Discrete kansvariabelen

I Kansvariabele

1 Voorbeeld 1: Een zuiver muntstuk opgooien

Een speler gooit een zuiver muntstuk op. Er wordt afgesproken dat hij 2 EUR krijgt als hij kop werpt en 1 EUR als hij munt werpt.

We kunnen hiervoor een uitkomstenverzameling \(U\) opstellen en vervolgens met elk element van \(U\) een reëel getal associëren.

\[U=\{\opl [2cm]{\begin {matrix} k \\ \downarrow \\ 2 \end {matrix}},\opl [2cm]{\begin {matrix} m \\ \downarrow \\ 1 \end {matrix}}\}\]

\begin{align*} k &\rightarrow \opl [2cm]{2}\\ m &\rightarrow \opl [2cm]{1} \end{align*}

Op deze manier krijgen we een functie \(X\) van de uitkomstenverzameling \(U\) naar de verzameling van de reële getallen \(\mathbb {R}\). We noemen zo’n functie een kansvariabele \(X\) of toevalsveranderlijke \(X\).

Schematisch stellen we dit als volgt voor:

2 Voorbeeld 2: Controle van geleverde onderdelen

Van de onderdelen geleverd door een onbetrouwbare leverancier is \(25\%\) defect. Bij een controle onderzoeken we twee onderdelen en tellen we het aantal defecte stukken. Stel hierbij een defect stuk voor door de letter \(d\) en een goed stuk door de letter \(g\).

Dan vinden we

\[U=\{\opl [2.2cm]{\begin {matrix} (d,d) \\ \downarrow \\ 2 \end {matrix}}, \opl [2.2cm]{\begin {matrix} (d,g) \\ \downarrow \\ 1 \end {matrix}}, \opl [2.2cm]{\begin {matrix} (g,d) \\ \downarrow \\ 1 \end {matrix}}, \opl [2.2cm]{\begin {matrix} (g,g) \\ \downarrow \\ 0 \end {matrix}}\}\]

We associëren opnieuw met elk element van \(U\) een reëel getal, namelijk het aantal defecte onderdelen.

\begin{align*} (d,d) &\rightarrow \opl [2cm]{2} & (g,d) &\rightarrow \opl [2cm]{1}\\ (d,g) &\rightarrow \opl [2cm]{1} & (g,g) &\rightarrow \opl [2cm]{0} \end{align*}

We krijgen ook nu een kansvariabele \(X\) van de uitkomstenverzameling \(U\) naar de verzameling van de reële getallen \(\mathbb {R}\).

Schematisch:

3 Definitie

Bij het uitvoeren van een experiment met uitkomstenverzameling \(U\) en kansvariabele \(X\), noemen we een kansvariabele \(X\) een functie die elk element van \(U\) afbeeldt op een reëel getal.

\[X:U \rightarrow \mathbb {R}: u \rightarrow X(u)=x\]

4 Discrete en continue kansvariabelen

Een kansvariabele \(X\) noemen we discreet, als de verzameling van haar mogelijke getalwaarden

• • ofwel eindig is (voorbeelden 1 en 2)

• • ofwel oneindig aftelbaar is (bv. \(\mathbb {N}\))

Een kansvariabele \(X\) noemen we continu, als de verzameling van haar mogelijke getalwaarden overaftelbaar is (bv. \(\mathbb {R}\) of een interval van \(\mathbb {R}\)).

In dit hoofdstuk zullen we ons concentreren op discrete kansvariabelen. In hoofdstuk 4 behandelen we hier dan enkele specifieke voorbeelden op. In hoofdstuk 5 zullen de continue kansvariabelen met enkele specifieke voorbeelden bekeken worden.

5 Oefeningen

II Kansdichtheidsfunctie van een discrete kansvariabele

We hernemen de voorbeelden uit het eerste deel van dit hoofdstuk.

1 Voorbeeld 1: Een zuiver muntstuk opgooien

Een speler gooit een zuiver muntstuk op. Er wordt afgesproken dat hij 2 EUR krijgt als hij kop werpt en 1 EUR als hij munt werpt.

Wat is de kans dat de speler 1 EUR krijgt, wat is de kans om 2 EUR te krijgen?

Hiertoe associëren we met de beelden van de kansvariabele \(X\) een kansdichtheidsfunctie \(f\) van \(\mathbb {R}\) naar \([0;1]\):

Kans op het krijgen van 2 EUR = \(P(X=2)=P(\{\)kop\(\})=\frac {1}{2}=\opl [2cm]{f(2)}\)

Kans op het krijgen van 1 EUR = \(P(X=1)=P(\{\)munt\(\})=\frac {1}{2}=\opl [2cm]{f(1)}\)

2 Voorbeeld 2: Controle van geleverde onderdelen

Van de onderdelen geleverd door een onbetrouwbare leverancier is \(25\%\) defect. Bij een controle onderzoeken we twee onderdelen en tellen we het aantal defecte stukken.

Wat is de kans dat \(X\) respectievelijk de getalwaarden 0, 1 en 2 aanneemt?

Kans op 0 defecte stukken = \(P(X=0)=f(0)=\opl {0,5625 = \frac {9}{16}}\)
Kans op 1 defecte stuk = \(P(X=1)=f(1)=\opl {0,375 = \frac {6}{16}}\)
Kans op 2 defecte stukken = \(P(X=2)=f(2)=\opl {0,0625 = \frac {1}{16}}\)

We krijgen opnieuw een kansdichtheidsfunctie \(f\) van de kansvariabele \(X\) van \(\mathbb {R}\) naar \([0;1]\).

We kunnen dit ook in een tabelvorm schrijven, die duidelijker de analogie met de beschrijvende statistiek uit het vierde jaar weergeeft.

3 Definitie

Bij het uitvoeren van een experiment met uitkomstenverzameling \(U\) en kansvariabele \(X\), noemen we de kansdichtheidsfunctie van \(X\) de functie van \(\mathbb {R}\) naar \([0;1]\) die aangeeft met welke kans elke getalwaarde van \(X\) wordt aangenomen.

\[f:\mathbb {R} \rightarrow [0;1]: x_i \rightarrow f(x_i)=P(X=x_i)\]

4 Grafische voorstelling van een kansdichtheidsfunctie

We stellen zo’n kansdichtheidsfunctie vaak grafisch voor met een staafjesdiagram (ook: staafdiagram).

 Staafjesdiagram van een kansfunctie

Bij een discrete toevalsvariabele \(X\) met waarden \(x_1,x_2,\dots \) tekenen we op de \(x\)-as de mogelijke waarden \(x_i\). Boven elke \(x_i\) tekenen we een verticale staaf met hoogte \(f(x_i)=P(X=x_i)\).

 Voorbeeld 1: Een zuiver muntstuk opgooien

Een speler gooit een zuiver muntstuk op. Er wordt afgesproken dat hij 2 EUR krijgt als hij kop werpt en 1 EUR als hij munt werpt.

 Voorbeeld 2: Controle van geleverde onderdelen

Van de onderdelen geleverd door een onbetrouwbare leverancier is \(25\%\) defect. Bij een controle onderzoeken we twee onderdelen en tellen we het aantal defecte stukken.

III Verdelingsfunctie van een discrete kansvariabele

1 Definitie

We definiëren de (cumulatieve) verdelingsfunctie \(F\) van een kansvariabele \(X\) als

\[ F(x_i)=P(X\leq x_i)\opl {=\sum _{x_j\le x_i} f(x_j).} \]

2 Opmerking

De verdelingsfunctie \(F\) kan vergeleken worden met de cumulatieve relatieve frequentie uit de cursus beschrijvende statistiek uit het vierde jaar.

3 Grafische voorstelling van een verdelingsfunctie

Omdat \(X\) slechts sprongsgewijs kansen opstapelt, is \(F\) een trapfunctie (stapfunctie): ze is constant tussen twee mogelijke waarden en maakt sprongen ter hoogte van de \(x_i\).

 Trapfunctie van de verdelingsfunctie

In de grafiek teken je horizontale stukken (trappen). Op elk sprongpunt \(x_i\):

• • een open bolletje op het oude niveau (waarde vlak vóór \(x_i\)),

• • een gevuld bolletje op het nieuwe niveau (waarde in \(x_i\), want \(X\le x_i\)).

 Voorbeeld 1: Een zuiver muntstuk opgooien

 Voorbeeld 2: Controle van geleverde onderdelen

IV Uitgewerkt voorbeeld

In een bak zitten vijf knikkers: één rode, twee blauwe en twee gele. Bij een kansspel trekt een speler lukraak twee knikkers tegelijkertijd uit de bak. Voor een rode krijgt de speler 10 EUR, voor een blauwe 5 EUR en voor een gele 1 EUR.
Onderzoek de kansvariabele X die als getalwaarde de opbrengst van de speler heeft, met haar kansdichtheids- en verdelingsfunctie.

• • Aantal elementen van de uitkomstenverzameling \(U\)
  

  \[\#U = \binom {5}{2} = 10\]

• • Mogelijke getalwaarden voor \(X\)
  

  \[X \in \{2, 6, 10, 11, 15\}\]

• • kansdichtheids- en verdelingsfuncties \(f\) en \(F\)
  

  .
  \(x_i\)	\(f(x_i)\)	\(F(x_i)\)
  \(2\)	\(\dfrac {\binom {2}{2}}{\binom {5}{2}}=\dfrac {1}{10}\)	\(\dfrac {1}{10}\)
  \(6\)	\(\dfrac {\binom {2}{1}\binom {2}{1}}{\binom {5}{2}} =\dfrac {4}{10}\)	\(\dfrac {1}{10}+\dfrac {4}{10}=\dfrac {5}{10}=\dfrac 12\)
  \(10\)	\(\dfrac {\binom {1}{1}\binom {2}{1}}{\binom {5}{2}} =\dfrac {2}{10}\)	\(\dfrac {1}{10}+\dfrac {4}{10}+\dfrac {2}{10}=\dfrac {7}{10}\)
  \(11\)	\(\dfrac {\binom {1}{1}\binom {2}{1}}{\binom {5}{2}} =\dfrac {2}{10}\)	\(\dfrac {1}{10}+\dfrac {4}{10}+\dfrac {2}{10}+\dfrac {2}{10} =\dfrac {9}{10}\)
  \(15\)	\(\dfrac {\binom {1}{1}\binom {2}{1}}{\binom {5}{2}} =\dfrac {2}{10}\)	\(1\)

V Oefeningen

Bepaal de kansdichtheidsfuncties \(f\) en verdelingsfuncties \(F\) van de opgaven uit 1.5 en stel ze grafisch voor.

• (a) Fietsbel
  

  .
  \(x_i\)	\(f(x_i)\)	\(F(x_i)\)
  1
  2
  3
  4
  5

• (b) Opgooien van twee dobbelstenen na elkaar
  Hiertoe stellen we een schema (tabel) op, met op de eerste rij de mogelijke uitkomsten van de eerste worp en in de eerste kolom de mogelijke uitkomsten van de tweede worp.

  .
  	1	2	3	4	5	6
  1
  2
  3
  4
  5
  6

  .
  \(x_i\)	\(f(x_i)\)	\(F(x_i)\)

VI Verwachtingswaarde van een discrete kansvariabele

1 Voorbeeld

In een farmaceutisch bedrijf worden tabletten van een geneesmiddel geproduceerd. De kans dat een lukraak uit de productie genomen pil voldoet aan alle wettelijke normen inzake dosering, is gelijk aan 96%. Zo’n pil kan dan met een winst van 0,30 EUR verkocht worden. De kans dat een pil niet aan de normen voldoet is 4%. In dat geval moet ze worden vernietigd, wat neerkomt op een verlies van 2,20 EUR.
Onderzoek de winst die de firma mag verwachten als ze een grote hoeveelheid pillen vervaardigt.

• • Uitkomstenverzameling \(U=\opl [3cm]{}\)

• • Mogelijke getalwaarden (winst per pil) voor de kansvariabele \(X\):

• • Kansdichtheidsfunctie \(f\) van \(X\)

  .
  \(x_i\)	\(f(x_i)\)
  -2.20	0.04
  0.30	0.96

  Veronderstel nu dat er \(10000\) pillen geproduceerd werden. Dan kunnen we achtereenvolgens verwachten:

  • – Aantal goede pillen = met winst =

  • – Aantal slechte pillen = met ‘winst’ =

  • – Totaal te verwachten winst =

  • – Winst per pil =

Gemiddeld mag men dus 0,20 EUR winst per pil verwachten. We noemen dit de verwachtingswaarde E(X) \(=\mu \) van de kansvariabele \(X\). We vinden \(E(X)\) door elke mogelijke waarde van \(X\) te vermenigvuldigen met de kans op voorkomen van deze getalwaarde en daarna de verkregen producten op te tellen.

Merk hier de analogie op met het rekenkundig gemiddelde \(\overline {x}\) van een steekproef uit de beschrijvende statistiek. Om de nadruk te leggen op het verschil tussen beide, noemt men \(\mu =E(X)\) het populatiegemiddelde en \(\overline {x}\) het steekproefgemiddelde.

2 Definitie

Is aan een experiment met uitkomstenverzameling \(U\) een kansvariabele \(X\) verbonden, dan noemen we de verwachtingswaarde E(X) van deze kansvariabele de som van de producten die we verkrijgen door elke getalwaarde van \(X\) te vermenigvuldigen met haar kans op voorkomen.

\[ \mu =E(X)=\sum _{i} x_i\cdot f(x_i) \]

3 Oefeningen

Bereken de verwachtingswaarde \(\mu =E(X)\) van de oefeningen uit 1.5 (m.b.v. je grafisch rekentoestel!)

• (a) \(E(X)=\) het te verwachten aantal beurten dat de fietsenmaker nodig heeft om een werkende fietsbel uit de doos te halen.
  

  .
  \(x_i\)	\(f(x_i)\)	\(x_i\cdot f(x_i)\)
  1	\(\frac {6}{10}\)
  2	\(\frac {4}{10}\cdot \frac {6}{9}=\frac {4}{15}\)
  	⋮
  3
  4
  5
  		\(E(X)=\opl [4cm]{}\)

• (b) \(E(X)=\) de te verwachten som van het aantal ogen bij het werpen met twee dobbelstenen.
  

  .
  \(x_i\)	\(f(x_i)\)	\(x_i\cdot f(x_i)\)
  2	\(\frac {1}{36}\)
  3	\(\frac {2}{36}\)
  ⋮	⋮
  12	\(\frac {1}{36}\)
  		\(E(X)=\opl [4cm]{}\)

VII Variantie en standaardafwijking van een discrete kansvariabele

Zoals in de beschrijvende statistiek een standaardafwijking berekend werd om na te gaan of het rekenkundig gemiddelde representatief was voor de beschouwde steekproef, zullen we dit ook hier doen voor de verwachtingswaarde. We vullen onze tabel dus aan met een extra kolom \((x_i-\mu )^2\cdot f(x_i)\)

1 Voorbeeld

We hernemen het voorbeeld met de medicijnen. We gingen uit van een kansvariabele \(X\) met

We vinden de bijhorende standaardafwijking \(\sigma \) door de vierkantswortel te nemen uit var(X).
\(\sigma _{X} = \sqrt {var(X)}=\opl {}\)

We wijzigen nu de gegevens voor de winst naar 0.50 EUR winst bij een goede pil en 7.00 EUR verlies voor een slechte pil. We noemen de bijhorende kansvariabele \(Y\) met kansfunctie \(g\) en verwachtingswaarde \(E(Y)=\mu _Y\).

Voor de standaarafwijking vinden we: \(\sigma _{Y} = \sqrt {var(Y)}=\opl {}\)

Besluit:

2 Definitie

Is aan een experiment met uitkomstenverzameling \(U\) een kansvariabele \(X\) verbonden met verwachtingswaarde \(E(X)\), dan noemen we de variantie var(X) van deze kansvariabele

\[ var(X)=\sum _{i} (x_i-\mu )^2\cdot f(x_i) \]

De positieve vierkantswortel uit de variantie noemen we de standaardafwijking \(\sigma \).

\[ \sigma _{X} = \sqrt {var(X)} \]

3 Uitgewerkt voorbeeld

Speler A gooit met een zuivere dobbelsteen. Als speler A één of twee ogen gooit, dan betaalt deze speler 1.00 EUR aan speler B. Gooit speler A drie, vier of vijf ogen, dan krijgt deze speler 0.50 EUR van speler B. Worden er zes ogen gegooid, dan krijgt speler A 2.00 EUR van speler B.
We onderzoeken de te verwachten winst voor speler A met bijhorende standaardafwijking. Is dit een eerlijk spel?

Besluit: 2

VIII Eigenschappen van de verwachtingswaarde en de variantie

Uit de definitie kunnen de eerste vier eigenschappen afgeleid worden, de laatste twee nemen we aan zonder bewijs.

\(\forall k \in \mathbb {R}:\)

• (a) \(E(X+k)=E(X)+k\)

• (b) \(E(k \cdot X)=k \cdot E(X)\)

• (c) \(var(X+k)=var(X)\)

• (d) \(var(k \cdot X)=k^2 \cdot var(X)\)

• (e) Als \(X\) en \(Y\) twee onafhankelijke kansvariabelen zijn, dan geldt voor de kansvariabele \(Z=X+Y\):

  • (a) \(E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)

  • (b) \(var(Z)=var(X+Y)=var(X)+var(Y)\Rightarrow \sigma _Z=\sqrt {\sigma _X^2+\sigma _Y^2}\)

IX \(\sqrt {n}\)-wet

We beschouwen nu \(n\) onafhankelijke kansvariabelen \(X_1, X_2, \ldots X_n\), alle met eenzelfde verwachtingswaarde \(E(X_i)=\mu _X\) en eenzelfde standaardafwijking \(\sigma _X=\sqrt {var(X_i)}\).
Dan kunnen we m.b.v. bovenstaande eigenschappen makkelijk volgende rekenregels voor som en gemiddelde van de uitkomsten bewijzen.

• • Voor de som \(S\) van de uitkomsten

  • 1. \(S=X_1+X_2+ \ldots +X_n\)

  • 2. \(\mu _S = E(S)=n \cdot E(X)=n \cdot \mu _X\)

  • 3. \(var(S) = n \cdot var(X)\Rightarrow \sigma _S=\sqrt {n} \cdot \sigma _X\)

• • Voor het gemiddelde \(\overline {X}\) van de uitkomsten

  • 1. \(\overline {X}=\frac {X_1+X_2+ \ldots +X_n}{n}=\frac {S}{n}\)

  • 2. \(\mu _{\overline {X}} = E(\overline {X})=E(X)=\mu _X\)

  • 3. \(var(\overline {X}) = \frac {1}{n} \cdot var(X)\Rightarrow \sigma _{\overline {X}}=\frac {\sigma _X}{\sqrt {n}}\)

We bewijzen de laatste twee eigenschappen.

\(\mu _{\overline {X}} = \) \(var(\overline {X}) =\)

1 Voorbeeld

Een zakje nootjes weegt gemiddeld 300 gr en heeft hierop een standaardafwijking van 10 gram. Men verpakt deze nootjes per 25 zakjes in een kartonnen doos.

\(X=\) \(\Rightarrow E(X)=\opl [3cm]{}\) \(\sigma _X=\opl [3cm]{}\)

• (a) Bereken de verwachte massa en standaardafwijking van de totale massa van de doos. 2

• (b) Bereken de verwachte massa en standaardafwijking van één zakje uit de doos. 2

X Oefeningen

Zie handboek Van Basis tot Limiet, Statistiek: nrs. 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11 en 14 p. 104 en volgende.

XI Extra oefeningen