Een platonisch lichaam (of regelmatig convex veelvlak) is een convex veelvlak met de volgende eigenschappen:
• Alle zijvlakken zijn congruente reguliere veelhoeken.
• In elk hoekpunt komen evenveel zijvlakken samen (gelijke hoekpuntsconfiguratie).
Het blijkt dat er slechts vijf zulke lichamen bestaan.
II Welke zijn er?
Hieronder staan de vijf platonische lichamen, elk ingeschreven in dezelfde bol. Hun aantal hoekpunten \(V\), ribben \(E\) en zijvlakken
\(F\) staat in de tabel bij de eigenschappen.
4 driehoeken
6 vierkanten
8 driehoeken
12 vijfhoeken
20 driehoeken
III Geschiedenis in het kort
•5e en 4e eeuw v.Chr. Pythagoreeërs bestuderen regelmatige veelvlakken.
•Plato (ca. 427 tot 347 v.Chr.) verbindt de vijf lichamen aan de oerelementen in de Timaeus (tetraëder = vuur, kubus = aarde, octaëder = lucht,
icosaëder = water, dodecaëder = kosmos).
•Theaetetos (leerling van Plato) classificeert dat er precies vijf zijn.
•Euclides (Elementen, Boek XIII, ca. 300 v.Chr.): bewijst strikt dat er exact vijf platonische lichamen bestaan en construeert ze.
•Kepler (1571 tot 1630) gebruikt de vijf lichamen in zijn vroege kosmologisch model (Mysterium Cosmographicum) en bestudeert ook dualiteit.
Plato, kopie naar het portret van Silanion (foto Marie-Lan Nguyen, CC BY 2.5)
Euclides, fantasieportret door Justus van Gent (rond 1474)
Johannes Kepler, olieverfportret uit 1620, schilder onbekend
IV Eenvoudige eigenschappen
Voor elk platonisch lichaam gelden:
• Alle vlakken zijn congruente regelmatige \(n\)-hoeken.
• In elk hoekpunt komen precies \(q\) vlakken samen (constante hoekpuntsconfiguratie \(\{n,q\}\)).
•Euler: \(V - E + F = 2\) (met \(V\) hoekpunten, \(E\) ribben, \(F\) vlakken).
• Uit \(\{n,q\}\) volgt \(E = \dfrac {nF}{2} = \dfrac {qV}{2}\) en
\[ \frac {1}{n}+\frac {1}{q} > \frac {1}{2}, \]
waaruit precies de vijf mogelijkheden volgen.
.
Lichaam
\(V\)
\(E\)
\(F\)
Vlak
\(\{n,q\}\)
Duale partner
Tetraëder
4
6
4
driehoek
\(\{3,3\}\)
Tetraëder (zelf-duaal)
Kubus
8
12
6
vierkant
\(\{4,3\}\)
Octaëder
Octaëder
6
12
8
driehoek
\(\{3,4\}\)
Kubus
Dodecaëder
20
30
12
vijfhoek
\(\{5,3\}\)
Icosaëder
Icosaëder
12
30
20
driehoek
\(\{3,5\}\)
Dodecaëder
V Dualiteit
Het duale van een convex veelvlak ontstaat door in elk vlak een punt te plaatsen en de punten van aangrenzende vlakken te
verbinden; hoekpunten en vlakken wisselen van rol:
\[ V \longleftrightarrow F, \qquad E \text { blijft gelijk}. \]
Bij platonische lichamen levert dit opnieuw een platonisch lichaam op:
• Kubus \(\longleftrightarrow \) Octaëder
• Dodecaëder \(\longleftrightarrow \) Icosaëder
• Tetraëder is zelf-duaal.
Schets van constructie
Neem bv. de kubus: plaats het zwaartepunt in elk vierkant vlak, en verbind de centra van aangrenzende vlakken. Zo ontstaat het
draadmodel van de octaëder. Omgekeerd geeft de duale operatie op de octaëder weer de kubus.
\(\to \) tetraëder
\(\to \) octaëder
\(\to \) kubus
\(\to \) icosaëder
\(\to \) dodecaëder
VI Toepassingen en voorbeelden
Platonische lichamen komen op onverwachte plaatsen in de natuur en wetenschap voor, dankzij hun unieke symmetrie.
•
Kristallografie: Mineralen kristalliseren vaak in de vorm van een kubus, een octaëder of een tetraëder.
Pyriet vormt kubussen en fluoriet vormt octaëders. Een regelmatige dodecaëder of icosaëder kan geen kristal vormen; granaten vormen wel een ruitendodecaëder, met twaalf ruiten als
zijvlakken.
•
Biologie: De capside (eiwitmantel) van veel virussen, zoals het herpesvirus of de kop van een bacteriofaag (in de figuur), is een icosaëder. Dit is een efficiënte en stevige manier om genetisch materiaal in
te sluiten met identieke eiwit-subunits.
•
Chemie: De atomen in moleculen kunnen de hoekpunten van een platonisch lichaam innemen. Bijvoorbeeld, de
waterstofatomen in methaan (CH\(_4\)) vormen een tetraëder rond het koolstofatoom.
•Spellen: Dobbelstenen voor spellen (bv. Dungeons & Dragons) zijn vaak platonische lichamen (d4, d6, d8, d12, d20), omdat ze eerlijk zijn: elke zijde heeft een gelijke
kans om boven te komen.
•Architectuur en kunst: Geodetische koepels, populair gemaakt door Buckminster Fuller, zijn gebaseerd op de icosaëder en bieden een sterke en lichte structuur. De
vormen duiken ook op in de kunst, bijvoorbeeld in het werk van M.C. Escher.
•Abstracte algebra (groepentheorie): De rotatiesymmetrieën van elk platonisch lichaam vormen een wiskundige groep. De rotatiegroepen van de
tetraëder, kubus/octaëder en icosaëder/dodecaëder zijn isomorf met de belangrijke groepen \(A_4\), \(S_4\) en \(A_5\). Deze dienen als fundamentele, concrete voorbeelden in de studie van de
eindige groepentheorie.
•Computer graphics en modellering: Voor het efficiënt benaderen van een bol in 3D-software wordt vaak een icosaëder als startpunt gebruikt. Door de
driehoekige vlakken recursief onder te verdelen en de nieuwe hoekpunten naar buiten te projecteren op de omhullende bol, ontstaat een icosphere of geodetisch netwerk. Dit garandeert een quasi-uniforme verdeling van
punten, wat cruciaal is voor o.a. 3D-modellering, simulaties en het projecteren van texturen op planeten in games.
