Hoofdstuk 1Herhaling Meetkunde
I Formules
Afstand twee punten
\[P(x_1,y_1) \wedge Q(x_2,y_2) \Rightarrow d(P,Q) = |PQ| = \sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
Midden lijnstuk
\[P(x_1,y_1) \wedge Q(x_2,y_2) \wedge M=\text {midden}_{[PQ]}\Rightarrow co(M)=\left (\dfrac {x_1+x_2}{2},\dfrac {y_1+y_2}{2}\right )\]
Zwaartepunt driehoek
\[P(x_1,y_1) \wedge Q(x_2,y_2) \wedge R(x_3,y_3) \Rightarrow co(Z)=\left (\dfrac {x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac {y_1+y_2+y_3}{3}\right )\]
met \(Z=\text {zwaartepunt}_{\Delta PQR}\)
Vergelijking rechte
-
• Vergelijking van een rechte door punt \(P(x_1,y_1)\) met rico \(m\):
\[y - y_1 = m(x - x_1) \qquad \mbox {of} \qquad \begin {vmatrix}x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ 1 & m & 0\end {vmatrix} = 0\]
-
• Vergelijking van een rechte door punt \(P(x_1,y_1)\) en \(Q(x_2,y_2)\):
\[y - y_1 = \dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}(x - x_1) \qquad \mbox {of} \qquad \begin {vmatrix}x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1\end {vmatrix} = 0\]
Onderlinge ligging rechten
Als \(a \leftrightarrow y = m_1 x + q_1 \wedge b \leftrightarrow y = m_2 x + q_2\)
-
• dan wordt de hoek tussen \(a\) en \(b\) bepaald door \(\cos (\widehat {a,b}) = \dfrac {|1+m_1m_2|}{\sqrt {1+m_1^2}\sqrt {1+m_2^2}}\)
-
• dan is \(a \parallel b\) als \(m_1=m_2\)
-
• dan is \(a \perp b\) als \(m_1m_2=-1\)
Afstand punt tot rechte
\[P(x_1,y_1) \wedge a \leftrightarrow ux+vy+w=0 \Rightarrow d(P,a) = \dfrac {|ux_1+vy_1+w|}{\sqrt {u^2+v^2}}\]
II Oefeningen
Oefening 1
Gegeven zijn de punten \(P(-2, 2) \), \(Q(6, 4) \) en \(R(6, -2) \).
-
(a) Bepaal de onderlinge afstanden tussen deze drie punten.
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} |PQ| &= \sqrt {(6-(-2))^2+(4-2)^2} \quad \text {(afstandformule)}\\ &= \sqrt {8^2+2^2} = \sqrt {64+4} = \sqrt {68} = 2\sqrt {17}.\\[4pt] |PR| &= \sqrt {(6-(-2))^2+(-2-2)^2}\\ &= \sqrt {8^2+(-4)^2} = \sqrt {64+16} = \sqrt {80} = 4\sqrt {5}.\\[4pt] |QR| &= \sqrt {(6-6)^2+(-2-4)^2}\\ &= \sqrt {0^2+(-6)^2} = 6. \end{align*}
\[ \boxed {|PQ|=2\sqrt {17},\quad |PR|=4\sqrt {5},\quad |QR|=6.} \]
-
(b) Bepaal de coördinaat van het zwaartepunt \(Z \) van de driehoek \(PQR \).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} co(Z) &=\left (\frac {x_P+x_Q+x_R}{3},\frac {y_P+y_Q+y_R}{3}\right )\quad \text {(zwaartepunt)}\\ &=\left (\frac {-2+6+6}{3},\frac {2+4+(-2)}{3}\right ) =\left (\frac {10}{3},\frac {4}{3}\right ). \end{align*}
\[ \boxed {Z\left (\frac {10}{3},\frac {4}{3}\right ).} \]
-
(c) Zoek de vergelijking van de rechten \(r = \overline {PQ} \), \(q = \overline {PR} \) en \(p = \overline {QR} \).
Rechte \(r\) door \(P(-2,2)\) en \(Q(6,4)\):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} m_r&=\frac {4-2}{6-(-2)}=\frac {2}{8}=\frac 14 \quad \text {(rico)}\\ y-2&=\frac 14(x+2) \quad \text {(punt-rico)}\\ 4y-8&=x+2\\ x-4y+10&=0. \end{align*}
\[ \boxed {r:\ x-4y+10=0 \quad (\text {of } y=\tfrac 14x+\tfrac 52)} \]
Rechte \(q\) door \(P(-2,2)\) en \(R(6,-2)\):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} m_q&=\frac {-2-2}{6-(-2)}=\frac {-4}{8}=-\frac 12\\ y-2&=-\frac 12(x+2)\\ 2y-4&=-x-2\\ x+2y-2&=0. \end{align*}
\[ \boxed {q:\ x+2y-2=0 \quad (\text {of } y=-\tfrac 12x+1)} \]
Rechte \(p\) door \(Q(6,4)\) en \(R(6,-2)\):
\[ \boxed {p:\ x=6 \quad (\text {of } x-6=0)} \]
-
(d) Zoek de grootte van de hoeken die deze drie rechten onderling maken.
Tussen \(r\) en \(q\) (beide niet-verticaal):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \cos (\widehat {r,q}) &=\frac {|1+m_rm_q|}{\sqrt {1+m_r^2}\sqrt {1+m_q^2}}\quad \text {(hoekformule)}\\ &=\frac {\left |1+\frac 14\cdot \left (-\frac 12\right )\right |}{\sqrt {1+\left (\frac 14\right )^2}\sqrt {1+\left (-\frac 12\right )^2}} =\frac {\left |\frac 78\right |}{\sqrt {\frac {17}{16}}\sqrt {\frac 54}} =\frac {\frac 78}{\frac {\sqrt {85}}{8}} =\frac {7}{\sqrt {85}}. \end{align*}
\[ \boxed {\widehat {r,q}=\arccos \!\left (\frac {7}{\sqrt {85}}\right )\approx 40.6^\circ } \]
Tussen \(r\) en \(p\) (met richtingsvectoren):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)
Neem \(\vec {u}_r=(4,1)\) en \(\vec {u}_p=(0,1)\).\begin{align*} \cos (\widehat {r,p}) &=\frac {|\vec {u}_r\cdot \vec {u}_p|}{\|\vec {u}_r\|\ \|\vec {u}_p\|}\quad \text {(inproduct)}\\ &=\frac {|(4,1)\cdot (0,1)|}{\sqrt {4^2+1^2}\cdot 1} =\frac {|1|}{\sqrt {17}} =\frac {1}{\sqrt {17}}. \end{align*}
\[ \boxed {\widehat {r,p}=\arccos \!\left (\frac {1}{\sqrt {17}}\right )\approx 76.0^\circ } \]
Tussen \(q\) en \(p\):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)
Neem \(\vec {u}_q=(2,-1)\) en \(\vec {u}_p=(0,1)\).\begin{align*} \cos (\widehat {q,p}) &=\frac {|\vec {u}_q\cdot \vec {u}_p|}{\|\vec {u}_q\|\ \|\vec {u}_p\|}\\ &=\frac {|(2,-1)\cdot (0,1)|}{\sqrt {2^2+(-1)^2}\cdot 1} =\frac {|{-1}|}{\sqrt {5}} =\frac {1}{\sqrt {5}}. \end{align*}
\[ \boxed {\widehat {q,p}=\arccos \!\left (\frac {1}{\sqrt {5}}\right )\approx 63.4^\circ } \]
-
(e) Bepaal de afstand van het punt \(Q \) tot de rechte \(q \).
\(q:\ x+2y-2=0 \Rightarrow (u,v,w)=(1,2,-2)\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} d(Q,q) &=\frac {|ux_Q+vy_Q+w|}{\sqrt {u^2+v^2}}\quad \text {(afstand punt--rechte)}\\ &=\frac {|1\cdot 6+2\cdot 4-2|}{\sqrt {1^2+2^2}} =\frac {|6+8-2|}{\sqrt {5}} =\frac {12}{\sqrt {5}} =\frac {12\sqrt {5}}{5}. \end{align*}
\[ \boxed {d(Q,q)=\frac {12}{\sqrt {5}}=\frac {12\sqrt {5}}{5}\approx 5.37} \]
-
(f) Bepaal de oppervlakte van de driehoek \(PQR \).
Neem basis \(QR\) en hoogte vanuit \(P\) op \(QR\).
\[ |QR|=6 \quad \text {(uit 1.)} \]
Omdat \(QR\) op \(x=6\) ligt, is de hoogte de horizontale afstand van \(P(-2,2)\) tot \(x=6\):
\[ h = |6-(-2)|=8. \]
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} A_{\triangle PQR} &=\frac 12\cdot \text {basis}\cdot \text {hoogte}\\ &=\frac 12\cdot 6\cdot 8 =24. \end{align*}
\[ \boxed {\text {Oppervlakte} = 24} \]
Oefening 2
Gegeven is de driehoek bepaald door de punten \(A(3, 7) \), \(B(-1, -1) \) en \(C(7, 1) \).
-
(a) Bepaal de vergelijking van de zwaartelijn \(z_A \) uit \(A \).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} M_{BC} &=\left (\frac {-1+7}{2},\frac {-1+1}{2}\right )\quad \text {(midden)}\\ &=(3,0). \end{align*} Rechte door \(A(3,7)\) en \(M_{BC}(3,0)\) is verticaal:
\[ \boxed {z_A:\ x=3.} \]
-
(b) Bepaal de vergelijking van de hoogtelijn \(h_A \) en \(h_B \) uit \(A \) en \(B \).
Eerst de rico’s van de zijden:
\[ BC:\ m_{BC}=\frac {1-(-1)}{7-(-1)}=\frac {2}{8}=\frac 14, \qquad AC:\ m_{AC}=\frac {1-7}{7-3}=\frac {-6}{4}=-\frac 32. \]
Hoogtelijn uit \(A\) (loodrecht op \(BC\)):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} m_{h_A}&=-\frac {1}{m_{BC}}=-4 \quad \text {(loodrecht)}\\ y-7&=-4(x-3)\quad \text {(punt-rico)}\\ y&=-4x+19. \end{align*}
\[ \boxed {h_A:\ y=-4x+19 \quad (\text {of } 4x+y-19=0)} \]
Hoogtelijn uit \(B\) (loodrecht op \(AC\)):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} m_{h_B}&=-\frac {1}{m_{AC}}=\frac 23\\ y+1&=\frac 23(x+1)\\ 3y+3&=2x+2\\ 2x-3y-1&=0. \end{align*}
\[ \boxed {h_B:\ 2x-3y-1=0 \quad (\text {of } y=\tfrac 23x-\tfrac 13)} \]
-
(c) Bepaal de coördinaat van het hoogtepunt \(H \).
Snijpunt van \(h_A\) en \(h_B\):
\[ h_A:\ y=-4x+19, \qquad h_B:\ y=\frac {2x-1}{3}. \]
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \frac {2x-1}{3}&=-4x+19\\ 2x-1&=-12x+57\\ 14x&=58\\ x&=\frac {29}{7}\\ y&=-4\cdot \frac {29}{7}+19=\frac {17}{7}. \end{align*}
\[ \boxed {H\left (\frac {29}{7},\frac {17}{7}\right ).} \]
-
(d) Bepaal de vergelijkingen van de middellijnen \(m_{BC} \) en \(m_{AC} \) en de lijnstukken \([BC] \) en \([AC] \).
Middelloodlijn van \(BC\):
\[ M_{BC}=(3,0),\quad m_{BC}=\frac 14 \Rightarrow m_{m_{BC}}=-4. \]
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} y-0&=-4(x-3)\\ y&=-4x+12. \end{align*}
\[ \boxed {m_{BC}:\ y=-4x+12 \quad (\text {of } 4x+y-12=0)} \]
Middelloodlijn van \(AC\):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} M_{AC}&=\left (\frac {3+7}{2},\frac {7+1}{2}\right )=(5,4),\\ m_{AC}&=-\frac 32 \Rightarrow m_{m_{AC}}=\frac 23. \end{align*}
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} y-4&=\frac 23(x-5)\\ 3y-12&=2x-10\\ 2x-3y+2&=0. \end{align*}
\[ \boxed {m_{AC}:\ 2x-3y+2=0 \quad (\text {of } y=\tfrac 23x+\tfrac 23)} \]
Dragers (rechten) van de zijden:
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} BC:\ y+1&=\frac 14(x+1)\ \Rightarrow \ \boxed {BC:\ x-4y-3=0},\\ AC:\ y-7&=-\frac 32(x-3)\ \Rightarrow \ \boxed {AC:\ 3x+2y-23=0}. \end{align*}
Parametervoorstelling van de lijnstukken:
\[ \boxed {[BC]:\ (x,y)=(-1,-1)+t(8,2)=(-1+8t,\,-1+2t),\ \ 0\le t\le 1} \]
\[ \boxed {[AC]:\ (x,y)=(3,7)+t(4,-6)=(3+4t,\,7-6t),\ \ 0\le t\le 1} \]
-
(e) Bepaal de vergelijking van de bissectrices van \(AB \) en \(AC \).
Eerst de rechten:
\[ AB:\ y=2x+1 \ \Rightarrow \ \boxed {AB:\ 2x-y+1=0}, \qquad \boxed {AC:\ 3x+2y-23=0}. \]
Normen:
\[ \sqrt {2^2+(-1)^2}=\sqrt 5,\qquad \sqrt {3^2+2^2}=\sqrt {13}. \]
Bissectrices:
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \frac {2x-y+1}{\sqrt 5}&=\pm \frac {3x+2y-23}{\sqrt {13}} \quad \text {(bissectrices)}\\ \sqrt {13}(2x-y+1)&=\pm \sqrt 5(3x+2y-23). \end{align*}
\[ \boxed {\sqrt {13}(2x-y+1)=\sqrt 5(3x+2y-23)} \quad \text {en} \quad \boxed {\sqrt {13}(2x-y+1)=-\sqrt 5(3x+2y-23)}. \]
(De inwendige bissectrice is diegene die door het inwendige van de driehoek gaat.)
-
(f) Bepaal de vergelijking van de bissectrices van \(AB \) en \(BC \).
\[ \boxed {AB:\ 2x-y+1=0},\qquad \boxed {BC:\ x-4y-3=0}. \]
Normen:
\[ \sqrt {2^2+(-1)^2}=\sqrt 5,\qquad \sqrt {1^2+(-4)^2}=\sqrt {17}. \]
Bissectrices:
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \frac {2x-y+1}{\sqrt 5}&=\pm \frac {x-4y-3}{\sqrt {17}}\\ \sqrt {17}(2x-y+1)&=\pm \sqrt 5(x-4y-3). \end{align*}
\[ \boxed {\sqrt {17}(2x-y+1)=\sqrt 5(x-4y-3)} \quad \text {en} \quad \boxed {\sqrt {17}(2x-y+1)=-\sqrt 5(x-4y-3)}. \]
(De inwendige bissectrice is diegene die door het inwendige van de driehoek gaat.)
Oefening 3
Gegeven zijn de rechten \(a \) en \(b \):
\[ a \leftrightarrow y = 2x - 3 \]
\[ b \leftrightarrow 2y - 4x - 5 = 0 \]
Bepaal de meetkundige plaats van de punten \(D \) die even ver verwijderd zijn van de rechten \(a \) en \(b \).
Neem \(D(x,y)\) willekeurig. We zoeken \(d(D,a)=d(D,b)\).
Zet beide rechten in vorm \(ux+vy+w=0\):
\[ a:\ y=2x-3 \ \Longleftrightarrow \ 2x-y-3=0, \qquad b:\ 2y-4x-5=0 \ \Longleftrightarrow \ 4x-2y+5=0 \]
en vereenvoudig \(b\) door \(2\):
\[ b:\ 2x-y+\frac 52=0. \]
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} d(D,a)=d(D,b) &\Longleftrightarrow \frac {|2x-y-3|}{\sqrt {2^2+(-1)^2}} =\frac {\left |2x-y+\frac 52\right |}{\sqrt {2^2+(-1)^2}} \quad \text {(afstand punt--rechte)}\\ &\Longleftrightarrow |2x-y-3|=\left |2x-y+\frac 52\right |. \end{align*}
Zet \(t=2x-y\):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} |t-3|=|t+\tfrac 52| &\Longleftrightarrow t-3=-(t+\tfrac 52) \quad \text {(enige mogelijke tekenkeuze)}\\ &\Longleftrightarrow 2t=\tfrac 12\\ &\Longleftrightarrow t=\tfrac 14. \end{align*}
Dus
\[ 2x-y=\frac 14 \ \Longleftrightarrow \ \boxed {y=2x-\frac 14}. \]
Meetkundige plaats: de rechte evenwijdig met \(a\) en \(b\) die er precies tussenin ligt.
Oefening 4
Gegeven twee punten \(A(1, 2) \) en \(B(5, 4) \). Gevraagd: de meetkundige plaats van de punten \(D \) waarvoor geldt:
\[ \frac {d(A, D)}{d(B, D)} = 2 \]
Neem \(D(x,y)\). Dan
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \frac {d(A,D)}{d(B,D)}=2 &\Longleftrightarrow d(A,D)=2\,d(B,D)\\ &\Longleftrightarrow \sqrt {(x-1)^2+(y-2)^2}=2\sqrt {(x-5)^2+(y-4)^2}\\ &\Longleftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=4\big ((x-5)^2+(y-4)^2\big )\quad \text {(kwadrateren)}. \end{align*}
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} x^2+y^2-2x-4y+5 &=4x^2+4y^2-40x-32y+164\\ 0&=3x^2+3y^2-38x-28y+159\\ 0&=x^2+y^2-\frac {38}{3}x-\frac {28}{3}y+53. \end{align*}
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} x^2-\frac {38}{3}x &=\left (x-\frac {19}{3}\right )^2-\frac {361}{9},\\ y^2-\frac {28}{3}y &=\left (y-\frac {14}{3}\right )^2-\frac {196}{9}. \end{align*} Dus
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \left (x-\frac {19}{3}\right )^2+\left (y-\frac {14}{3}\right )^2 &=\frac {361}{9}+\frac {196}{9}-53\\ &=\frac {557}{9}-\frac {477}{9} =\frac {80}{9}. \end{align*}
\[ \boxed {\ \text {Meetkundige plaats: de cirkel } \left (x-\frac {19}{3}\right )^2+\left (y-\frac {14}{3}\right )^2=\frac {80}{9}\ } \]
met middelpunt \(\left (\frac {19}{3},\frac {14}{3}\right )\) en straal \(\frac {4\sqrt 5}{3}\) (punt \(B\) uitgesloten omdat \(d(B,D)\neq 0\)).