TI-84 in de klas
I Kennismaking
1 Toetsen en menu’s
Met offon zet je het toestel aan. Met 2nd en daarna offon zet je het uit. Met de pijltjestoetsen verplaats je de cursor. insdel verwijdert een teken en met 2nd en insdel voeg je een teken in. clear maakt de invoerregel leeg.
De blauwe opschriften boven de toetsen bereik je met 2nd. Bereken bijvoorbeeld \(\sqrt {9}\): druk op 2nd√Ix², typ 9) en druk op entrysolveenter.
Het resultaat is \(3\).
Met A-lockalpha bereik je de groene letters boven de toetsen. Op een TI-84 met breuktemplates open je met A-lockalpha en statplotf1y= het breukenmenu. Kies n/d, typ \(1\) in de teller, ga met het pijltje omlaag naar de noemer en typ \(2\). Zo voer je \(\frac {1}{2}\) in.
Dit breukenmenu is niet beschikbaar in deze emulator. Je kunt hier dezelfde breuk invoeren als 1/2.
Met quitmode open je de instellingen. Je ziet er bijvoorbeeld Radian en Degree, voor radialen en graden. Met de pijltjes selecteer je een instelling; met entrysolveenter bevestig je ze.
Keer terug naar het rekenscherm met 2ndquitmode. Het blauwe opschrift QUIT boven quitmode betekent dat je het menu verlaat.
De TI-84 heeft twee mintekens. Gebruik ans?(−) voor een negatief getal en de aftrektoets ]W− om af te trekken. Typ bijvoorbeeld \(-3-2\) met eerst ans?(−) en dan ]W−.
Het resultaat is \(-5\). Met de pijltjes omhoog en omlaag kun je eerdere invoer of antwoorden selecteren en met entrysolveenter opnieuw gebruiken.
2 Voorbeeld: procentberekening
Een aankoop van 48 euro krijgt 15% korting. Je betaalt dus nog 85% van de oorspronkelijke prijs.
Typ 48*(1-0.15) en druk op entrysolveenter.
Na de korting betaal je \(40.8\) euro.
II Berekeningen
1 Volgorde en haakjes
Voor \(\dfrac {2+3}{4-1}\) voer je (2+3)/(4-1) in. Zonder haakjes berekent het toestel een andere uitdrukking. Controleer of de invoer met de formule overeenkomt. Gebruik de punt als decimaalteken.
Machten voer je in met de machtstoets, kwadraten met √Ix² en vierkantswortels met 2nd en √Ix². Sluit ook bij een wortel de haakjes waar nodig. Voor \(3\cdot 10^5\) gebruik je 3, daarna 2nd en de toets met EE erboven, en dan 5.
Een decimaal antwoord is soms een benadering. Zo geeft \(1/3\) een eindig aantal cijfers op het scherm, hoewel de decimale ontwikkeling blijft doorgaan. Via testAmath, Frac en entrysolveenter kun je een geschikt antwoord als breuk laten weergeven. Rond pas af op het einde en vermeld dat een afgerond antwoord een benadering is.
Zet teller en noemer elk tussen haakjes.
We delen de volledige teller door de volledige noemer.
Typ \(-3-2\): ans?(−) voor het negatieve getal, ]W− voor de aftrekking.
Gebruik 2nd√Ix² en typ 52+122).
De volledige som staat onder de wortel. We vinden \(13\).
2 Instellingen en geheugen
In quitmode kies je onder meer Degree voor graden of Radian voor radialen. Controleer deze instelling vóór je met goniometrische functies rekent. Zo is \(\sin (30\degree )=0.5\), terwijl \(\sin (30)\) in radialen een andere waarde geeft. Kies met de pijltjes een instelling, bevestig met entrysolveenter en verlaat het menu met 2nd en quitmode.
Je kunt een waarde bewaren voor later. Typ bijvoorbeeld 5, druk op de opslagtoets rclXsto→, kies met A-lockalpha de letter A en druk op entrysolveenter. Daarna kun je A in een berekening gebruiken. Een nieuwe waarde opslaan onder dezelfde letter vervangt de vorige.
Bewaar \(5\) met L5U5 rclXsto→ A-lockalphatestAmath entrysolveenter.
A-lockalphatestAmath is de alfafunctie boven testAmath.
Typ L3θ3 A-lockalphatestAmath mem"+ L2Z2 entrysolveenter.
Het toestel gebruikt de opgeslagen waarde: \(3\cdot 5+2=17\).
Lees een foutmelding en kies, indien aangeboden, Goto om terug te keren naar de plaats waar het toestel een fout vermoedt. Controleer haakjes, mintekens en het domein van de gebruikte functies. Een schermantwoord is het resultaat van de ingevoerde berekening: controleer ook of die berekening de vraag juist weergeeft.
3 Oefeningen
Oefening 1
Bereken en controleer de volgorde van de bewerkingen.
-
(a) \(\dfrac {7-3}{2+6}\) \(0.5\)
-
(b) \((-2)^4-3^2\) \(7\)
-
(c) \(\sqrt {5^2+12^2}\) \(13\)
Oefening 2
Bereken \(\sin (30\degree )\) en controleer eerst de instelling voor de hoek.
Kies Degree. Het resultaat is \(0.5\).
III Functies en grafieken
We onderzoeken \(f(x)=x^2-4\). Een tabel en een grafiek tonen elk een ander beeld van dezelfde functie.
1 Een functie invoeren en een tabel maken
Druk op statplotf1y= en voer bij Y1 de uitdrukking X2-4 in. De toets linkX,T,θ,n voert de variabele X in. Wis of deactiveer andere functies als je enkel deze grafiek wilt zien.
Met 2nd en tblsetf2window open je 2ndtblsetf2window. Stel TblStart in op \(-3\), de tabelstap op \(1\) en kies Auto voor de onafhankelijke variabele. Met 2nd en tablef5graph open je de tabel. Je leest bijvoorbeeld \(f(-3)=5\) en \(f(2)=0\). Een tabel toont slechts de gekozen waarden: tussen twee rijen kan nog veel gebeuren.
Open statplotf1y= en voer \(x^2-4\) in bij \(Y_1\).
Gebruik linkX,T,θ,n voor \(X\).
Open 2ndtblsetf2window. Stel TblStart in op \(-3\) en ΔTbl op \(1\).
Laat de beide tabelinstellingen op Auto staan.
Open de tabel met 2ndtablef5graph.
We lezen onder meer \(f(-3)=5\) en \(f(2)=0\).
2 Het venster kiezen
Druk op tablef5graph. Zie je de grafiek niet goed, controleer dan met tblsetf2window de grenzen Xmin, Xmax, Ymin en Ymax. De waarden Xscl en Yscl bepalen de afstand tussen de streepjes op de assen. Kies bijvoorbeeld \(-5\) tot \(5\) voor \(x\) en \(-6\) tot \(10\) voor \(y\). Via formatf3zoom en ZStandard krijg je een standaardvenster.
Een venster kan een deel van de grafiek verbergen. Het uiterlijk van de kromme hangt ook af van de schaal op de assen. Kies daarom een venster dat past bij de vraag en controleer zo nodig een tweede venster. Met calcf4trace loop je met de pijltjes langs de grafiek. Onderaan lees je de coördinaten van het geselecteerde punt. Gebruik dit om te verkennen, niet om een exact antwoord te bewijzen.
Open tblsetf2window en vul de venstergrenzen in.
Bevestig elke waarde met entrysolveenter.
Teken met tablef5graph. Kies 2ndcalcf4trace 1:value, typ \(2\) en bevestig.
Het punt \((2,0)\) ligt op de grafiek.
3 Nulwaarden, snijpunten en extrema
Via 2nd en calcf4trace open je het menu 2ndcalcf4trace. Kies zero om een nulwaarde te benaderen. Plaats met de pijltjes achtereenvolgens een linkergrens en een rechtergrens aan weerszijden van de nulwaarde en bevestig telkens met entrysolveenter. Kies daarna een startpunt binnen die grenzen en bevestig. Voor \(f\) vind je zo \(x=-2\) en \(x=2\), elk met een eigen zoekinterval.
Voor een snijpunt voer je beide functies in, bijvoorbeeld \(Y_1=x^2-4\) en \(Y_2=0\). Kies intersect in 2ndcalcf4trace, selecteer de twee krommen en kies een startpunt dicht bij het gewenste snijpunt. Voor een minimum of maximum kies je minimum of maximum en geef je opnieuw grenzen en een startpunt. Voor \(f\) vind je het minimum \((0,-4)\).
Kies 2ndcalcf4trace 2:zero.
Geef \(-3\) als Left Bound? en \(-1\) als Right Bound?. Bevestig telkens. Druk bij Guess? nogmaals op entrysolveenter.
Herhaal 2:zero met grenzen \(1\) en \(3\).
Een andere nulwaarde vraagt een ander zoekinterval.
Kies 2ndcalcf4trace 3:minimum.
Neem grenzen \(-1\) en \(1\) en startpunt \(0\). Het minimum is \((0,-4)\).
Het toestel geeft numerieke benaderingen. Een kleine afwijking van nul kan door afronding ontstaan. Controleer het resultaat door invullen of met een algebraïsche berekening; een grafiek alleen bewijst niet dat er geen andere oplossingen zijn.
4 Oefeningen
Oefening 3
Voer \(g(x)=x^2-2x-3\) in. Maak een tabel met stapgrootte \(1\), teken de grafiek en zoek de nulwaarden en het minimum. Controleer de nulwaarden door in te vullen.
De nulwaarden zijn \(-1\) en \(3\). Het minimum is \((1,-4)\). Invullen van \(-1\) en \(3\) geeft telkens \(0\).
Oefening 4
Zoek grafisch de snijpunten van \(y=x^2\) en \(y=x+2\). Controleer de \(x\)-waarden door invullen.
De snijpunten zijn \((-1,1)\) en \((2,4)\). Voor beide punten hebben de twee voorschriften dezelfde waarde.
IV Matrices
We bewaren de matrices
\[ A=\begin {pmatrix}1&2\\3&4\end {pmatrix},\qquad B=\begin {pmatrix}2&0\\1&2\end {pmatrix}. \]
Daarmee kunnen we berekeningen controleren die we ook met de hand uitvoeren.
1 Een matrix invoeren
Open met 2nd en de toets voor de inverse het menu 2ndmatrixDx⁻¹. Kies onder EDIT de matrix [A]. Stel het aantal rijen en kolommen beide in op \(2\) en vul de elementen rij per rij in. Bevestig elke invoer met entrysolveenter. Voer op dezelfde manier \(B\) in als [B]. Keer met 2ndquitmode terug naar het rekenscherm.
Om een matrix op te roepen kies je haar naam onder NAMES in het menu 2ndmatrixDx⁻¹. Om een element te wijzigen open je de matrix opnieuw onder EDIT, ga je met de pijltjes naar dat element en voer je de nieuwe waarde in.
2 Bewerkingen en inverse
Roep [A] en [B] op uit het matrixmenu en bereken [A]+[B] en [A]*[B]. Je vindt
\[ A+B=\begin {pmatrix}3&2\\4&6\end {pmatrix},\qquad AB=\begin {pmatrix}4&4\\10&8\end {pmatrix}. \]
Voor \(2A\) voer je 2*[A] in. De afmetingen moeten bij de bewerking passen: voor \(AB\) moet het aantal kolommen van \(A\) gelijk zijn aan het aantal rijen van \(B\). In het algemeen is \(AB\) niet gelijk aan \(BA\).
Voor de determinant kies je det( onder de tab MATH in het matrixmenu, gevolgd door [A] en een sluithaakje. Hier is \(\det A=-2\). Voor de inverse roep je [A] op en druk je op de toets voor de inverse. Omdat de determinant niet nul is, bestaat
\[ A^{-1}=\begin {pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end {pmatrix}. \]
Een vierkante matrix met determinant nul heeft geen inverse.
Open 2ndmatrixDx⁻¹, ga naar EDIT en kies 1:[A].
Geef eerst \(2\) rijen en \(2\) kolommen op. Vul daarna \(1,2,3,4\) rij per rij in. Keer terug met 2ndquitmode.
Kies in 2ndmatrixDx⁻¹ onder NAMES de matrix 1:[A]. Druk op matrixDx⁻¹ en entrysolveenter.
3 Een stelsel oplossen
Het stelsel \(x+2y=5\) en \(3x+4y=11\) schrijven we als
\[ A\begin {pmatrix}x\\y\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}5\\11\end {pmatrix}. \]
Voer de rechterkolom in als een matrix [C] met twee rijen en één kolom. Bereken [A]\(^{-1}\)*[C]. Het resultaat is de kolom met \(x=1\) en \(y=2\). Invullen in beide vergelijkingen bevestigt de oplossing. Deze werkwijze gebruikt de inverse en kan dus alleen wanneer die bestaat.
4 Een stelsel oplossen met rref
We lossen hetzelfde stelsel op zonder een inverse te berekenen:
\[ \begin {cases} x+2y=5,\\ 3x+4y=11. \end {cases} \]
We voeren de uitgebreide matrix in: de coëfficiënten staan links, de rechterleden in de laatste kolom. De functie rref herleidt die matrix tot de rij-canonieke vorm.
\[ \left (\begin {array}{rr|r}1&2&5\\3&4&11\end {array}\right ) \overset {\text {rref}}{\sim } \left (\begin {array}{rr|r}1&0&1\\0&1&2\end {array}\right ). \]
Open 2ndmatrixDx⁻¹, kies EDIT en 1:[A]. Geef \(2\) rijen en \(3\) kolommen op. Voer daarna de elementen rij per rij in.
Neem de rechterleden \(5\) en \(11\) mee als laatste kolom. Dit vervangt de vorige inhoud van [A].
Keer terug met 2ndquitmode. Open 2ndmatrixDx⁻¹, ga naar MATH en selecteer rref( met de pijltjes en entrysolveenter. Voeg via 2ndmatrixDx⁻¹, NAMES, 1:[A] de matrix toe. Sluit het haakje en druk op entrysolveenter.
We berekenen rref([A]). Lees de laatste kolom af: \(x=1\) en \(y=2\). Controleer door invullen in het oorspronkelijke stelsel.
Lees altijd de volledige resultaatmatrix. Een rij \(\begin {pmatrix}0&0&1\end {pmatrix}\) betekent \(0=1\ \lightning \): het stelsel heeft geen oplossing. Een nulrij \(\begin {pmatrix}0&0&0\end {pmatrix}\) legt geen extra voorwaarde op. Blijft een onbekende vrij en is er geen strijdigheid, dan zijn er oneindig veel oplossingen. Met rref kunnen we dus ook stelsels onderzoeken waarvoor de coëfficiëntenmatrix geen inverse heeft.
5 Oefeningen
Oefening 5
Gebruik de matrices \(A\) en \(B\) hierboven. Bereken \(BA\) en vergelijk met \(AB\).
\(BA=\begin {pmatrix}2&4\\7&10\end {pmatrix}\) en dus \(BA\ne AB\).
Oefening 6
Los met een inverse matrix het stelsel \(2x+y=5\) en \(x+y=3\) op. Controleer door invullen.
De oplossing is \(x=2\) en \(y=1\). Beide vergelijkingen zijn voldaan.
Oefening 7
Los met rref het stelsel \(x+y=3\) en \(2x+2y=6\) op. Wat betekent de nulrij in het resultaat? Vervang daarna het tweede rechterlid door \(7\). Wat verandert er?
Met rechterlid \(6\) vinden we
\[ \left (\begin {array}{rr|r}1&1&3\\0&0&0\end {array}\right ). \]
De tweede vergelijking legt geen extra voorwaarde op. Er zijn oneindig veel oplossingen: \((x,y)=(3-t,t)\) met \(t\in \R \). Met rechterlid \(7\) vinden we
\[ \left (\begin {array}{rr|r}1&1&0\\0&0&1\end {array}\right ). \]
De laatste rij betekent \(0=1\ \lightning \). Het stelsel heeft geen oplossing.