Matrices en determinanten

I Matrices

1 Definitie

Een \(m\times n\)-matrix \(A\) is een rechthoekige tabel van \(m\cdot n\) reële getallen, bestaande uit \(m\) rijen en \(n\) kolommen. Algemeen:

De elementen \(a_{ij}\) worden voorzien van dubbele indices. De eerste index \(i\) wijst het rangnummer van de rij aan, de tweede index \(j\) het rangnummer van de kolom. Aldus staat \(a_{23}\) op de tweede rij en in de derde kolom.

De verzameling van alle \(m\times n\)-matrices met reële elementen wordt voorgesteld door \(\R ^{m\times n}\). We noemen \(m\times n\) de orde van de matrix (ook de dimensie genoemd).

Voorbeeld

2 Gelijke matrices

Definitie

Twee matrices \(A\) en \(B\) heten gelijk als en slechts als

• • ze dezelfde orde hebben, en

• • hun overeenkomstige elementen gelijk zijn.

Met \(A=(a_{ij})\) en \(B=(b_{ij})\) geldt dus:

\[ A=B \iff \bigl (\,a_{ij}=b_{ij}\ \text {voor alle } i=1,\ldots ,m,\ j=1,\ldots ,n\,\bigr ). \]

Oefeningen

3 Optelling van matrices met dezelfde orde

Definitie

Overeenkomstige elementen worden opgeteld:

\[ (a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij}). \]

Voor \(A,B\in \R ^{m\times n}\) is \(A+B\in \R ^{m\times n}\).

Eigenschappen

Voor alle \(A,B,C\in \R ^{m\times n}\):

• 1. Inwendigheid: \(A+B\in \R ^{m\times n}\).

• 2. Commutativiteit: \(A+B=B+A\).

• 3. Associativiteit: \((A+B)+C=A+(B+C)\).

• 4. De nulmatrix \(O\) is neutraal: \(A+O=A\).

• 5. Voor iedere matrix \(A\) hoort een tegengestelde \(-A\) met \(A+(-A)=O\).

Dus \((\R ^{m\times n},+)\) is een commutatieve groep.

Oefeningen

4 Vermenigvuldiging van een reëel getal en een matrix

Definitie

Voor \(r\in \R \) en \(A=(a_{ij})\) definiëren we \(rA=(ra_{ij})\) (scalaire vermenigvuldiging).

Voorbeeld

Eigenschappen

Voor \(r,s\in \R \) en \(A,B\in \R ^{m\times n}\):

• 1. Inwendigheid: \(rA\in \R ^{m\times n}\).

• 2. Neutraal element: \(1\cdot A=A\).

• 3. Associativiteit: \((rs)A=r(sA)\).

• 4. Distributiviteit t.o.v. matrixoptelling: \(r(A+B)=rA+rB\).

• 5. Distributiviteit t.o.v. scalair optellen: \((r+s)A=rA+sA\).

Bovendien is \((\R ^{m\times n},+)\) een commutatieve groep; besluit: \(\bigl (\R ^{m\times n},\R ,+\bigr )\) is een reële vectorruimte.

Oefeningen

5 Matrixvermenigvuldiging

Definitie

Zij \(A=(a_{ij})\) een \(m\times p\)-matrix en \(B=(b_{ij})\) een \(p\times n\)-matrix. Het product \(C=AB\) is de \(m\times n\)-matrix met

\[ c_{ij}=\sum _{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}\quad (i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n). \]

\[ \begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ \boxed {a_{i1}}&\boxed {a_{i2}}&\cdots &\boxed {a_{in}}\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end {pmatrix} \cdot \begin {pmatrix} b_{11}&\boxed {b_{1j}}&\cdots &b_{1p}\\ b_{21}&\boxed {b_{2j}}&\cdots &b_{2p}\\ b_{n1}&\boxed {b_{nj}}&\cdots &b_{np} \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} c_{11}&c_{1j}&\cdots &c_{1p}\\ c_{i1}&\boxed {c_{ij}}&\cdots &c_{ip}\\ c_{m1}&c_{mj}&\cdots &c_{mp} \end {pmatrix} \]

Voorbeeld

Opmerking

\(AB\) bestaat dan en slechts dan als het aantal kolommen van \(A\) gelijk is aan het aantal rijen van \(B\) (m.a.w. \(p\) is gelijk).

Eigenschappen

Voor matrices van passende orde:

• 1. Associativiteit: \((AB)C=A(BC)\).

• 2. Distributiviteit: \(A(B+C)=AB+AC\) en \((A+B)C=AC+BC\).

• 3. Niet-commutatief in het algemeen: \(AB\neq BA\) in het algemeen.

Voorbeeld (niet-commutativiteit)

Nuldelers

In \(\R \) geldt: is een product nul, dan is een van beide factoren nul. Bij matrices gaat dat niet op. Er bestaan matrices \(A\) en \(B\) die zelf niet de nulmatrix zijn, maar waarvan het product wel de nulmatrix \(O\) is (zie Vierkante matrices). We noemen zulke matrices nuldelers:

Uit \(AB=O\) mag je dus niet besluiten dat \(A=O\) of \(B=O\).

Macht van een matrix

Heeft \(A\) evenveel rijen als kolommen, dan kan je ze met zichzelf vermenigvuldigen. Voor \(p\in \N _0\) is de macht \(A^p\) het product van \(p\) factoren \(A\):

\[ A^p=\underbrace {A\cdot A\cdots A}_{p\text { factoren}},\qquad A^1=A. \]

Verder spreken we af dat \(A^0=I_n\), de eenheidsmatrix van dezelfde orde (zie Vierkante matrices). Zo blijft \(A^p\cdot A^q=A^{p+q}\) ook voor \(p=0\) gelden.

Voor een matrix die niet evenveel rijen als kolommen heeft, bestaat \(A^2\) niet: de binnenste afmetingen passen dan niet.

Oefeningen

6 Getransponeerde matrix

Definitie

De getransponeerde \(A^\T \) van \(A\) verkrijgt men door de rijen van \(A\) als kolommen te schrijven (zonder volgorde te wijzigen). Als

\[ A= \begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn} \end {pmatrix}, \quad A^\T = \begin {pmatrix} a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{m1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{m2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{mn} \end {pmatrix}. \]

Voor \(A\in \R ^{m\times n}\) geldt \(A^\T \in \R ^{n\times m}\).

Voorbeeld

Eigenschappen

Voor matrices \(A, B\) met passende orde en \(r\in \R \) geldt:

• 1. \((A^\T )^\T = A\).

• 2. \((A+B)^\T = A^\T + B^\T \).

• 3. \((rA)^\T = rA^\T \).

• 4. \((AB)^\T = B^\T A^\T \) (opgelet: de volgorde keert om).

Oefeningen

7 Vierkante matrices

Definitie

Een vierkante matrix heeft evenveel rijen als kolommen (orde \(n\)). De elementen \(a_{ii}\) vormen de hoofddiagonaal (\(i=1,\ldots ,n\)).

Eenheidsmatrix

De eenheidsmatrix van orde \(n\) heeft enen op de hoofddiagonaal en nullen daarbuiten:

\[ I_n= \begin {pmatrix} 1&0&\cdots &0\\ 0&1&\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0&0&\cdots &1 \end {pmatrix},\qquad AI_n=I_nA=A \text { (voor $A$ van orde $n$).} \]

Nulmatrix

De nulmatrix \(O\) heeft overal \(0\) als element. Ze is opslorpend voor het product: \(AO=OA=O\).

Diagonaalmatrix

Een diagonaalmatrix is een vierkante matrix die buiten de hoofddiagonaal enkel nullen heeft.

Scalaire matrix

Een scalaire matrix is een diagonaalmatrix waarin op de hoofddiagonaal telkens hetzelfde getal staat: \(rI_n\).

Driehoeksmatrix

Een bovendriehoeksmatrix heeft onder de hoofddiagonaal enkel nullen, een onderdriehoeksmatrix erboven.

Symmetrische matrices

Een vierkante matrix \(A\) heet symmetrisch als \(A^\T =A\), dus als \(a_{ij}=a_{ji}\) voor alle \(i\) en \(j\). De elementen liggen dan twee aan twee gespiegeld over de hoofddiagonaal.

Antisymmetrische matrices

Een vierkante matrix \(A\) heet antisymmetrisch als \(A^\T =-A\), dus als \(a_{ji}=-a_{ij}\) voor alle \(i\) en \(j\). Voor \(i=j\) geeft dat \(a_{ii}=-a_{ii}\), en dus staat op de hoofddiagonaal enkel \(0\).

Eigenschappen combineren

Een matrix kan tegelijk aan verschillende van deze eigenschappen voldoen. De eenheidsmatrix is bijvoorbeeld diagonaal, scalair, boven- én onderdriehoekig en symmetrisch. Schakel hieronder eigenschappen in en kijk welke matrix er dan nog overblijft.

Oefeningen

II Transformaties van het vlak

1 Een figuur als matrix

Aanleiding

In een tekenprogramma sleep je een figuur opzij, maak je ze groter of draai je ze een kwartslag. In een computerspel gebeurt dat met elk voorwerp, tientallen keren per seconde. De computer tekent de figuur daarbij niet opnieuw met de hand. Hij bewaart enkel de coördinaten van de hoekpunten en rekent daarmee de nieuwe hoekpunten uit. Dat rekenwerk is matrixrekenen.

Afspraak

We schrijven de coördinaten van elk hoekpunt als een kolom. Een figuur met \(n\) hoekpunten wordt zo een \(2\times n\)-matrix: de eerste rij bevat de \(x\)-coördinaten, de tweede rij de \(y\)-coördinaten. Voor de driehoek met hoekpunten \(A(1,1)\), \(B(3,1)\) en \(C(1,2)\) is dat

\[ F=\begin {pmatrix}1&3&1\\ 1&1&2\end {pmatrix}. \]

Een transformatie voegt aan elk punt \(P\) een punt \(P'\) toe, het beeld van \(P\). Het beeld van de figuur noemen we \(F'\), met hoekpunten \(A'\), \(B'\) en \(C'\). We gebruiken deze driehoek in de hele sectie, zodat je de transformaties met elkaar kunt vergelijken.

2 Verschuiven

Aanleiding

We schuiven de driehoek \(3\) eenheden naar rechts en \(1\) eenheid naar beneden. Elk punt krijgt er dus \(3\) bij in \(x\) en \(-1\) in \(y\). Dat is een som van matrices:

\[ F'=F+T=\begin {pmatrix}1&3&1\\ 1&1&2\end {pmatrix}+\begin {pmatrix}3&3&3\\ -1&-1&-1\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}4&6&4\\ 0&0&1\end {pmatrix}. \]

Elke kolom van \(T\) is dezelfde vector \(\vec v=\begin {pmatrix}3\\ -1\end {pmatrix}\): de verschuivingsvector.

Een verschuiving over \(\vec v\) is dus niets anders dan de som van de figuur en een matrix met \(\vec v\) in elke kolom.

3 Schalen

Aanleiding

We maken de driehoek twee keer zo groot: elke coördinaat wordt verdubbeld, \(x'=2x\) en \(y'=2y\). Dat kan met een scalair veelvoud, \(F'=2F\). Maar we kunnen het ook schrijven als een product met een matrix:

\[ \begin {pmatrix}x'\\ y'\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}2&0\\ 0&2\end {pmatrix}\begin {pmatrix}x\\ y\end {pmatrix}. \]

Die schrijfwijze is sterker. Ze werkt ook als \(x\) en \(y\) elk een andere factor krijgen, en straks ook voor spiegelen en draaien.

Een transformatie als product

Een transformatie met een \(2\times 2\)-matrix \(M\) stuurt het punt met kolom \(\begin {pmatrix}x\\ y\end {pmatrix}\) naar \(M\begin {pmatrix}x\\ y\end {pmatrix}\). Omdat een matrixproduct kolom per kolom werkt, rekenen we alle hoekpunten in één keer uit:

\[ F'=M\cdot F. \]

Definitie

De schaling met factor \(k\) in de \(x\)-richting en factor \(l\) in de \(y\)-richting heeft als matrix

\[ S=\begin {pmatrix}k&0\\ 0&l\end {pmatrix}. \]

Is \(k=l\), dan behoudt de figuur haar vorm en spreken we van een vergroting of een verkleining. Het centrum is de oorsprong: ook de afstand tot \(O\) wordt met \(k\) vermenigvuldigd.

Voorbeeld

\[ \begin {pmatrix}2&0\\ 0&2\end {pmatrix}\begin {pmatrix}1&3&1\\ 1&1&2\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}2&6&2\\ 2&2&4\end {pmatrix} \]

De zijden worden twee keer zo lang, en de driehoek schuift weg van de oorsprong.

4 Spiegelen

Aanleiding

Bij een spiegeling om de \(y\)-as keert het teken van de \(x\)-coördinaat om en blijft de \(y\)-coördinaat: \(x'=-x\) en \(y'=y\). Als product:

\[ \begin {pmatrix}-1&0\\ 0&1\end {pmatrix}\begin {pmatrix}1&3&1\\ 1&1&2\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}-1&-3&-1\\ 1&1&2\end {pmatrix}. \]

Vier spiegelingen

\[ \underbrace {\begin {pmatrix}1&0\\ 0&-1\end {pmatrix}}_{\text {om de $x$-as}} \qquad \underbrace {\begin {pmatrix}-1&0\\ 0&1\end {pmatrix}}_{\text {om de $y$-as}} \qquad \underbrace {\begin {pmatrix}0&1\\ 1&0\end {pmatrix}}_{\text {om de rechte $y=x$}} \qquad \underbrace {\begin {pmatrix}0&-1\\ -1&0\end {pmatrix}}_{\text {om de rechte $y=-x$}} \]

De derde matrix wisselt \(x\) en \(y\) van plaats. Dat is dezelfde matrix die bij de oefeningen over vierkante matrices twee rijen van plaats wisselde: hier zijn die rijen de \(x\)- en de \(y\)-coördinaten. De vierde wisselt ze ook, en keert daarbij beide tekens om: \(x'=-y\) en \(y'=-x\).

Opmerking

Loop je de driehoek \(ABC\) rond in de volgorde \(A\), \(B\), \(C\), dan draai je tegen de wijzers van de klok in. Bij \(A'B'C'\) draai je met de wijzers mee. Een spiegeling keert de omloopzin om; verschuiven en schalen met positieve factoren doen dat niet.

Oefeningen

5 De kolommen van de matrix

Aanleiding

Hoe vind je de matrix van een transformatie die je enkel in woorden kent? Kijk naar de punten \((1,0)\) en \((0,1)\):

\[ \begin {pmatrix}a&b\\ c&d\end {pmatrix}\begin {pmatrix}1\\ 0\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}a\\ c\end {pmatrix} \qquad \text {en}\qquad \begin {pmatrix}a&b\\ c&d\end {pmatrix}\begin {pmatrix}0\\ 1\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}b\\ d\end {pmatrix}. \]

Eigenschap

De eerste kolom van \(M\) is het beeld van \(\vec e_1=\begin {pmatrix}1\\ 0\end {pmatrix}\), de tweede kolom het beeld van \(\vec e_2=\begin {pmatrix}0\\ 1\end {pmatrix}\). Ken je die twee beelden, dan ken je de matrix.

Voorbeeld

Bij een afschuiving blijft elk punt op zijn hoogte, maar schuift het naar rechts over een afstand gelijk aan zijn hoogte: \(x'=x+y\) en \(y'=y\). Dan gaat \(\vec e_1\) naar \(\begin {pmatrix}1\\ 0\end {pmatrix}\) en \(\vec e_2\) naar \(\begin {pmatrix}1\\ 1\end {pmatrix}\), zodat

\[ M=\begin {pmatrix}1&1\\ 0&1\end {pmatrix} \qquad \text {en}\qquad M\cdot F=\begin {pmatrix}1&1\\ 0&1\end {pmatrix}\begin {pmatrix}1&3&1\\ 1&1&2\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}2&4&3\\ 1&1&2\end {pmatrix}. \]

6 Draaien

Aanleiding

We draaien de driehoek over een hoek \(\alpha \) om de oorsprong, tegen de wijzers van de klok in. Met de vorige eigenschap volstaat het om de beelden van \(\vec e_1\) en \(\vec e_2\) te kennen. Het punt \((1,0)\) ligt op de goniometrische cirkel en komt terecht in \((\cos \alpha ,\sin \alpha )\). Het punt \((0,1)\) ligt een kwartslag verder en komt terecht in \(\bigl (\cos (\alpha +90^\circ ),\sin (\alpha +90^\circ )\bigr )=(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\).

Definitie

De draaiing over de hoek \(\alpha \) om de oorsprong heeft als matrix

\[ R_\alpha =\begin {pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\ \sin \alpha &\cos \alpha \end {pmatrix}. \]

Voorbeeld

Voor een kwartslag is \(\cos 90^\circ =0\) en \(\sin 90^\circ =1\):

\[ R_{90^\circ }\cdot F=\begin {pmatrix}0&-1\\ 1&0\end {pmatrix}\begin {pmatrix}1&3&1\\ 1&1&2\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}-1&-1&-2\\ 1&3&1\end {pmatrix}. \]

Oefeningen

7 Transformaties na elkaar

Aanleiding

We draaien de driehoek eerst een kwartslag met \(R=R_{90^\circ }\) en spiegelen het resultaat daarna om de \(x\)-as met \(S=\begin {pmatrix}1&0\\ 0&-1\end {pmatrix}\). Het beeld is \(S\cdot (R\cdot F)\). Omdat het matrixproduct associatief is, is dat hetzelfde als \((S\cdot R)\cdot F\). De twee stappen samen zijn dus één transformatie, met als matrix het product \(S\cdot R\).

Eigenschap

Voer je eerst de transformatie met matrix \(M_1\) uit en daarna die met \(M_2\), dan heeft het geheel als matrix \(M_2\cdot M_1\). Let op de volgorde: de matrix van de eerste stap staat rechts, het dichtst bij \(F\).

Voorbeeld

\[ S\cdot R=\begin {pmatrix}1&0\\ 0&-1\end {pmatrix}\begin {pmatrix}0&-1\\ 1&0\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}0&-1\\ -1&0\end {pmatrix} \qquad R\cdot S=\begin {pmatrix}0&-1\\ 1&0\end {pmatrix}\begin {pmatrix}1&0\\ 0&-1\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}0&1\\ 1&0\end {pmatrix} \]

Eerst draaien en dan spiegelen geeft de spiegeling om de rechte \(y=-x\). Eerst spiegelen en dan draaien geeft de spiegeling om \(y=x\). Omdat het matrixproduct niet commutatief is, doet de volgorde ertoe.

Oefeningen

8 Verschuiven als product

Aanleiding

Een verschuiving past niet in de vorm \(M\cdot F\). Voor elke \(2\times 2\)-matrix is \(M\begin {pmatrix}0\\ 0\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}0\\ 0\end {pmatrix}\): de oorsprong blijft altijd ter plaatse. Toch willen we alles als één product schrijven, zodat een reeks stappen weer één matrix wordt. De oplossing is een extra coördinaat die altijd \(1\) is.

Homogene coördinaten

We schrijven het punt \((x,y)\) als de kolom \(\begin {pmatrix}x\\ y\\ 1\end {pmatrix}\): dat zijn de homogene coördinaten van het punt. Een verschuiving over \(\vec v=\begin {pmatrix}a\\ b\end {pmatrix}\) wordt nu een product:

\[ \begin {pmatrix}1&0&a\\ 0&1&b\\ 0&0&1\end {pmatrix}\begin {pmatrix}x\\ y\\ 1\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}x+a\\ y+b\\ 1\end {pmatrix}. \]

Die matrix noemen we \(T_{(a,b)}\). Een \(2\times 2\)-matrix \(M\) krijgt een rij en een kolom erbij: \(M\) linksboven, een \(1\) rechtsonder en verder nullen. Zo wordt de draaiing over \(90^\circ \)

\[ R=\begin {pmatrix}0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\end {pmatrix}. \]

De figuur krijgt er een rij enen bij: \(F=\begin {pmatrix}1&3&1\\ 1&1&2\\ 1&1&1\end {pmatrix}\).

Voorbeeld: draaien om een ander punt

We draaien de driehoek over \(90^\circ \) om haar hoekpunt \(C(1,2)\) in plaats van om de oorsprong. Dat gaat in drie stappen: verschuif \(C\) naar de oorsprong, draai, en verschuif terug.

\[ T_{(1,2)}\cdot R\cdot T_{(-1,-2)} =\begin {pmatrix}1&0&1\\ 0&1&2\\ 0&0&1\end {pmatrix} \begin {pmatrix}0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\end {pmatrix} \begin {pmatrix}1&0&-1\\ 0&1&-2\\ 0&0&1\end {pmatrix} =\begin {pmatrix}0&-1&3\\ 1&0&1\\ 0&0&1\end {pmatrix} \]

Het beeld van de driehoek is dan

\[ \begin {pmatrix}0&-1&3\\ 1&0&1\\ 0&0&1\end {pmatrix}\begin {pmatrix}1&3&1\\ 1&1&2\\ 1&1&1\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}2&2&1\\ 2&4&2\\ 1&1&1\end {pmatrix}. \]

Het punt \(C\) blijft inderdaad op zijn plaats.

Met homogene coördinaten is elke transformatie uit deze sectie een product met een \(3\times 3\)-matrix, en is een reeks stappen na elkaar opnieuw één matrix.

Oefeningen

III Determinanten

1 Determinant van orde 2

Aanleiding

We lossen het stelsel

\[ \begin {cases} a\,x+b\,y=e\\ c\,x+d\,y=f \end {cases} \]

op met de combinatiemethode. Vermenigvuldig de eerste vergelijking met \(d\) en de tweede met \(b\), en trek ze van elkaar af. De termen in \(y\) vallen weg:

\[ (ad-bc)\,x=ed-bf. \]

Het getal \(ad-bc\) beslist over het stelsel. Is het niet nul, dan vinden we precies één waarde voor \(x\), en op dezelfde manier één voor \(y\). Is het nul, dan heeft het stelsel geen of oneindig veel oplossingen. Dat getal hangt enkel af van de coëfficiëntenmatrix \(\begin {pmatrix}a&b\\ c&d\end {pmatrix}\). Het krijgt daarom een eigen naam.

Definitie

De determinant van de \(2\times 2\)-matrix \(A=\begin {pmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end {pmatrix}\) is het reëel getal

\[ \det A=|A|=\begin {vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end {vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}. \]

Het is het product van de hoofddiagonaal min het product van de nevendiagonaal. We spreken van een determinant van de tweede orde. Voor een \(1\times 1\)-matrix \(A=(a)\) is \(\det A=a\).

Let op: de strepen van \(|A|\) zijn geen absolute waarde. Een determinant kan negatief zijn.

Voorbeeld

\[ \begin {vmatrix}2&3\\ 4&5\end {vmatrix}=2\cdot 5-3\cdot 4=-2 \qquad \qquad \begin {vmatrix}3&1\\ 0&2\end {vmatrix}=3\cdot 2-1\cdot 0=6 \]

Meetkundige betekenis

Lees de kolommen van \(A\) als twee vectoren: \(\vec v_1=\begin {pmatrix}a_{11}\\ a_{21}\end {pmatrix}\) en \(\vec v_2=\begin {pmatrix}a_{12}\\ a_{22}\end {pmatrix}\). Samen spannen ze een parallellogram op. De oppervlakte van dat parallellogram is \(|\det A|\). Het teken zegt in welke zin je van \(\vec v_1\) naar \(\vec v_2\) draait: positief tegen de wijzers van de klok in, negatief met de wijzers mee.

Waarom dat klopt, zie je het makkelijkst als \(\vec v_1\) op de \(x\)-as ligt. De basis van het parallellogram is dan \(a_{11}\) en de hoogte \(a_{22}\), en inderdaad is \(\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}\cdot 0\). Een determinant van orde 2 is dus de georiënteerde oppervlakte van het parallellogram dat de kolommen opspannen.

Oefening

2 Minor en cofactor

Voor een determinant van orde 3 bouwen we verder op die van orde 2. Zij voortaan

\[ A= \begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end {pmatrix}. \]

Definitie

Schrap in \(A\) de rij en de kolom van het element \(a_{ij}\). De determinant van de \(2\times 2\)-matrix die overblijft, is de minor \(M_{ij}\) van \(a_{ij}\). De cofactor van \(a_{ij}\) is die minor met een teken:

\[ A_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}. \]

De som \(i+j\) heet de rang van het element. Is ze even, dan is \(A_{ij}=M_{ij}\). Is ze oneven, dan is \(A_{ij}=-M_{ij}\). De tekens vormen een schaakbord:

\[ \begin {pmatrix} +&-&+\\ -&+&-\\ +&-&+ \end {pmatrix}. \]

Let op het verschil: \(A\) is de matrix, \(A_{ij}\) met twee indices is een getal, de cofactor van \(a_{ij}\).

Voorbeeld

Voor het element \(a_{21}\) schrappen we rij 2 en kolom 1. De rang is \(2+1=3\), oneven, dus

\[ A_{21}=(-1)^{2+1} \begin {vmatrix} a_{12}&a_{13}\\ a_{32}&a_{33} \end {vmatrix} =-\left (a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32}\right ). \]

3 Ontwikkeling naar een rij of kolom

Definitie

De determinant van een \(3\times 3\)-matrix is de som van de elementen van een gekozen rij (of kolom), elk vermenigvuldigd met hun cofactor. Bij ontwikkeling naar de eerste rij is dat

\[ \det A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}. \]

Welke rij of kolom je kiest, maakt voor het resultaat niet uit. Het rekenwerk verschilt wel: een element \(0\) maakt zijn term meteen nul, en dan hoef je die cofactor niet uit te rekenen.

Voorbeeld

Voor de matrix

\[ A=\begin {pmatrix} 3&-2&1\\ 2&1&2\\ 3&2&4 \end {pmatrix} \]

zijn de cofactoren van de eerste rij

\begin{align*} A_{11} &= (-1)^{1+1} \begin{vmatrix}1&2\\2&4\end {vmatrix} = +(1\cdot 4-2\cdot 2) = 0, \\ A_{12} &= (-1)^{1+2} \begin{vmatrix}2&2\\3&4\end {vmatrix} = -(2\cdot 4-2\cdot 3) = -2, \\ A_{13} &= (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}2&1\\3&2\end {vmatrix} = +(2\cdot 2-1\cdot 3) = 1. \end{align*} De determinant is dus

\[ \det A=3\cdot 0 + (-2)\cdot (-2) + 1\cdot 1 = 0+4+1=5. \]

Hoe je ook ontwikkelt, de determinant is telkens dezelfde. Kies daarom de rij of kolom met de meeste nullen.

Oefening

4 Regel van Sarrus

Ontwikkel \(\det A\) naar de eerste rij en werk de haakjes uit. Dan vind je zes termen:

\[ \det A=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}. \]

Elke term is een product van drie elementen, met precies één element uit elke rij en één uit elke kolom. We zetten de drie termen met een plus en de drie met een min elk op hun plaats in de determinant:

\[ \begin {array}{r@{\qquad }c@{\qquad }c@{\qquad }c} & \begin {vmatrix}a_{11}&\cdot &\cdot \\ \cdot &a_{22}&\cdot \\ \cdot &\cdot &a_{33}\end {vmatrix} & \begin {vmatrix}\cdot &a_{12}&\cdot \\ \cdot &\cdot &a_{23}\\ a_{31}&\cdot &\cdot \end {vmatrix} & \begin {vmatrix}\cdot &\cdot &a_{13}\\ a_{21}&\cdot &\cdot \\ \cdot &a_{32}&\cdot \end {vmatrix}\\[1ex] \text {plus:} & a_{11}a_{22}a_{33} & a_{12}a_{23}a_{31} & a_{13}a_{21}a_{32}\\[3ex] & \begin {vmatrix}\cdot &\cdot &a_{13}\\ \cdot &a_{22}&\cdot \\ a_{31}&\cdot &\cdot \end {vmatrix} & \begin {vmatrix}a_{11}&\cdot &\cdot \\ \cdot &\cdot &a_{23}\\ \cdot &a_{32}&\cdot \end {vmatrix} & \begin {vmatrix}\cdot &a_{12}&\cdot \\ a_{21}&\cdot &\cdot \\ \cdot &\cdot &a_{33}\end {vmatrix}\\[1ex] \text {min:} & a_{13}a_{22}a_{31} & a_{11}a_{23}a_{32} & a_{12}a_{21}a_{33} \end {array} \]

Bij de plustermen herken je de hoofddiagonaal \(a_{11}a_{22}a_{33}\). De twee andere lopen evenwijdig ermee naar rechts beneden, maar breken af aan de rechterrand en lopen links verder: na \(a_{12}\) en \(a_{23}\) volgt \(a_{31}\). De mintermen doen hetzelfde rond de nevendiagonaal \(a_{31}a_{22}a_{13}\), nu naar rechts boven. Een diagonaal evenwijdig met de hoofddiagonaal noemen we hier ook een hoofddiagonaal, en een diagonaal evenwijdig met de nevendiagonaal een nevendiagonaal.

Een gebroken diagonaal maken we heel door de eerste twee kolommen nog eens rechts van de determinant te schrijven. Dan staan de drie plustermen op de drie hoofddiagonalen en de drie mintermen op de drie nevendiagonalen:

Zo krijgen we de regel van Sarrus: tel de producten van de drie hoofddiagonalen op en trek de producten van de drie nevendiagonalen af.

\[ \boxed {\; \det A = \bigl (a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\bigr ) - \bigl (a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr ) \;} \]

Elk element staat zo op één hoofddiagonaal en één nevendiagonaal: het komt in één plusterm en in één minterm voor.

Opmerking

De regel van Sarrus werkt enkel voor orde 3. Een determinant van orde 4 telt 24 termen, terwijl de diagonalen er maar 8 opleveren. Voor orde 4 en hoger ontwikkelen we naar een rij of kolom: de minoren zijn dan determinanten van orde 3.

Oefening

5 Eigenschappen van determinanten

Een determinant van orde 4 rechtstreeks ontwikkelen kost vier determinanten van orde 3. Met de eigenschappen hieronder maken we eerst nullen, zodat er veel minder overblijft. Onderzoek eerst zelf wat een bewerking met de determinant doet.

Eigenschappen

Voor een vierkante matrix \(A\) van orde \(n\) geldt:

• 1. \(\det A=\det A^\T \). Alles wat hieronder voor rijen geldt, geldt dus ook voor kolommen.

• 2. Verwissel je twee rijen, dan verandert het teken van de determinant. Gevolgen:

  • • een determinant met twee gelijke rijen is \(0\);

  • • de som van de producten van de elementen van een rij met de cofactoren van een andere rij is \(0\).

• 3. Splits je een rij in een som, dan splitst de determinant mee:

  \[ \begin {vmatrix} a_1+a'_1 & b_1 & c_1\\ a_2+a'_2 & b_2 & c_2\\ a_3+a'_3 & b_3 & c_3 \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end {vmatrix} + \begin {vmatrix} a'_1 & b_1 & c_1\\ a'_2 & b_2 & c_2\\ a'_3 & b_3 & c_3 \end {vmatrix}. \]

• 4. Vermenigvuldig je één rij met \(k\in \R \), dan wordt de determinant met \(k\) vermenigvuldigd. Gevolgen:

  • • een factor die in een volledige rij voorkomt, mag je voor de determinant zetten;

  • • een determinant met twee evenredige rijen is \(0\);

  • • vermenigvuldig je alle \(n\) rijen met \(k\), dan komt die factor \(n\) keer voor: \(\det (kA)=k^n\det A\).

• 5. Tel je bij een rij een veelvoud van een andere rij op, dan blijft de determinant gelijk.

• 6. \(\det (AB)=\det A\cdot \det B\). Voor een som geldt zo’n regel niet: in het algemeen is \(\det (A+B)\neq \det A+\det B\).

Voor orde 2 zie je de eigenschappen ook meetkundig, als oppervlakte van het parallellogram van de kolommen.

Oefening

6 Verlaging van de orde

Met eigenschap 5 maken we nullen in een kolom. Staat er in een kolom nog maar één element dat niet nul is, dan blijft er bij ontwikkeling naar die kolom maar één term over. De orde zakt dan met één.

Werkwijze

• 1. Kies een spil: een element dat niet nul is, liefst \(1\) of \(-1\), in een kolom met veel nullen.

• 2. Maak de andere elementen van die kolom nul. Trek daarvoor van elke andere rij een gepast veelvoud van de rij van de spil af. De determinant blijft gelijk.

• 3. Ontwikkel naar die kolom. Enkel de term \(a_{ij}A_{ij}=(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij}\) blijft over.

• 4. Herhaal met de minor, tot je een determinant van orde 2 overhoudt.

Met een spil \(1\) of \(-1\) blijven alle getallen geheel. Het kan ook met rijen in plaats van kolommen: maak dan nullen in de rij van de spil met kolombewerkingen.

Voorbeeld

In de determinant hieronder is \(a_{23}=1\) een goede spil. We maken de andere elementen van kolom 3 nul met rij 2.

\begin{align*} \begin{vmatrix} 6&9&2\\ 2&3&1\\ 3&5&2 \end {vmatrix} &= \begin{vmatrix} 2&3&0\\ 2&3&1\\ -1&-1&0 \end {vmatrix} && R_1\leftarrow R_1-2R_2,\ R_3\leftarrow R_3-2R_2 \\ &= (-1)^{2+3}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix} 2&3\\ -1&-1 \end {vmatrix} && \text {ontwikkeld naar } K_3 \\ &= -\bigl (2\cdot (-1)-3\cdot (-1)\bigr )=-(-2+3)=-1. \end{align*}

Oefeningen

IV Meetkundige toepassingen

1 Vergelijking van een rechte door twee gegeven punten

Opstelling formule

Rechte door \(P_1(x_1,y_1)\) en \(P_2(x_2,y_2)\) met \(x_1\neq x_2\):

\begin{align*} y-y_1 &= \frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}\,(x-x_1)\\ \Leftrightarrow \quad (y-y_1)(x_2-x_1) &= (y_2-y_1)(x-x_1)\\ \Leftrightarrow \quad y(x_2-x_1)-y_1(x_2-x_1) &= x(y_2-y_1)-x_1(y_2-y_1)\\ \Leftrightarrow \quad x\,(y_1-y_2)\;-\;y\,(x_1-x_2)\;+\;(x_1y_2-x_2y_1) &= 0\\ \Leftrightarrow \quad \markeerterm {rowc!35}{x}\,(y_1-y_2)\;-\;\markeerterm {rowc!35}{y}\,(x_1-x_2)\;+\;\markeerterm {rowc!35}{1}(x_1y_2-x_2y_1) &= 0. \end{align*}

In determinantvorm:

\[ \boxed {\qquad \begin {vNiceMatrix} x & y & 1\\ x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1 \CodeAfter \markeercellen {rowc}{1-1}{1-3} \end {vNiceMatrix}=0 \qquad } \]

  Cartesiaanse vergelijking van de rechte door \(P_1(x_1,y_1)\) en \(P_2(x_2,y_2)\)

Voorbeeld

Geef de vergelijking van de rechte door \(P_1(2,3)\) en \(P_2(-4,7)\).

\[ \begin {vmatrix} x & y & 1\\ 2 & 3 & 1\\ -4 & 7 & 1 \end {vmatrix}=0 \]

Uitwerken (ontwikkeling naar de eerste rij):

\begin{align*} & & x\,(3\cdot 1-1\cdot 7)\;-\;y\,(2\cdot 1-1\cdot (-4))\;+\;1\,(2\cdot 7-3\cdot (-4)) &= 0\\ &\Leftrightarrow \quad & -4x-6y+26 &= 0 \\ &\Leftrightarrow \quad & 2x+3y-13 &= 0 \end{align*}

Een punt \(P(x,y)\) ligt dus op de rechte als de determinant met zijn coördinaten in de eerste rij nul is. Is hij niet nul, dan zegt de absolute waarde nog iets: ze is het dubbele van de oppervlakte van driehoek \(PP_1P_2\). Dat zien we verder bij de oppervlakte van een driehoek.

2 Collineariteit van drie punten

Formule

\[ P_1(x_1,y_1),\; P_2(x_2,y_2),\; P_3(x_3,y_3)\ \text {zijn collineair} \]

\begin{align*} &\Longleftrightarrow \quad P_1 \in \text {rechte door } P_2P_3\\ &\Longleftrightarrow \quad P_1 \text { voldoet aan } \begin{vmatrix} x & y & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end {vmatrix}=0\\ &\Longleftrightarrow \quad \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end {vmatrix}=0. \end{align*}

\[ \boxed {\; P_1,P_2,P_3 \text { zijn collineair } \iff \begin {vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end {vmatrix}=0\; } \]

Voorbeeld

Ga na of \(A(3,2)\), \(B(-2,-1)\) en \(C(8,5)\) collineair zijn.

We rekenen de determinant uit met de regel van Sarrus.

\begin{align*} & & \begin{vmatrix} 3&2&1\\ -2&-1&1\\ 8&5&1 \end {vmatrix} &\weq [?]= 0 \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad & \bigl (3\cdot (-1)\cdot 1+2\cdot 1\cdot 8+1\cdot (-2)\cdot 5\bigr ) - \bigl (1\cdot (-1)\cdot 8+3\cdot 1\cdot 5+2\cdot (-2)\cdot 1\bigr ) &\weq [?]{=} 0 \\ &\Leftrightarrow \quad & \bigl (-3+16-10\bigr ) - \bigl (-8+15-4\bigr ) &\weq [?]{=} 0 \\ &\Leftrightarrow \quad & 3 - 3 &\weq [?]{=} 0 \\ &\Leftrightarrow \quad & 0 &\weq {=} 0 \end{align*}

Besluit: ja, de drie punten zijn collineair.

3 Oppervlakte van een \(\Delta \) in een orthonormaal assenstelsel

Opstellen formule

Lengtes en lijnvergelijking:

\[ |BC| = \sqrt {(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2} \]

\[ BC \leftrightarrow u x + v y + w = 0 \qquad (u, v, w \in \mathbb {R}) \]

Maar de lijn \(BC\) kan ook worden geschreven als

\[BC \leftrightarrow \begin {vmatrix} x&y&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end {vmatrix}=0, \]

en dus \(u=y_2-y_3,\quad v=-(x_2-x_3),\quad w=x_2y_3-x_3y_2\).

dan

\begin{align*} |AA'| &= d(A,BC)\\ &= \dfrac {|u x_1 + v y_1 + w|}{\sqrt {u^2+v^2}}. \end{align*}

Besluit:

\begin{align*} \operatorname {Opp}\triangle ABC &=\tfrac 12\,|BC|\cdot \frac {|u x_1 + v y_1 + w|}{\sqrt {u^2+v^2}}\\[2pt] & =\tfrac 12\,\bigl |u x_1 + v y_1 + w\bigr |\\[2pt] &=\tfrac 12\,\Bigl |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\Bigr |\\[2pt] & =\tfrac 12\,|\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end {vmatrix}|. \end{align*}

\[ \boxed {\; \operatorname {Opp}\triangle ABC = \tfrac 12\,|\begin {vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end {vmatrix}| \;} \]

Voorbeeld

Gegeven \(A(1,0)\), \(B(7,2)\), \(C(4,2)\). Bepaal \(\operatorname {Opp}\triangle ABC\).

\begin{align*} \operatorname {Opp}\triangle ABC &=\frac 12 | \begin{vmatrix} 1&0&1\\ 7&2&1\\ 4&2&1 \end {vmatrix} |\\ &=\frac 12\,\bigl |\,(1\cdot 2\cdot 1+0\cdot 1\cdot 4+1\cdot 7\cdot 2) -(1\cdot 2\cdot 4+1\cdot 1\cdot 2+0\cdot 7\cdot 1)\,\bigr |\\ &=\frac 12\,\bigl |\,(2+0+14)-(8+2+0)\,\bigr |\\ & =\frac 12\,|16-10|\\ & =\boxed {3}. \end{align*} Controle: \(B\) en \(C\) liggen allebei op hoogte \(2\), dus \(|BC|=3\) is een basis. De hoogte vanuit \(A\) is \(2\), en \(\tfrac 12\cdot 3\cdot 2=3\).

Gevolg

De oppervlakte van parallellogram \(ABCD\) met aangrenzende hoekpunten \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\) is

\[ \operatorname {Opp}(ABCD)=2\,\operatorname {Opp}\triangle ABC = |\begin {vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end {vmatrix}|. \]