Determinanten

I Determinant van een \(n\times n\)-matrix

1 Determinant van \(1^\text {e}\) orde (=\(1\times 1\)-matrix)

Voor \(A=(\,a\,)\) geldt eenvoudig dat de determinant het element zelf is:

\[ \det A = |A| = a. \]

2 Determinant van een \(2\times 2\)-matrix (=\(2^\text {e}\) orde)

Definitie

Voor

\[ A=\begin {pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[2pt] a_{21}&a_{22}\end {pmatrix} \]

is de determinant het reëel getal \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\).

Notatie

\[ \det A=|A|=\begin {vmatrix}a_{11}&a_{12}\\[2pt] a_{21}&a_{22}\end {vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}. \]

Voorbeelden

Bepaal telkens de determinant.

• (a) \(\begin {vmatrix}2&3\\4&5\end {vmatrix}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end {vmatrix} &= 2\cdot 5-3\cdot 4\\ &= 10-12\\ &= -2. \end{align*}

• (b) \(\begin {vmatrix}1&0\\0&1\end {vmatrix}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end {vmatrix} &= 1\cdot 1-0\cdot 0\\ &= 1-0\\ &= 1. \end{align*}

• (c) \(\begin {vmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end {vmatrix}\)

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \begin{vmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end {vmatrix} &= \cos \alpha \cdot \cos \alpha - \sin \alpha \cdot (-\sin \alpha )\\ &= \cos ^{2}\alpha + \sin ^{2}\alpha \\ &= 1. \end{align*}

Meetkundige betekenis

Oefeningen

p 129 nr 1, 2

3 Determinant van \(3^\text {e}\) orde (=\(3\times 3\)-matrix)

Definitie Minor en Cofactor van een element

Beschouw een \(3\times 3\)-matrix en neem het element \(a_{31}\).

\[ A= \begin {pNiceMatrix}[columns-width=1.2em] a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \CodeAfter \markeercellen {lichtblauw}{3-1}{3-3} \markeercellen {lichtblauw}{1-1}{3-1} \end {pNiceMatrix} \]

Minor Schrap de \(i^\text {e}\) rij en de \(j^\text {e}\) kolom van \(A\). De determinant van de overblijvende \(2\times 2\)-matrix is de minor \(M_{ij}\) van het element \(a_{ij}\). Voor \(a_{31}\) schrappen we rij \(3\) en kolom \(1\):

\[ M_{31}=\begin {vmatrix}a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end {vmatrix}. \]

Cofactor De cofactor \(A_{ij}\) is de minor met een teken ervoor: Dus een plusteken als \(i+j\) even is en een minteken als \(i+j\) oneven is. Zo krijgen we het schaakbordpatroon van tekens:

Voor de elementen \(a_{31}\) en \(a_{32}\) geeft dat:

\begin{align*} A_{31}&=(+)\,M_{31}=+\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end {vmatrix},\\[4pt] A_{32}&=(-)\,M_{32}=-\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end {vmatrix}. \end{align*}

Voorbeeld Voor \(A=\begin {pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end {pmatrix} \) vinden we o.a.:

\begin{align*} A_{11}&=(+)\,\begin{vmatrix}5&6\\ 8&9\end {vmatrix}=5\cdot 9-6\cdot 8=45-48=-3,\\[4pt] A_{12}&=(-)\,\begin{vmatrix}4&6\\ 7&9\end {vmatrix}=-(4\cdot 9-6\cdot 7)=-(36-42)=+6,\\[4pt] A_{22}&=(+)\,\begin{vmatrix}1&3\\ 7&9\end {vmatrix}=1\cdot 9-3\cdot 7=9-21=-12. \end{align*} (Analoge berekeningen geven \(A_{13}=-3\), \(A_{21}=+6\), \(A_{23}=+6\), \(A_{31}=-3\), \(A_{32}=+6\), \(A_{33}=-3\).)

Definitie methode van Laplace

Voor

\[ A=\begin {pNiceMatrix}[columns-width=1.2em] a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \CodeAfter \markeercellen {rowc}{1-1}{1-3} \end {pNiceMatrix} \]

is de determinant gelijk aan de som van de producten van de elementen van een rij (of kolom) met hun overeenkomstige cofactoren:

\begin{align*} \det A &= a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\qquad (\text {volgens R1})\\ &= a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end {vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end {vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end {vmatrix} \\[6pt] &= a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\\ &= a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}. \end{align*}

Ontwikkel ook eens volgens K2:

\[ \begin {pNiceMatrix}[columns-width=1.2em] a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \CodeAfter \markeercellen {colc}{1-2}{3-2} \end {pNiceMatrix} \]

\begin{align*} \det A &= a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32} \qquad (\text {volgens K2})\\ &= -a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end {vmatrix} + a_{22}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end {vmatrix} - a_{32}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end {vmatrix}\\ &= \ldots \end{align*}

Geeft zelfde resultaat!

Voorbeeld

Besluit

Het resultaat van \(\det A\) hangt niet af van de gebruikte rij of kolom.

Oefeningen

p 129 n 3 (Laplace gebruiken)

Definitie regel van Sarrus

Voorbeeld

Oefeningen

p 129 n 3 (Sarrus gebruiken)

4 Determinant van hogere orde (\(n\times n\))

Werkwijze

Ontwikkel volgens Laplace langs de eenvoudigste rij of kolom (met de meeste nullen) tot je orde \(3\) bereikt; werk dan verder met Laplace of Sarrus.

Voorbeeld 1

\begin{align*} \begin{vNiceMatrix}[columns-width=1.2em] p&1&0&0\\ 1&q&0&0\\ 0&0&r&1\\ 0&0&1&s \CodeAfter \markeercellen [.25]{rowc}{1-1}{1-4} \end {vNiceMatrix} &\weq [\text {R1}]{=} p\, \begin{vNiceMatrix}[columns-width=1.2em] q&0&0\\ 0&r&1\\ 0&1&s \CodeAfter \markeercellen [.25]{rowc}{1-1}{1-3} \end {vNiceMatrix} -1\, \begin{vNiceMatrix}[columns-width=1.2em] 1&0&0\\ 0&r&1\\ 0&1&s \CodeAfter \markeercellen [.25]{rowc}{1-1}{1-3} \end {vNiceMatrix} \\[4pt] &\weq [\text {R1}]{=} p\left (q\begin{vmatrix}r&1\\1&s\end {vmatrix}\right ) - 1\left (1\begin{vmatrix}r&1\\1&s\end {vmatrix}\right ) \\[4pt] &\weq {=} p\bigl (q(rs-1)\bigr ) - (rs-1) \\[2pt] &\weq {=} (pq-1)(rs-1). \end{align*}

Voorbeeld 2

Oefeningen

p 130 nr 4, n 5 a, f

5 Met ICT

A = [[3, -2, 1],
     [2,  1, 2],
     [3,  2, 4]]

a, b, c = A[0]
d, e, f = A[1]
g, h, i = A[2]

hoofddiagonalen = a*e*i + b*f*g + c*d*h
nevendiagonalen = c*e*g + a*f*h + b*d*i
print(hoofddiagonalen - nevendiagonalen)

5

from numpy import array
from numpy.linalg import det

A = array([[3, -2, 1],
           [2,  1, 2],
           [3,  2, 4]])

print(round(det(A), 10))

5.0

II Eigenschappen van determinanten

1 Hoofdeigenschap I

De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde matrix:

\[ \forall \,A\in \mathbb {R}^{n\times n}:\qquad \det A=\det A^{\mathsf T}. \]

Bewijs.

Onmiddellijk gevolg v/d definitie (Laplace): ontwikkelen van \(\det A\) volgens de \(i^\text {e}\) rij geeft een analoge berekening als de ontw. van \(\det A^{\mathsf T}\) volgens de \(i^\text {e}\) kolom.

2 Hoofdeigenschap II

Een determinant verandert van teken wanneer we twee rijen (of kolommen) verwisselen.

Bewijs.

\(n=2\).

\begin{align*} D &= \begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end {vmatrix} & D' &= \begin{vmatrix}c&d\\ a&b\end {vmatrix}\\ &= ad-bc, & &= cb-ad\\ & & &= -(ad-bc)\\ & & &= -D. \end{align*}

\(n=3\).

\begin{align*} D &\weq {=} \begin{vNiceMatrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \CodeAfter \markeercellen {rowc}{3-1}{3-3} \end {vNiceMatrix} & D' &\weq {=} \begin{vNiceMatrix} b_1&b_2&b_3\\ a_1&a_2&a_3\\ c_1&c_2&c_3 \CodeAfter \markeercellen {rowc}{3-1}{3-3} \end {vNiceMatrix} \\[8pt] &\weq [\text {R3}]{=} c_1A_{31}+c_2A_{32}+c_3A_{33}, & &\weq [\text {R3}]{=} c_1A'_{31}+c_2A'_{32}+c_3A'_{33}\\ &&&\weq [(*)]=-c_1A_{31}-c_2A_{32}-c_3A_{33}\\ &&&\weq {=}-(c_1A_{31}+c_2A_{32}+c_3A_{33})\\ &&&\weq {=}-D \end{align*} (*) Door het verwisselen van rij \(1\) en \(2\) verandert elk minor in het cofactorteken: \(A'_{3j}=-A_{3j}\) voor \(j=1,2,3\).

3 Eigenschap 1

Een determinant met gelijke rijen (of kolommen) is gelijk aan nul.

Bewijs.

\[ \left . \begin {aligned} &\text {2 rijen verwisselen} &&\stackrel {(\text {H.E.\ II})}{\Rightarrow }&& D'=-D \\ &\text {2 gelijke rijen verwisselen} &&\stackrel {\phantom {(\text {H.E.\ II})}}{\Rightarrow }&& D'=D \end {aligned} \right \} \;\Rightarrow \; D=-D \;\Rightarrow \; D=0. \]

Voorbeeld

Tegenvoorbeeld (omgekeerd niet geldig)

Let op, de omgekeerde eigenschap is niet geldig!
Een determinant kan nul zijn zonder dat de matrix gelijke rijen of kolommen heeft:

\[ \begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end {vmatrix} = 1\cdot 6 - 2\cdot 3 = 0. \]

4 Hoofdeigenschap III

De som van de producten van de elementen van een rij (resp. kolom) met de cofactoren van een andere rij (resp. kolom) is nul.

Bewijs.

Stel

\[ A=\begin {pNiceMatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \CodeAfter \markeercellen {lichtblauw}{1-1}{3-1} \markeercellen {lichtroze}{1-3}{3-3} \end {pNiceMatrix}. \]

Neem (voorbeeld) kolom 1 met de cofactoren van kolom 3:

\begin{align*} a_{11}A_{13}+a_{21}A_{23}+a_{31}A_{33} &\weq {=} a_{11}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\end {vmatrix} - a_{21}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{31}&a_{32}\end {vmatrix} + a_{31}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end {vmatrix}\\[2pt] &\weq [K3]{=}\begin{vNiceMatrix} a_{11}&a_{12}&a_{11}\\ a_{21}&a_{22}&a_{21}\\ a_{31}&a_{32}&a_{31} \CodeAfter \markeercellen {lichtblauw}{1-1}{3-1} \markeercellen {lichtblauw}{1-3}{3-3} \end {vNiceMatrix}\\ &\weq [(Eig. 1)]{=} 0 \end{align*}

Besluit

\[ \boxed {\;\displaystyle \sum _{k=1}^n a_{ik}\,A_{jk}= \begin {cases} 0,& i\neq j,\\[2pt] \det A,& i=j. \end {cases}\;} \]

(Analoge uitspraken gelden voor kolommen.)

Voorbeeld

5 Hoofdeigenschap IV

Als we de elementen van één rij (of kolom) van een matrix met een getal \(k\) vermenigvuldigen, dan wordt de determinant met \(k\) vermenigvuldigd.

Bewijs.

Zij \(A' \) verkregen uit \(A\) door rij \(i\) met \(k\) te vermenigvuldigen. Laplace-ontwikkeling volgens die rij \(i\) (hier als vb. R2):

\begin{align*} \det A' &\weq {=} \begin{vNiceMatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ k a_{21}&k a_{22}&k a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \CodeAfter \markeercellen {rowc}{2-1}{2-3} \end {vNiceMatrix} \\ &\weq [\text {R2}]{=} k a_{21}A_{21}+k a_{22}A_{22}+k a_{23}A_{23} \\ &\weq {=} k\,(a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}) \\ &\weq {=} k\,\det A. \end{align*} (Analoog voor een andere rij of een kolom.)

6 Eigenschap 2

We mogen een gemeenschappelijke factor uit één rij (of kolom) vóór de determinant zetten.

Bewijs.

Direct gevolg van Hoofdeigenschap IV met \(k\) als gemeenschappelijke factor.

7 Eigenschap 3

Als we alle elementen van een determinant van \(n^\text {e}\) orde met een reëel getal \(k\) vermenigvuldigen, dan wordt de determinant met \(k^{\,n}\) vermenigvuldigd:

\[ \det (kA)=k^{\,n}\det A. \]

Bewijs.

Pas Hoofdeigenschap IV na elkaar toe op de \(n\) rijen (of \(n\) kolommen): elke stap levert een factor \(k\). Dus \(k^n\).

8 Eigenschap 4

Een determinant met twee evenredige rijen (of kolommen) is gelijk aan nul.

Bewijs.

Gevolg van Eigenschap 1 en Eigenschap 2.

9 Hoofdeigenschap V (optelregel)

Als in twee \(n\times n\)-determinanten \(n-1\) rijen (resp. kolommen) gelijk zijn, dan is de som van die determinanten gelijk aan de determinant waarin de overblijvende rij (resp. kolom) wordt opgeteld.

Bewijs.

We bewijzen de eigenschap voor kolommen (bv. de 3^e kolom) door het linkerlid te ontwikkelen. We ontwikkelen beide determinanten naar de kolom die verschilt:

\begin{align*} \MoveEqLeft \begin{vNiceMatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \CodeAfter \markeercellen {colc}{1-3}{3-3} \end {vNiceMatrix} + \begin{vNiceMatrix} a_{11}&a_{12}&a'_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a'_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a'_{33} \CodeAfter \markeercellen {colc}{1-3}{3-3} \end {vNiceMatrix} \\ &\weq [\text {K3}]{=} \bigl (a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}\bigr ) + \bigl (a'_{13}A_{13}+a'_{23}A_{23}+a'_{33}A_{33}\bigr ) \\ &\weq {=} (a_{13}+a'_{13})A_{13}+(a_{23}+a'_{23})A_{23}+(a_{33}+a'_{33})A_{33} \\ &\weq [\text {K3}]{=} \begin{vNiceMatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}+a'_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}+a'_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}+a'_{33} \CodeAfter \markeercellen {colc}{1-3}{3-3} \end {vNiceMatrix} \end{align*} De cofactoren \(A_{13},A_{23},A_{33}\) zijn in beide determinanten dezelfde, omdat de andere kolommen identiek zijn. De rij-versie is volstrekt analoog.

10 Hoofdeigenschap VI

Als we bij één rij (of kolom) een veelvoud van een andere rij (of kolom) optellen, dan blijft de determinant gelijk.

Bewijs.

Voor het kolom-geval (\(K_1 \leftarrow K_1+kK_2\); analoog voor rijen):

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11}+k a_{12} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}+k a_{22} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31}+k a_{32} & a_{32} & a_{33} \end {vmatrix} &\weq [\text {(H.E. V)}]{=} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end {vmatrix} \;+\; \begin{vmatrix} k a_{12} & a_{12} & a_{13}\\ k a_{22} & a_{22} & a_{23}\\ k a_{32} & a_{32} & a_{33} \end {vmatrix} \\[6pt] &\weq [\text {(H.E. IV)}]{=} \underbrace { \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end {vmatrix}}_{\det A} \;+\; k\cdot \underbrace { \begin{vmatrix} a_{12} & a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{32} & a_{33} \end {vmatrix}}_{=\,0\ \text {(*)}}\\ &\weq {=} \det A. \end{align*}

(*) Twee gelijke kolommen

Oefeningen

p 142 nr 1

11 Toepassing 1: determinant berekenen door verlaging van de orde

Algemeen

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end {vmatrix} & \weq [R_2 \leftarrow \dots ][R_3 \leftarrow \dots ]{=} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & b_{32} & b_{33} \end {vmatrix} && \text {(nullen maken in K1)} \\[3pt] &\weq [\text {ontw. K1}]{=} a_{11} \begin{vmatrix} b_{22} & b_{23} \\ b_{32} & b_{33} \end {vmatrix} && \text {(orde is verlaagd van 3 naar 2)} \end{align*}

Opmerking

• • Werkt ook met orde \(> 3\)

• • Werkt ook met R1

Voorbeeld: determinant van Vandermonde (orde 3)

\begin{align*} V & \weq {=} \begin{vmatrix} 1&a&a^{2}\\ 1&b&b^{2}\\ 1&c&c^{2} \end {vmatrix}&&\\ & \weq [R_2-R_1][R_3-R_1]{=} \begin{vmatrix} 1 & a & a^{2}\\ 0 & b-a & b^{2}-a^{2}\\ 0 & c-a & c^{2}-a^{2} \end {vmatrix} && \text {(nullen maken m.b.v.\ zelfde rij/kolom)} \\[4pt] &\weq {=} \begin{vmatrix} b-a & b^{2}-a^{2}\\ c-a & c^{2}-a^{2} \end {vmatrix} && \text {(verlaging v/d orde)} \\[6pt] &\weq {=} (b-a)(c-a)\; \begin{vmatrix} 1 & b+a\\ 1 & c+a \end {vmatrix} && \text {(factoren voorop zetten)} \\[6pt] &\weq [R_2-R_1]{=} (b-a)(c-a)\; \begin{vmatrix} 1 & b+a\\ 0 & c-b \end {vmatrix} && \\[6pt] &\weq {=} (b-a)(c-a)(c-b) && \text {(ontbinding in factoren).} \end{align*}

\[ \boxed {\;\displaystyle \begin {vmatrix} 1&a&a^{2}\\ 1&b&b^{2}\\ 1&c&c^{2} \end {vmatrix} =(b-a)(c-a)(c-b)\;} \]

Oefeningen

p 142 nr 2

12 Toepassing 2: Bewijzen dat een determinant gelijk is aan nul

Nuttige eigenschappen

• • twee evenredige rijen/kolommen \(\Rightarrow \det =0\);

• • een nulrij/nulkolom \(\Rightarrow \det =0\);

• • met rij-operaties van de vorm \(R_i\leftarrow R_i+\lambda R_j\) kan je een rij evenredig maken met een andere (idem voor kolommen);

• • lukt het niet rechtstreeks: gebruik de vorige eigenschappen na eenvoudige bewerkingen (factoren uittrekken, rijen optellen, …).

Voorbeeld 1

\begin{align*} D &\weq {=} \begin{vmatrix} b+c & a & 1\\ c+a & b & 1\\ a+b & c & 1 \end {vmatrix} \\ &\weq [K_1 + K_2]{=} \begin{vmatrix} a+b+c & a & 1\\ a+b+c & b & 1\\ a+b+c & c & 1 \end {vmatrix} \\[6pt] &\weq {=} (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & 1\\ 1 & b & 1\\ 1 & c & 1 \end {vmatrix} && \text {(factor uit K1)} \\[6pt] &\weq {=} 0 && \text {(twee gelijke kolommen: K1=K3)} \end{align*}

Voorbeeld 2

\begin{align*} D &\weq {=} \begin{vmatrix} 0 & -\dfrac {ca}{b} & 1\\[6pt] \dfrac {c+a}{3} & \dfrac {b}{3} & 1\\[8pt] \dfrac {c+a}{2} & \dfrac {\,b^2+ca\,}{2b} & 1 \end {vmatrix} \\[6pt] &\weq {=} \frac {1}{6b}\, \begin{vmatrix} 0 & -ca & 1\\ c+a & b^{2} & 3\\ c+a & b^{2}+ca & 2 \end {vmatrix} && \shortstack [l]{\text {(noemers vooraan)} \\ \scriptsize \text {1/3 uit R2, 1/2 uit R3, 1/b uit K2}} \\[6pt] &\weq [R_3-R_2]{=} \frac {1}{6b}\, \begin{vmatrix} 0 & -ca & 1\\ c+a & b^{2} & 1\\ 0 & ca & -1 \end {vmatrix} \\[6pt] &\weq [-R_3]{=} \frac {1}{6b}\, \begin{vmatrix} 0 & -ca & 1\\ c+a & b^{2} & 1\\ 0 & -ca & 1 \end {vmatrix} \\[6pt] &\weq {=} 0 && \text {(twee gelijke rijen: R3=R1)} \end{align*}

Oefeningen

p 142 nr 3 g, h, 11

13 Determinant van het product van \(2\) matrices

Voorbeeld

\[ A=\begin {pmatrix} 1&0&2\\ 3&1&0\\ 0&1&6 \end {pmatrix}, \quad B=\begin {pmatrix} 2&-1&3\\ 0& 1&0\\ 5& 2&1 \end {pmatrix} \]

\[ \det A=12,\qquad \det B=-13 \]

\[ \det A\cdot \det B=-156 \;=\; \det (A\,B)\quad (\text {GRM}). \]

Stelling

Voor alle \(A,B\in \mathbb {R}^{n\times n}\): \(\;\det (A\,B)=\det A\cdot \det B\).

Bewijs.

[Voor \(n=2\); analoog voor grotere \(n\)]

\[ A=\begin {pmatrix}a&b\\ c&d\end {pmatrix},\quad B=\begin {pmatrix}x&y\\ u&v\end {pmatrix},\quad A B=\begin {pmatrix}ax+bu&ay+bv\\ cx+du&cy+dv\end {pmatrix}. \]

\begin{align*} \det (AB) &= \begin{vmatrix}ax+bu&ay+bv\\ cx+du&cy+dv\end {vmatrix}\\[2pt] &=\begin{vmatrix}ax&ay\\ cx&cy\end {vmatrix} +\begin{vmatrix}bu&ay\\ du&cy\end {vmatrix} +\begin{vmatrix}ax&bv\\ cx&dv\end {vmatrix} +\begin{vmatrix}bu&bv\\ du&dv\end {vmatrix}\\[2pt] &=xy\,\underbrace {\begin{vmatrix}a&a\\ c&c\end {vmatrix}}_{=\,0} +uy\,\begin{vmatrix}b&a\\ d&c\end {vmatrix} +xv\,\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end {vmatrix} +uv\,\underbrace {\begin{vmatrix}b&b\\ d&d\end {vmatrix}}_{=\,0}\\[2pt] &= -\, uy\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end {vmatrix} + xv\,\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end {vmatrix} && \shortstack [l]{\text {kolommen van}\\\text {plaats wisselen}}\\[2pt] &= (xv-uy)\,\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end {vmatrix}\\[2pt] &=(ad-bc)(xv-yu)\\[2pt] &=\det A\cdot \det B. \end{align*}

Overzicht beweringen

\[ \forall A,B\in \mathbb {R}^{n\times n}:\qquad \begin {cases} \det (A+B)\neq \det A+\det B,\\[2pt] \det (kA)=k^{\,n}\det A,\\[2pt] \det (A\,B)=\det A\cdot \det B. \end {cases} \]

Oefeningen

p143 e.v. nr 7

III Omgekeerde van een \(n\times n\)-matrix

1 Reguliere en singuliere matrices

Definitie

Voor alle \(A\in \mathbb {R}^{n\times n}\):

• • \(A^{-1}\) is de omgekeerde matrix van \(A\) \(\Leftrightarrow \) \(A\,A^{-1}=A^{-1}A=I_n\), met \(A,A^{-1},I_n\in \mathbb {R}^{n\times n}\).

• • \(A\) is regulier (= inverteerbaar) \(\;\Leftrightarrow \;\) \(A^{-1}\) bestaat.

• • \(A\) is singulier \(\;\Leftrightarrow \;\) \(A^{-1}\) niet bestaat.

Eigenschap 1

\(A\) is regulier \(\Rightarrow \) \(\det A\neq 0\).

Bewijs.

\begin{align*} A \text { regulier} &\;\Rightarrow \; A^{-1} \text { bestaat} \\ &\;\Rightarrow \; A\,A^{-1}=I_n \\ &\;\Rightarrow \; \det (A\,A^{-1}) = \det I_n && \shortstack {\tiny \text {links en rechts}\\ \tiny \text {determinant nemen}} \\ &\;\Rightarrow \; (\det A)\,(\det A^{-1}) = 1 \\ &\;\Rightarrow \; \det A \neq 0. \end{align*}

Oefeningen

p 143 nr 8

2 Adjunctmatrix en \(A^{-1}\)

Definitie

De adjunctmatrix \(\operatorname {adj}A\) van een gegeven \(n\times n\)-matrix \(A\) is de getransponeerde \(n\times n\)-matrix die we bekomen door elk element \(a_{ij}\) van \(A\) te vervangen door zijn cofactor \(A_{ij}\):

\[ \operatorname {adj}A=[A_{ij}]^{\mathsf T}=[A_{ji}]. \]

Voorbeeld

\[ A=\begin {pmatrix} 1&0&2\\ 3&-1&5\\ 2&6&1 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \operatorname {adj}A= \begin {pmatrix} -31&12&2\\ 7&-3&1\\ 20&-6&-1 \end {pmatrix}. \]

Eigenschap 2

\[ A\cdot (\operatorname {adj}A)=(\operatorname {adj}A)\cdot A=(\det A)\,I. \]

Bewijs.

\[ A= \begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end {pmatrix}, \qquad \operatorname {adj}A= \begin {pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\\ A_{13}&A_{23}&A_{33} \end {pmatrix}. \]

\begin{align*} A\cdot (\operatorname {adj}A) &= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end {pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\\ A_{13}&A_{23}&A_{33} \end {pmatrix}\\[4pt] &= \begin{pmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} & \ldots & \ldots \\[2pt] a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}+a_{23}A_{13} & a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23} & \ldots \\[2pt] a_{31}A_{11}+a_{32}A_{12}+a_{33}A_{13} & \ldots & \ldots \end {pmatrix}. \end{align*} Met Hoofdeigenschap III:

\[ \sum _{k=1}^3 a_{ik}A_{jk}= \begin {cases} 0,& i\neq j,\\ \det A,& i=j, \end {cases} \]

dus

\[ A\cdot (\operatorname {adj}A)= \begin {pmatrix} \det A&0&0\\ 0&\det A&0\\ 0&0&\det A \end {pmatrix} =(\det A)\,I_3. \]

Analoog volgt \((\operatorname {adj}A)\cdot A=(\det A)\,I_3\).

Eigenschap 3

Als \(\det A\neq 0\), dan is \(A\) regulier met

\[ A^{-1}=\frac {1}{\det A}\,\operatorname {adj}A. \]

Bewijs.

Uit eigenschap 2 weten we:

\[ A\cdot (\operatorname {adj}A)=(\det A)\,I_3 \quad \text {en}\quad (\operatorname {adj}A)\cdot A=(\det A)\,I_3. \]

Deel beide gelijkheden door \(\det A\neq 0\):

\[ \frac {1}{\det A}\,A\cdot (\operatorname {adj}A)=I_3, \qquad \frac {1}{\det A}\,(\operatorname {adj}A)\cdot A=I_3. \]

Dus \(\dfrac {1}{\det A}\,\operatorname {adj}A\) is links- én rechts-invers van \(A\); bijgevolg

\[ \boxed {\,A^{-1}=\dfrac {1}{\det A}\,\operatorname {adj}A\,}. \]

Besluit

\[ A \text { regulier }\Longleftrightarrow \ \det A\neq 0, \qquad A \text { singulier }\Longleftrightarrow \ \det A=0. \]

3 De groep van reguliere \(n\times n\)-matrices

Notatie en stelling

De verzameling van alle reguliere \(n\times n\)-matrices:

\[ GL_n(\mathbb {R})=\{A\in \mathbb {R}^{n\times n}\mid \det A\neq 0\}. \]

GL: de algemene lineaire groep (general linear group)

Groepseigenschappen:

\begin{align*} \text {I: (geslotenheid)} & \quad A,B\in GL_n(\mathbb {R}) \Rightarrow A B\in GL_n(\mathbb {R}), \\ \text {A: (associativiteit)} & \quad (A B) C = A (B C), \\ \text {N: (neutraal element)} & \quad I_n \in GL_n(\mathbb {R}) \text { en } I_n A = A I_n = A, \\ \text {S: (invers element)} & \quad \text {Voor elke } A \in GL_n(\mathbb {R}) \text { bestaat } A^{-1}\in GL_n(\mathbb {R}) \\ & \qquad \text { met } A A^{-1}=A^{-1}A=I_n. \end{align*}

4 Andere eigenschappen

\begin{align*} \text {(1) } & I_n^{-1}=I_n, \\ \text {(2) } & (A^{-1})^{-1}=A, \\ \text {(3) } & (A B)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. \end{align*}

Voorbeelden

• 1. Bovendriehoeksmatrix:

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end {pmatrix}^{-1} &= \frac {1}{1} \begin{pmatrix} 1&-2&5\\ 0& 1&-4\\ 0& 0& 1 \end {pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1&-2&5\\ 0& 1&-4\\ 0& 0& 1 \end {pmatrix}. \end{align*}

• 2.

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \begin{pmatrix} 5&1& 1\\ 5&0& 1\\ 9&6& 2 \end {pmatrix}^{-1} &= \frac {1}{-1} \begin{pmatrix} -6& 4& 1\\ -1& 1& 0\\ 30&-21&-5 \end {pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6&-4&-1\\ 1&-1& 0\\ -30& 21& 5 \end {pmatrix}. \end{align*}

• 3.

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \begin{pmatrix} 5&6\\ 2&3 \end {pmatrix}^{-1} &= \frac {1}{3} \begin{pmatrix} 3&-6\\ -2&5 \end {pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1&-2\\ -\tfrac {2}{3}&\tfrac {5}{3} \end {pmatrix}. \end{align*}

• 4.

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} \begin{pmatrix} 31&-4\\ 18&-2 \end {pmatrix}^{-1} &= \frac {1}{10} \begin{pmatrix} -2& 4\\ -18&31 \end {pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -0.2& 0.4\\ -1.8& 3.1 \end {pmatrix}. \end{align*}

• 5. Diagonaalmatrix:

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} D &= \operatorname {diag}(2,3,5) \\ \Rightarrow \qquad D^{-1} &= \operatorname {diag}\!\left (\tfrac 12,\tfrac 13,\tfrac 15\right ). \end{align*}

• 6. Bovendriehoeksmatrix (met enen op de diagonaal):

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} U &= \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end {pmatrix} \\ \Rightarrow \qquad U^{-1} &= \begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end {pmatrix}. \end{align*}

• 7. Eigenschap \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) narekenen voor \(2\times 2\)-matrices:

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} A &= \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end {pmatrix} \\ B &= \begin{pmatrix}2&0\\1&1\end {pmatrix} \\ \Rightarrow \qquad A^{-1} &= \begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end {pmatrix} \\ B^{-1} &= \begin{pmatrix}\tfrac 12&0\\-\tfrac 12&1\end {pmatrix}. \end{align*}

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} AB &= \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end {pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end {pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}4&2\\1&1\end {pmatrix} \\ \Rightarrow \qquad (AB)^{-1} &= \frac 12\begin{pmatrix}1&-2\\-1&4\end {pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\tfrac 12&-1\\-\tfrac 12&2\end {pmatrix}. \end{align*}

  \(\seteqnumber{0}{}{0}\)

  \begin{align*} B^{-1}A^{-1} &= \begin{pmatrix}\tfrac 12&0\\-\tfrac 12&1\end {pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end {pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\tfrac 12&-1\\-\tfrac 12&2\end {pmatrix} \\ &\Rightarrow \qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. \end{align*}

5 Bijzonder geval: \(n=2\)

Voor \(A=\begin {pmatrix}a&b\\ c&d\end {pmatrix}\) met \(\det A=ad-bc\neq 0\):

\[ A^{-1}=\frac {1}{\det A} \begin {pmatrix} d & -b\\ -c & a \end {pmatrix}. \]

Oefeningen

p 148 nr 1, 3, 4

6 Met ICT

A = [[31, -4],
     [18, -2]]

a, b = A[0]
c, d = A[1]
determinant = a*d - b*c

if determinant == 0:
    print("De matrix heeft geen inverse.")
else:
    inverse = [[d/determinant, -b/determinant],
               [-c/determinant, a/determinant]]
    for rij in inverse:
        print(rij)

[-0.2, 0.4]
[-1.8, 3.1]

from numpy import array, allclose, eye
from numpy.linalg import inv

A = array([[31, -4],
           [18, -2]])

B = inv(A)
print(B.round(10))
print(allclose(A @ B, eye(2)))

[[-0.2  0.4]
 [-1.8  3.1]]
True

IV Stelsel van Cramer

1 Opstellen formules

Als we een stelsel met \(n\) onbekenden en \(n\) vergelijkingen hebben

\[ \begin {cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=b_n \end {cases} \]

schrijven in matrixvorm

\[\;A\cdot X=B\]

waarbij we veronderstellen dat \(A\) regulier is.

\begin{align*} A\cdot X&=B\\ \Rightarrow \qquad X&=A^{-1}\,B\\ \Rightarrow \qquad X&=\frac {1}{|A|}\,(\operatorname {adj}A)\,B .\\ \end{align*}

Uitgeschreven staat er dus

\begin{align*} \phantom {\Leftrightarrow \;} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end {pmatrix} & =\frac {1}{|A|} \begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn} \end {pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_n \end {pmatrix} \\[6pt] \Leftrightarrow \; \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end {pmatrix} & =\frac {1}{|A|} \begin{pmatrix} b_1A_{11}+b_2A_{21}+\cdots +b_nA_{n1}\\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+\cdots +b_nA_{n2}\\ \vdots \\ b_1A_{1n}+b_2A_{2n}+\cdots +b_nA_{nn} \end {pmatrix} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \; x_1 & =\frac {1}{|A|}\,(b_1A_{11}+b_2A_{21}+\cdots +b_nA_{n1})\\[6pt] & =\frac {1}{|A|} \left ( \;b_1 \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\ a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nn} \end {vmatrix} -\,b_2 \begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\ a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nn} \end {vmatrix} \right . \\ & \qquad \left . \qquad \qquad +\cdots +(-1)^{n+1}b_n \begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\ a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{(n-1)2}&a_{(n-1)3}&\cdots &a_{(n-1)n} \end {vmatrix} \right ) \\[6pt] & =\frac {1}{|A|} \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\ b_2 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end {vmatrix} \\[6pt] & =\frac {|A_1|}{|A|}, \end{align*} waarbij \(|A_1|\) de determinant is van \(A\) waarin de eerste kolom is vervangen door de termen \(b_1,\dots ,b_n\).

Analoog

\[ \underbrace {x_1=\frac {|A_1|}{|A|},\qquad x_2=\frac {|A_2|}{|A|},\qquad x_3=\frac {|A_3|}{|A|},\ \ldots ,\ x_n=\frac {|A_n|}{|A|}}_{\text {\large \bf Formules van Cramer}}. \]

2 Gevolg

Een stelsel van Cramer (d.w.z. \(|A|\neq 0\)) heeft precies één oplossing.

3 Opmerking

De formules van Cramer kunnen we niet gebruiken als \(|A| = 0\).

4 Voorbeeld 1

Los op in \(\mathbb {R}^2\) via Cramer

\[ \begin {cases} 2x-3y=1\\ 5x+y=11 \end {cases} \qquad A=\begin {pmatrix}2&-3\\ 5&1\end {pmatrix},\; \vec b=\begin {pmatrix}1\\11\end {pmatrix} \]

\begin{align*} |A| &=\begin{vmatrix}2&-3\\ 5&1\end {vmatrix} =2\cdot 1-(-3)\cdot 5 =17,\\[4pt] |A_1| &=\begin{vmatrix}1&-3\\ 11&1\end {vmatrix} =1\cdot 1-(-3)\cdot 11 =34 \;\Rightarrow \; x=\dfrac {|A_1|}{|A|}=\dfrac {34}{17}=2,\\[6pt] |A_2| &=\begin{vmatrix}2&1\\ 5&11\end {vmatrix} =2\cdot 11-1\cdot 5 =17 \;\Rightarrow \; y=\dfrac {|A_2|}{|A|}=\dfrac {17}{17}=1. \end{align*} Hieruit volgt:

\[ V=\{(2,1)\}. \]

5 Voorbeeld 2

Los op in \(\mathbb {R}^3\) via Cramer

\[ \begin {cases} x+2y+z=4\\ \phantom {x}+y-z=3\\ 2x+y+3z=1 \end {cases} \qquad A=\begin {pmatrix} 1&2&1\\ 0&1&-1\\ 2&1&3 \end {pmatrix},\; \vec b=\begin {pmatrix}4\\3\\1\end {pmatrix} \]

\begin{align*} |A| &=\begin{vmatrix} 1&2&1\\ 0&1&-1\\ 2&1&3 \end {vmatrix} =-2,\\[6pt] |A_1| &=\begin{vmatrix} 4&2&1\\ 3&1&-1\\ 1&1&3 \end {vmatrix} =-2 \;\Rightarrow \; x=\dfrac {|A_1|}{|A|}=\dfrac {-2}{-2}=1,\\[8pt] |A_2| &=\begin{vmatrix} 1&4&1\\ 0&3&-1\\ 2&1&3 \end {vmatrix} =-4 \;\Rightarrow \; y=\dfrac {|A_2|}{|A|}=\dfrac {-4}{-2}=2,\\[8pt] |A_3| &=\begin{vmatrix} 1&2&4\\ 0&1&3\\ 2&1&1 \end {vmatrix} =2 \;\Rightarrow \; z=\dfrac {|A_3|}{|A|}=\dfrac {2}{-2}=-1. \end{align*} Hieruit volgt:

\[ V=\{(1,2,-1)\}. \]

6 Met ICT

7 Oefeningen

p 155 nr 1, 3, 4
Geen oefeningen vanaf nr 5 (bespreken met parameter m)

V Rang van een matrix

1 Voorbeeld

\[ A= \begin {pmatrix} 0&2&1&-1\\ 1&-1&6& 3\\ 1&3&8& 1 \end {pmatrix} \]

• • \(A\notin \mathbb {R}^{n\times n}\;\Rightarrow \; \det A\) bestaat niet.

• • Schrap telkens één kolom \(\Rightarrow \) vier \(3\times 3\)-minoren.

  \[ \begin {alignedat}{3} &\begin {vmatrix} 0&2&1\\ 1&4&6\\ 1&3&8 \end {vmatrix}=0 \qquad && \begin {vmatrix} 0&1&-1\\ 1&6&3\\ 1&8&1 \end {vmatrix}=0\\[8pt] &\begin {vmatrix} 0&2&-1\\ 1&-1&3\\ 1&3&1 \end {vmatrix}=0 \qquad && \begin {vmatrix} 2&1&1\\ -1&6&3\\ 3&8&1 \end {vmatrix}=0 \end {alignedat} \]

• • Berekening (Laplace/Sarrus) geeft voor elk: \(\det (\text {minor})=0\).

• • Schrap vervolgens \(1\) rij en \(1\) kolom \(\Rightarrow \) \(2\times 2\)-minoren.

• • Bv. \(\begin {vmatrix} 0&2\\ 1&4 \end {vmatrix} =0\cdot 4-2\cdot 1=-2\neq 0\).

\[ \text {Minstens één }2\times 2\text {-minor }\neq 0 \ \Rightarrow \ \boxed {\ \operatorname {rang}(A)=2\ }. \]

2 Definitie

• • De rang van een matrix is de grootste orde van een minor die \(\neq 0\) is, waarbij de minors ontstaan door het schrappen van rijen en/of kolommen uit de oorspronkelijke matrix.

• • De rang van de nulmatrix is \(0\).

3 Notatie

\[ \operatorname {rang}(A)=r(A). \]

4 Oefeningen

Oef 1: rang in \(\mathbb {R}^{2}\)

Opgave. Bepaal de rang van

\[ A=\begin {pmatrix}2&3\\[2pt]4&6\end {pmatrix}. \]

Uitwerking.

\begin{align*} \det A&=\begin{vmatrix}2&3\\4&6\end {vmatrix}=2\cdot 6-3\cdot 4=12-12=0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname {rang}(A)<2.\\ \text {Maar}\quad \begin{vmatrix}2\end {vmatrix}&=2\neq 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname {rang}(A)=1. \end{align*}

Oef 2: rang in \(\mathbb {R}^{3}\)

Opgave. Bepaal de rang van

\[ B=\begin {pmatrix} 3&1&1\\ 2&4&1\\ 1&0&2 \end {pmatrix}. \]

Uitwerking.

\begin{align*} \det B &=\begin{vmatrix} 3&1&1\\ 2&4&1\\ 1&0&2 \end {vmatrix} =3(4\cdot 2-1\cdot 0)-1(2\cdot 2-1\cdot 1)+1(2\cdot 0-4\cdot 1)\\ &=3\cdot 8-(4-1)-(0-4)=24-3+4=25\neq 0. \end{align*} Dus \(\operatorname {rang}(B)=3\).

Oef 3: parameterwaarde(n) met rang \(=2\)

Opgave. Voor

\[ A(m)=\begin {pmatrix} 1&0&m\\ m+4&1&5\\ 0&m-2&m-2 \end {pmatrix} \]

bepaal alle \(m\in \mathbb {R}\) waarvoor \(\operatorname {rang}(A(m))=2\).

Oef 4: Rang bepalen voor alle parameters

Bepaal de rang van de matrix \(M\) voor alle parameters \(a, b, c \in \mathbb {R}\).

\[ M = \begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a+1 & b+1 & c+1 \end {pmatrix} \]

VI Meetkundige toepassingen

1 Vergelijking van een rechte door twee gegeven punten

Opstelling formule

Rechte door \(P_1(x_1,y_1)\) en \(P_2(x_2,y_2)\) met \(x_1\neq x_2\):

\begin{align*} y-y_1 &= \frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}\,(x-x_1)\\ \Leftrightarrow \quad (y-y_1)(x_2-x_1) &= (y_2-y_1)(x-x_1)\\ \Leftrightarrow \quad y(x_2-x_1)-y_1(x_2-x_1) &= x(y_2-y_1)-x_1(y_2-y_1)\\ \Leftrightarrow \quad x\,(y_1-y_2)\;-\;y\,(x_1-x_2)\;+\;(x_1y_2-x_2y_1) &= 0\\ \Leftrightarrow \quad \markeerterm {rowc!35}{x}\,(y_1-y_2)\;-\;\markeerterm {rowc!35}{y}\,(x_1-x_2)\;+\;\markeerterm {rowc!35}{1}(x_1y_2-x_2y_1) &= 0. \end{align*}

Equivalente determinanvorm:

\[ \boxed {\qquad \begin {vNiceMatrix} x & y & 1\\ x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1 \CodeAfter \markeercellen {rowc}{1-1}{1-3} \end {vNiceMatrix}=0 \qquad } \]

  Cartesiche vgl v/d rechte door \(P_1(x_1,y_1)\) en \(P_2(x_2,y_2)\)

Voorbeeld

Geef de vergelijking van de rechte door \(P_1(2,3)\) en \(P_2(-4,7)\).

\[ \begin {vmatrix} x & y & 1\\ 2 & 3 & 1\\ -4 & 7 & 1 \end {vmatrix}=0 \]

Uitwerken (ontwikkeling naar de eerste rij):

\begin{align*} & & x\,(3\cdot 1-1\cdot 7)\;-\;y\,(2\cdot 1-1\cdot (-4))\;+\;1\,(2\cdot 7-3\cdot (-4)) &= 0\\ &\Leftrightarrow \quad & -4x-6y+26 &= 0 \\ &\Leftrightarrow \quad & 2x+3y-13 &= 0 \end{align*}

Oefeningen

2 Collineariteit van drie punten

Formule

\[ P_1(x_1,y_1),\; P_2(x_2,y_2),\; P_3(x_3,y_3)\ \text {zijn collineair} \]

\begin{align*} &\Longleftrightarrow \quad P_1 \in \text {rechte door } P_2P_3\\ &\Longleftrightarrow \quad P_1 \text { voldoet aan } \begin{vmatrix} x & y & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end {vmatrix}=0\\ &\Longleftrightarrow \quad \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end {vmatrix}=0. \end{align*}

\[ \boxed {\; P_1,P_2,P_3 \text { zijn collineair } \iff \begin {vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end {vmatrix}=0\; } \]

Voorbeeld

Ga na of \(A(3,2)\), \(B(-2,-1)\) en \(C(8,5)\) collineair zijn.

\begin{align*} & & \begin{vmatrix} 3&2&1\\ -2&-1&1\\ 8&5&1 \end {vmatrix} &\weq [?]{=} 0 \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad & \bigl (3\cdot (-1)\cdot 1+2\cdot 1\cdot 8+1\cdot (-2)\cdot 5\bigr ) - \bigl (1\cdot (-1)\cdot 8+3\cdot 1\cdot 5+2\cdot (-2)\cdot 1\bigr ) &\weq [?]{=} 0 \\ &\Leftrightarrow \quad & \bigl (-3+16-10\bigr ) - \bigl (-8+15-4\bigr ) &\weq [?]{=} 0 \\ &\Leftrightarrow \quad & 3 - 3 &\weq [?]{=} 0 \\ &\Leftrightarrow \quad & 0 &\weq {=} 0 \end{align*}

Besluit: ja, de drie punten zijn collineair.

Oefeningen

3 Oppervlakte van een driehoek in een orthonormaal assenstelsel

Opstellen formule

Lengtes en lijnvergelijking:

\[ |BC| = \sqrt {(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2} \]

\[ BC \leftrightarrow u x + v y + w = 0 \qquad (u, v, w \in \mathbb {R}) \]

Maar de lijn \(BC\) kan ook worden geschreven als

\[BC \leftrightarrow \begin {vmatrix} x&y&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end {vmatrix}=0, \]

en dus \(u=y_2-y_3,\quad v=-(x_2-x_3),\quad w=x_2y_3-x_3y_2\).

dan

\begin{align*} |AA'| &= d(A,BC)\\ &= \dfrac {|u x_1 + v y_1 + w|}{\sqrt {u^2+v^2}}. \end{align*}

Besluit:

\begin{align*} \operatorname {Opp}\triangle ABC &=\tfrac 12\,|BC|\cdot \frac {|u x_1 + v y_1 + w|}{\sqrt {u^2+v^2}}\\[2pt] & =\tfrac 12\,\bigl |u x_1 + v y_1 + w\bigr |\\[2pt] &=\tfrac 12\,\Bigl |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\Bigr |\\[2pt] & =\tfrac 12\,|\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end {vmatrix}|. \end{align*}

\[ \boxed {\; \operatorname {Opp}\triangle ABC = \tfrac 12\,|\begin {vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end {vmatrix}| \;} \]

Voorbeeld

Gegeven \(A(1,0)\), \(B(7,2)\), \(C(4,2)\). Bepaal \(\operatorname {Opp}\triangle ABC\).

\begin{align*} \operatorname {Opp}\triangle ABC &=\frac 12 | \begin{vmatrix} 1&0&1\\ 7&2&1\\ 4&2&1 \end {vmatrix} |\\ &=\frac 12\,\bigl |\,(1\cdot 2\cdot 1+0\cdot 1\cdot 4+1\cdot 7\cdot 2) -(1\cdot 2\cdot 4+1\cdot 1\cdot 2+0\cdot 7\cdot 1)\,\bigr |\\ &=\frac 12\,\bigl |\,(2+0+14)-(8+2+0)\,\bigr |\\ & =\frac 12\,|16-10|\\ & =\boxed {3}. \end{align*}

Gevolg

De oppervlakte van parallellogram \(ABCD\) met aangrenzende hoekpunten \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\) is

\[ \operatorname {Opp}(ABCD)=2\,\operatorname {Opp}\triangle ABC = |\begin {vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end {vmatrix}|. \]

Oefeningen