac {3}{16}y = x^q\,e^{-2\sqrt {x}} \]

met \(q\) een rationaal getal. Bereken \(q\).

p81 nr13

Zoek de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van \(f\) met

\[ f(x)=x\ln x \]

in het snijpunt met de \(x\)-as.

OPMERKING: Geen vraagstukken met in de opgave een differentiaalvergelijking. (integralen nodig)

p85 nr31

Onder bepaalde omstandigheden verloopt de afname van de luchtdruk volgens de vergelijking

\[ \frac {dp}{dh} = -\lambda \cdot p \]

met

• • \(p\): luchtdruk (in hectopascal),

• • \(h\): hoogte (in km) boven de zeespiegel/

De luchtdruk op zeeniveau is \(1000\) hectopascal en op \(1\) km boven de zeespiegel \(869\) hectopascal.

• (a) Schrijf \(p\) in functie van \(h\).

• (b) In een luchtballon kun je echter eenvoudiger de luchtdruk meten dan de hoogte. Zoek de formule die \(h\) uitdrukt in functie van \(p\).

• (c) Toon aan dat de snelheid waarmee de hoogte (afhankelijk van \(p\)) verandert, negatief is.

p85 nr32

Een parachutespringer opent zijn valscherm op het moment \(t=0\) dat hij 700 m boven de grond is. De valweg wordt gegeven door

\[ s(t)=30+6t-30\cdot 0.223^{\,t}, \]

met \(s(t)\): valweg in m na \(t\) seconden.

• (a) Geef de formule voor de snelheid van de parachutist.

  De snelheid is de afgeleide van de valweg:

  \[ v(t)=s'(t) =\bigl (30+6t-30\cdot 0.223^{\,t}\bigr )' =6-30\cdot (0.223^{\,t})'. \]

  We gebruiken \((a^t)'=a^t\ln a\) met \(a=0.223\):

  \[ v(t)=6-30\cdot 0.223^{\,t}\ln (0.223). \]

• (b) Welke snelheid (in m/s) had de parachutist op het moment dat zijn parachute openging? Hoeveel km/h is dit?

  De snelheid op het openingsmoment van het valscherm is \(v(0)\):

  \[ v(0)=6-30\cdot 0.223^{\,0}\ln (0.223) =6-30\ln (0.223) \approx 51\ \text {m/s}. \]

  Omzetten naar km/h:

  \[ 51\ \text {m/s}\approx 51\cdot 3.6 \approx 184\ \text {km/h}. \]

• (c) Geef de formule voor de vertraging van de parachutist.

  De vertraging is de afgeleide van de snelheid:

  \[ a(t)=v'(t) =\bigl (6-30\cdot 0.223^{\,t}\ln (0.223)\bigr )' =-30\ln (0.223)\cdot (0.223^{\,t})\ln (0.223). \]

  Dus

  \[ a(t)=-30\bigl (\ln (0.223)\bigr )^2\cdot 0.223^{\,t}. \]

• (d) Wat is de vertraging (in m/s\(^2\)) na 1 seconde? En na 3 seconden?

  Na 1 seconde:

  \[ a(1)=-30\bigl (\ln (0.223)\bigr )^2\cdot 0.223 \approx -15.1\ \text {m/s}^2. \]

  Na 3 seconden:

  \[ a(3)=-30\bigl (\ln (0.223)\bigr )^2\cdot 0.223^{3} \approx -0.75\ \text {m/s}^2. \]

  De negatieve waarden duiden op een vertraging.

• (e) Beredeneer dat de snelheid van de parachutist afneemt tot ongeveer \(6\) m/s.

  De snelheid is

  \[ v(t)=6-30\cdot 0.223^{\,t}\ln (0.223). \]

  Omdat \(0<0.223<1\) geldt \(\lim _{t\to \infty }0.223^{\,t}=0\). Het tweede lid in de formule voor \(v(t)\) verdwijnt dus voor grote \(t\), zodat

  \[ \lim _{t\to \infty }v(t)=6\ \text {m/s}. \]

  Daarom neemt de snelheid van de parachutist af tot ongeveer \(6\) m/s.

Controle met het GRM

Het GRM berekent een afgeleide numeriek in een punt. Zo controleren we de formules voor \(v(t)\) en \(a(t)\) die we zelf afgeleid hebben.

p88 nr48, Toelatingsexamen arts 2020, vraag 8

Gegeven is de functie \(f\) met functievoorschrift

\[ f(x)=\ln (e^x+2). \]

Bepaal het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van \(f\) in het punt met \(x\)-coördinaat \(\ln (2)\), en de rechte met vergelijking \(y=\ln (2)\).

• (A) \((-\ln (2),\ln (2))\)

• (B) \((\ln (2),\ln (2))\)

• (C) \((\ln (2),-\ln (2))\)

• (D) \((2\ln (2),\ln (2))\)