Hoofdstuk 4Euclidische
ruimtemeetkunde
Leerplandoelstellingen (GO! Navigator)
Gevorderde wiskunde (WD3_06.08)
-
• WD3_06.08.07 (MD 06.08.29) De leerlingen rekenen met vectoren in de ruimte.
-
– afbakening: vrije vector, puntvector
-
– afbakening: bewerkingen: optelling, vermenigvuldiging met een getal en inproduct
-
– afbakening: loodrechte stand
-
– afbakening: norm van een vector en ontbinding van een vector in zijn componenten
-
-
• WD3_06.08.08 (MD 06.08.30) De leerlingen stellen vectoriële, parametrische en cartesische vergelijkingen van rechten en vlakken in de ruimte op.
-
• WD3_06.08.10 (MD 06.08.33) De leerlingen berekenen afstanden en hoeken in de ruimte.
I Inproduct
In het vorige hoofdstuk hebben we vooral de evenwijdige stand behandeld. Nu maken we de overgang naar de begrippen lengte, afstand, loodrechte stand en hoeken. Vanaf nu zullen we dan ook ALTIJD in een orthonormale basis werken. We voeren hiertoe het begrip inproduct of scalair product in.
1 Axioma
\(\mathbb {R},\Sigma _O,+\) is een driedimensionale euclidische vectorruimte.
Dit houdt o.a. in dat alle eigenschappen van het inproduct die geldig zijn in het vlak (zie leerstof vierde jaar),
geldig blijven in de driedimensionale ruimte. We zullen hierna kort de voornaamste herhalen.
Bovendien wordt door de definitie van het inproduct ook een afstand gedefinieerd. \(\mathbb {R},\Sigma _O,+\) is dan ook een metrische ruimte (zie analyse).
2 Orthonormale basis
Een basis is orthonormaal wanneer de drie basisvectoren twee aan twee loodrecht op elkaar staan én alle drie de lengte \(1\) hebben:
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} (O,\overrightarrow {E_1},\overrightarrow {E_2},\overrightarrow {E_3}) \text { is orthonormaal} &\Leftrightarrow \overrightarrow {E_1}\bot \overrightarrow {E_2} \wedge \overrightarrow {E_1}\bot \overrightarrow {E_3} \wedge \overrightarrow {E_2}\bot \overrightarrow {E_3}\\ &\phantom {\Leftrightarrow }\ \wedge \ |OE_1|=|OE_2|=|OE_3|=1 \end{align*} In woorden: de drie assen staan loodrecht op elkaar en dragen dezelfde ijk. Let op: het gaat om drie assen, dus ook om drie loodrechte standen.
3 Norm van een vector
De norm van de vector \(\overrightarrow {AB}\) is gelijk aan de lengte van het lijnstuk \([AB]\): \(||\overrightarrow {AB}||=|AB|\)
4 Formules voor het inproduct
We herhalen hier kort de geziene formules uit het vierde jaar.
Definitie inproduct
\(\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B}=||\overrightarrow {A}|| \cdot ||\overrightarrow {B}|| \cdot \cos \alpha \)
Hierin is \(\alpha =\widehat {AOB}\) de hoek tussen de plaatsvectoren \(\overrightarrow {A}(x_1,y_1,z_1)\) en \(\overrightarrow {B}(x_2,y_2,z_2)\). Het inproduct is een getal, geen vector.
Analytische uitdrukking van het inproduct
\(\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B}=x_1 \cdot x_2+y_1 \cdot y_2+z_1 \cdot z_2\)
5 Inkwadraat van een vector
Indien je het inproduct neemt van een vector met zichzelf, bekomen we hieruit de formules voor het
inkwadraat van deze vector.
\(\overrightarrow {A}^2=||\overrightarrow {A}||^2=x_1^2+y_1^2+z_1^2\)
6 Afstand tussen twee punten
Dit alles samen brengt ons tot de formules voor afstand tussen een punt en de oorsprong en afstand tussen
twee willekeurige punten:
\(|OA|=||\overrightarrow {OA}||=||\overrightarrow {A}||=\sqrt
{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)
\(|AB|=||\overrightarrow {AB}||=||\overrightarrow {B}-\overrightarrow {A}||\)
\(|AB|=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)
7 Loodrechte stand van twee vectoren
Tot slot kunnen we het inproduct ook gebruiken om loodrechte stand van twee vectoren na te gaan. Hun ingesloten hoek \(\alpha \) is dan immers \(90\degree \) of \(270\degree \), waarmee we 0 vinden voor \(\cos \alpha \). We kunnen dus stellen:
\(\overrightarrow {A}\bot \overrightarrow {B}\Leftrightarrow \overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B}=0\Leftrightarrow x_1 \cdot x_2+y_1 \cdot y_2+z_1 \cdot z_2=0\)
8 Oefeningen
Zie handboek Van Basis tot Limiet, Ruimtemeetkunde: nrs. 1, 7 en 8 p. 146.
Oefening 1
Gegeven zijn de punten \(A(2,3,-1)\), \(B(-1,4,3)\) en \(C(0,0,2)\). Bereken.
-
(a) \(\overrightarrow {A}\cdot \overrightarrow {B}\)
\(\overrightarrow {A}\cdot \overrightarrow {B}=2\cdot (-1)+3\cdot 4+(-1)\cdot 3=-2+12-3=7\)
-
(b) \(\overrightarrow {B}\cdot \overrightarrow {C}\)
\(\overrightarrow {B}\cdot \overrightarrow {C}=-1\cdot 0+4\cdot 0+3\cdot 2=6\)
-
(c) \(\overrightarrow {C}\cdot (\overrightarrow {A}-\overrightarrow {B})\)
\(\overrightarrow {A}-\overrightarrow {B}=(3,-1,-4)\), dus \(\overrightarrow {C}\cdot (\overrightarrow {A}-\overrightarrow {B})=0\cdot 3+0\cdot (-1)+2\cdot (-4)=-8\)
-
(d) \(||\overrightarrow {AB}||\)
\(||\overrightarrow {AB}||=|AB|=\sqrt {(-1-2)^2+(4-3)^2+(3+1)^2}=\sqrt {9+1+16}=\sqrt {26}\)
-
(e) \(\overrightarrow {A}^2\)
\(\overrightarrow {A}^2=2^2+3^2+(-1)^2=14\)
-
(f) \(||\overrightarrow {A}+\overrightarrow {B}||\)
\(\overrightarrow {A}+\overrightarrow {B}=(1,7,2)\), dus \(||\overrightarrow {A}+\overrightarrow {B}||=\sqrt {1+49+4}=\sqrt {54}=3\sqrt {6}\)
Bepaal ten slotte de hoek \(\widehat {AOB}\) met behulp van het inproduct.
\begin{align*} \overrightarrow {A}\cdot \overrightarrow {B} &=||\overrightarrow {A}||\cdot ||\overrightarrow {B}||\cdot \cos \widehat {AOB}\\ \Leftrightarrow \quad \cos \widehat {AOB} &=\frac {\overrightarrow {A}\cdot \overrightarrow {B}}{||\overrightarrow {A}||\cdot ||\overrightarrow {B}||} =\frac {7}{\sqrt {14}\cdot \sqrt {26}}\\ \Rightarrow \quad \widehat {AOB}&=68\degree 28'32'' \end{align*} Zet het rekentoestel hiervoor in de mode DEGREE en gebruik ANGLE 4:DMS om het antwoord in graden, minuten en seconden te lezen.
Oefening 2
Gegeven zijn \(A(0,0,0)\), \(B(4,0,-4)\) en \(C(0,4,-4)\). Toon aan dat de driehoek \(ABC\) gelijkzijdig is.
Te bewijzen: \(|AB|=|BC|=|AC|\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} |AB|&=\sqrt {(4-0)^2+(0-0)^2+(-4-0)^2}=\sqrt {16+0+16}=\sqrt {32}\\ |BC|&=\sqrt {(0-4)^2+(4-0)^2+(-4+4)^2}=\sqrt {16+16+0}=\sqrt {32}\\ |AC|&=\sqrt {(0-0)^2+(4-0)^2+(-4-0)^2}=\sqrt {0+16+16}=\sqrt {32} \end{align*} De drie zijden zijn even lang, dus de driehoek \(ABC\) is gelijkzijdig.
Oefening 3
Gegeven zijn \(A(2,-1,2)\), \(B(3,k,0)\), \(C(-2,1,2)\) en \(D(0,3,-2)\). Bepaal \(k\) zodat
-
(a) \(AB\parallel CD\)
Een stel richtingsgetallen van \(AB\) is \(\overrightarrow {B}-\overrightarrow {A}=(1,k+1,-2)\), een stel richtingsgetallen van \(CD\) is \(\overrightarrow {D}-\overrightarrow {C}=(2,2,-4)\).
\[\begin {aligned} AB\parallel CD &\Leftrightarrow (2,2,-4)=\ell \cdot (1,k+1,-2)\\ &\Leftrightarrow \begin {cases} 2=\ell \\ 2=\ell \cdot (k+1)\\ -4=\ell \cdot (-2) \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} \ell =2\\ k=0 \end {cases} \end {aligned}\]
Dus \(k=0\).
-
(b) \(AB\bot CD\)
\[\begin {aligned} AB\bot CD &\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}=0\\ &\Leftrightarrow 1\cdot 2+(k+1)\cdot 2+(-2)\cdot (-4)=0\\ &\Leftrightarrow 2+2(k+1)+8=0\\ &\Leftrightarrow 2(k+1)=-10\\ &\Leftrightarrow k=-6 \end {aligned}\]
Dus \(k=-6\).
II Loodrechte stand
1 Loodrechte stand van twee rechten
Twee rechten staan loodrecht op elkaar als hun richtingen loodrecht op elkaar staan. We schuiven beide rechten daarom evenwijdig naar de oorsprong en vergelijken hun richtingsvectoren \(\overrightarrow {R}(a,b,c)\) en \(\overrightarrow {S}(a',b',c')\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} e\bot f &\Leftrightarrow e_O\bot f_O\\ &\Leftrightarrow \overrightarrow {R}(a,b,c)\bot \overrightarrow {S}(a',b',c')\\ &\Leftrightarrow \overrightarrow {R}\cdot \overrightarrow {S}=0 \end{align*} Besluit
\(e\bot f\Leftrightarrow aa'+bb'+cc'=0\)
Merk op dat \(e\) en \(f\) hiervoor niet hoeven te snijden: ook kruisende rechten kunnen loodrecht op elkaar staan.
Voorbeeld
Beschouw de rechten \(e\leftrightarrow \frac {x-3}{4}=1-y=\frac {3-z}{7}\) en
\(f\leftrightarrow \frac {5-x}{3}=\frac {2-y}{5}=3-z\). Onderzoek of e en f loodrecht op elkaar staan.
We schrijven beide rechten eerst in de standaardgedaante:
\[e\leftrightarrow \frac {x-3}{4}=\frac {y-1}{-1}=\frac {z-3}{-7} \qquad \text {en}\qquad f\leftrightarrow \frac {x-5}{-3}=\frac {y-2}{-5}=\frac {z-3}{-1}\]
Een stel richtingsgetallen van \(e\) is dus \((a,b,c)=(4,-1,-7)\) en een stel richtingsgetallen van \(f\) is \((a',b',c')=(-3,-5,-1)\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} aa'+bb'+cc' &= 4\cdot (-3)+(-1)\cdot (-5)+(-7)\cdot (-1)\\ &= -12+5+7=0 \end{align*} Dus \(e\bot f\).
2 Loodrechte stand van een rechte en een vlak
Normaalvector van een vlak
Een normaalvector van een vlak is een willekeurige vector, verschillend van de nulvector, gelegen op de loodlijn uit de oorsprong op het vlak.
Is \(\alpha \leftrightarrow ux+vy+wz+t=0\), dan is \(\alpha _O\leftrightarrow ux+vy+wz=0\) het vlak door de oorsprong dat evenwijdig is met \(\alpha \). De loodlijn \(a_O\) uit \(O\) op \(\alpha _O\) staat dan ook loodrecht op \(\alpha \), en elke plaatsvector \(\overrightarrow {N}\ne \overrightarrow {0}\) van \(a_O\) is een normaalvector van \(\alpha \).
Eigenschap
Ten opzichte van een orthonormale basis heeft het vlak \(\alpha \leftrightarrow ux+vy+wz+t=0\) de vector \(\overrightarrow {N}(u,v,w)\) als normaalvector.
Bewijs:
Uit \(\alpha \leftrightarrow ux+vy+wz+t=0\) volgt \(\alpha _O\leftrightarrow ux+vy+wz=0\).
Beschouw een willekeurig punt \(P(x_1,y_1,z_1)\) van \(\alpha _O\), met \(P\ne O\).
\begin{alignat*} {3} \phantom {\Leftrightarrow }\qquad && P&\in \alpha _O &&\\ \Leftrightarrow \qquad && ux_1+vy_1&+wz_1=0 &&\\ \Leftrightarrow \qquad && \overrightarrow {N}\cdot \overrightarrow {P}&=0 \qquad &&\text {\small (analytische uitdrukking van het inproduct)}\\ \Leftrightarrow \qquad && \overrightarrow {N}&\bot \overrightarrow {P} &&\\ \Leftrightarrow \qquad && ON&\bot OP && \end{alignat*} Omdat \(P\) willekeurig gekozen is in \(\alpha _O\), geldt dit voor elke rechte door \(O\) van \(\alpha _O\). Bijgevolg staat \(ON\) loodrecht op \(\alpha _O\), en omdat \(\alpha _O\parallel \alpha \) ook op \(\alpha \):
\[ON\bot \alpha _O \quad \text {en}\quad \alpha _O\parallel \alpha \quad \Longrightarrow \quad ON\bot \alpha \]
Dus \(\overrightarrow {N}(u,v,w)\) is een normaalvector van \(\alpha \).
Met andere woorden: de coëfficiënten van \(x\), \(y\) en \(z\) in de cartesische vergelijking leggen de richting loodrecht op \(\alpha \) vast.
Loodrechte stand van een rechte en een vlak
Een rechte e met richtingsvector \(\overrightarrow {R}(a,b,c)\) en een vlak \(\alpha \leftrightarrow ux+vy+wz+t=0\) staan loodrecht op elkaar als en slechts als e evenwijdig is met een normaalvector \(\overrightarrow {N}(u,v,w)\) van \(\alpha \):
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} e\bot \alpha &\Leftrightarrow e//\overrightarrow {N} \\ &\Leftrightarrow \overrightarrow {R}//\overrightarrow {N}\\ &\Leftrightarrow (a,b,c)\sim (u,v,w)\\ \end{align*}
Besluit:
\(e\bot \alpha \Leftrightarrow (a,b,c)=k\cdot (u,v,w)\) met \(k\in \mathbb {R}_0\)
Voorbeeld
Beschouw de rechte \(e\leftrightarrow \frac {x-1}{-3}=\frac {y+2}{2}=z-1\) en het vlak \(\alpha
\leftrightarrow -6x+4y+2z+6=0\). Onderzoek of e en \(\alpha \) loodrecht op elkaar staan.
Een stel richtingsgetallen van \(e\) is \((a,b,c)=(-3,2,1)\) en een normaalvector van \(\alpha \) is \(\overrightarrow {N}(u,v,w)=(-6,4,2)\).
\[(-6,4,2)=2\cdot (-3,2,1)\quad \text {met } k=2\in \mathbb {R}_0\]
De twee stellen zijn dus evenredig, waaruit \(e\bot \alpha \).
3 Loodrechte stand van twee vlakken
Gegeven zijn
\[\alpha \leftrightarrow ux+vy+wz+t=0 \quad \text {met normaalvector }\overrightarrow {N}(u,v,w)\]
\[\beta \leftrightarrow u'x+v'y+w'z+t'=0 \quad \text {met normaalvector }\overrightarrow {L}(u',v',w')\]
Twee vlakken \(\alpha \) met normaalvector \(\overrightarrow {N}(u,v,w)\) en \(\beta \) met normaalvector \(\overrightarrow {L}(u',v',w')\) staan loodrecht op elkaar als en slechts als de twee loodlijnen op die vlakken loodrecht op elkaar staan. Dus als en slechts als hun normaalvectoren loodrecht op elkaar staan:
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \alpha \bot \beta &\Leftrightarrow \overrightarrow {N}(u,v,w)\bot \overrightarrow {L}(u',v',w')\\ &\Leftrightarrow uu'+vv'+ww'=0\\ \end{align*}
Besluit:
\(\alpha \bot \beta \Leftrightarrow uu'+vv'+ww'=0 \)
Voorbeeld
Onderzoek of de vlakken \(\alpha \leftrightarrow 2x+3y-z+5=0\) en \(\beta \leftrightarrow 6x-2y+2z-7=0\) loodrecht op elkaar staan.
Een normaalvector van \(\alpha \) is \(\overrightarrow {N}(2,3,-1)\), een normaalvector van \(\beta \) is \(\overrightarrow {L}(6,-2,2)\).
\[uu'+vv'+ww'=2\cdot 6+3\cdot (-2)+(-1)\cdot 2=12-6-2=4\ne 0\]
Dus \(\alpha \not \bot \beta \).
4 Overzicht
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} e \bot f &\Leftrightarrow aa'+bb'+cc'=0\\ e \bot \alpha &\Leftrightarrow (a,b,c)=k\cdot (u,v,w) \qquad \text { met } k\in \mathbb {R}_0\\ \alpha \bot \beta &\Leftrightarrow uu'+vv'+ww'=0 \end{align*}
III Oefeningen
Zie handboek Van Basis tot Limiet, Ruimtemeetkunde: nrs. 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 p. 147 tot 149.
Oefening 4
Onderzoek telkens de loodrechte stand. Van elke rechte is een stel richtingsgetallen gegeven, van elk vlak een normaalvector.
-
(a) \(e\) met \((1,1,1)\) en \(f\) met \((1,-1,0)\).
\(1\cdot 1+1\cdot (-1)+1\cdot 0=0\), dus \(e\bot f\).
-
(b) \(e\) met \((-6,8,-4)\) en \(f\) met \((2,3,3)\).
\(-6\cdot 2+8\cdot 3+(-4)\cdot 3=-12+24-12=0\), dus \(e\bot f\).
-
(c) \(e\) met \((-1,3,1)\) en \(\alpha \) met \(\overrightarrow {N}(2,-6,-2)\).
\((2,-6,-2)=-2\cdot (-1,3,1)\), de stellen zijn evenredig, dus \(e\bot \alpha \).
-
(d) \(e\) met \((0,3,2)\) en \(\alpha \) met \(\overrightarrow {N}(1,-4,6)\).
\((1,-4,6)\) is geen veelvoud van \((0,3,2)\): uit de eerste component zou \(k\cdot 0=1\) volgen, wat onmogelijk is. Dus \(e\not \bot \alpha \).
-
(e) \(\alpha \) met \(\overrightarrow {N}(1,1,-3)\) en \(\beta \) met \(\overrightarrow {L}(0,3,1)\).
\(1\cdot 0+1\cdot 3+(-3)\cdot 1=0\), dus \(\alpha \bot \beta \).
-
(f) \(\alpha \) met \(\overrightarrow {N}(2,-1,2)\) en \(\beta \) met \(\overrightarrow {L}(-1,2,-1)\).
\(2\cdot (-1)+(-1)\cdot 2+2\cdot (-1)=-2-2-2=-6\ne 0\), dus \(\alpha \not \bot \beta \).
IV Afstanden
1 Afstand tussen twee punten
We hernemen hier kort de formule zoals eerder in dit hoofdstuk gezien voor de afstand tussen twee punten \(A(x_1,y_1,z_1)\) en \(B(x_2,y_2,z_2)\).
\(d(A,B)=|AB|=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)
2 Afstand tussen een punt A en een rechte e
Definitie
Gegeven een punt \(A\) en een rechte \(e\). Construeer het vlak \(\alpha \) met \(\alpha \bot e\) en \(A\in \alpha \), en noem \(P\) het snijpunt van \(\alpha \) en \(e\).
\(d(A,e)=d(A,P)\)
\(P\) is het voetpunt van de loodlijn uit \(A\) op \(e\); van alle punten van \(e\) ligt \(P\) het dichtst bij \(A\).
Werkwijze
-
1. Stel de vergelijking op van het loodvlak \(\alpha \) door punt A, loodrecht op rechte e
-
2. Zoek het snijpunt P van \(\alpha \) en e: \(\{P\}=\alpha \cap e\)
-
3. Bereken de afstand tussen de punten A en P: \(d(A,P)=d(A,e)\)
Voorbeeld
Bereken de afstand tussen het punt \(A(5,3,2)\) en de rechte \(e\) met stelsel parametervergelijkingen
\(e\leftrightarrow (x,y,z)=(2,-1,2)+k \cdot (1,0,-3)\).
1. Het loodvlak \(\alpha \) op \(e\) door \(A\).
Omdat \(\alpha \bot e\) is een richtingsvector van \(e\) een normaalvector van \(\alpha \): \(\overrightarrow {N}(u,v,w)=(1,0,-3)\), dus
\[\alpha \leftrightarrow x-3z+t=0\]
\[A\in \alpha \Leftrightarrow 5-3\cdot 2+t=0 \Leftrightarrow t=1 \quad \Longrightarrow \quad \alpha \leftrightarrow x-3z+1=0\]
2. Het snijpunt \(P\) van \(\alpha \) en \(e\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \begin{cases} x=2+k\\ y=-1\\ z=2-3k\\ x-3z+1=0 \end {cases} &\Leftrightarrow (2+k)-3(2-3k)+1=0\\ &\Leftrightarrow 10k-3=0 \Leftrightarrow k=\frac {3}{10} \end{align*}
\[\Longrightarrow \quad P\left (\frac {23}{10},-1,\frac {11}{10}\right )\]
3. De afstand.
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} d(A,e)=d(A,P) &=\sqrt {\left (5-\frac {23}{10}\right )^2+(3+1)^2+\left (2-\frac {11}{10}\right )^2}\\ &=\sqrt {\frac {729}{100}+16+\frac {81}{100}} =\sqrt {\frac {2410}{100}}=\frac {\sqrt {2410}}{10}\approx 4.91 \end{align*}
3 Afstand tussen een punt A en een vlak \(\alpha \)
Definitie
Gegeven een punt \(A\) en een vlak \(\alpha \leftrightarrow ux+vy+wz+t=0\). Construeer de rechte \(\ell \) met \(\ell \bot \alpha \) en \(A\in \ell \), en noem \(\{P\}=\ell \cap \alpha \).
\(d(A,\alpha )=d(A,P)\)
Opstelling formule
We vertrekken van een gegeven punt \(A(x_1,y_1,z_1)\) en vlak \(\alpha \leftrightarrow
ux+vy+wz+t=0\).
Een normaalvector van \(\alpha \) is dan \(\overrightarrow {N}(u,v,w)\).
Het voetpunt (=snijpunt) van de loodlijn uit \(A\) op \(\alpha \) stellen we voor door \(P(x_2,y_2,z_2)\).
We berekenen nu het inproduct van \(\overrightarrow {ON}\) met \(\overrightarrow {OA}\) en zullen
hieruit de formule voor de afstand tussen een punt en een vlak afleiden.
\begin{alignat*} {3} \phantom {\Leftrightarrow }\qquad && \overrightarrow {ON}\cdot \overrightarrow {OA} &= \overrightarrow {ON}\cdot (\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {PA}) &&\text {\small (Chasles-Môbius)}\\ \Leftrightarrow \qquad && \overrightarrow {ON}\cdot \overrightarrow {OA} &=\overrightarrow {ON}\cdot \overrightarrow {OP}+\overrightarrow {ON}\cdot \overrightarrow {PA} && \text {\small (distributiviteit)}\\ \Leftrightarrow \qquad && \overrightarrow {N} \cdot \overrightarrow {A} &= \overrightarrow {N} \cdot \overrightarrow {P}+\overrightarrow {N}\cdot \overrightarrow {PA}\\ \Leftrightarrow \qquad && ux_1+vy_1+wz_1 &= ux_2+vy_2+wz_2+||\overrightarrow {N}|| \cdot ||\overrightarrow {PA}|| \cdot \cos 0\degree \qquad && \text {\small (of $\cos 180\degree $)}\\\Leftrightarrow \qquad && ux_1+vy_1+wz_1 &= -t \pm ||\overrightarrow {N}||\cdot d(A,P) && \text {(want $P\in \alpha $)}\\ \Leftrightarrow \qquad && ux_1+vy_1+wz_1 &= -t \pm \sqrt {u^2+v^2+w^2} \cdot d(A,P)\\ \Leftrightarrow \qquad && ux_1+vy_1+wz_1 &= -t \pm \sqrt {u^2+v^2+w^2}\cdot d(A,\alpha )\\ \end{alignat*}
Waaruit we kunnen besluiten:
\(d(A,\alpha )=\frac {|ux_1+vy_1+wz_1+t|}{\sqrt {u^2+v^2+w^2}}\)
Voorbeeld
Bereken de afstand tussen het punt \(A(2,3,-1)\) en het vlak \(\alpha \leftrightarrow
4x-4y+2z-3=0\).
\begin{align*} d(A,\alpha ) &=\frac {|4\cdot 2-4\cdot 3+2\cdot (-1)-3|}{\sqrt {4^2+(-4)^2+2^2}} =\frac {|-9|}{\sqrt {36}}=\frac {9}{6}=\frac {3}{2} \end{align*}
4 Oefeningen
Zie handboek Van Basis tot Limiet, Ruimtemeetkunde: nrs. 1, 11, 8 en 10 p. 174-176.
Extra oefening nr. 22 p. 149.
Oefening 5
Gegeven zijn de rechte \(a\leftrightarrow x+6=y+1=z\) en de punten \(A(5,3,6)\) en \(B(-3,-1,-2)\). Bepaal het punt \(P\) van \(a\) dat even ver van \(A\) als van \(B\) ligt.
Eerste methode. Stel \(x+6=y+1=z=k\), dan is \(P(k-6,k-1,k)\) een willekeurig punt van \(a\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)
\begin{align*}
d(P,A)=d(P,B) &\Leftrightarrow d(P,A)^2=d(P,B)^2\\ &\Leftrightarrow (k-11)^2+(k-4)^2+(k-6)^2=(k-3)^2+k^2+(k+2)^2\\ &\Leftrightarrow 3k^2-42k+173=3k^2-2k+13\\ &\Leftrightarrow
-40k=-160 \Leftrightarrow k=4
\end{align*}
Dus \(P(-2,3,4)\).
Tweede methode. \(d(P,A)=d(P,B)\) betekent dat \(P\) op het middelloodvlak \(\mu \) van \([AB]\) ligt. Een normaalvector van \(\mu \) is \(\overrightarrow {AB}=(-8,-4,-8)\sim (2,1,2)\) en het midden van
\([AB]\) is \(M(1,1,2)\), zodat
\[\mu \leftrightarrow 2x+y+2z+t=0,\qquad M\in \mu \Leftrightarrow 2+1+4+t=0 \Leftrightarrow t=-7\]
\[\mu \leftrightarrow 2x+y+2z-7=0\]
Het snijpunt van \(\mu \) met \(a\) geeft opnieuw \(P(-2,3,4)\).
V Hoeken
1 Hoek tussen twee rechten
Opstelling formule
Beschouw twee rechten \(e\) met richtingsvector \(\overrightarrow {R}\) en \(f\) met richtingsvector
\(\overrightarrow {S}\). Uit de definitie van het inproduct van de richtingsvectoren leiden we de formule af voor de hoek tussen beide rechten.
We schuiven beide rechten evenwijdig naar de oorsprong. De hoek tussen \(e\) en \(f\) is dan de hoek tussen \(e_O\) en \(f_O\). Twee snijdende rechten bepalen telkens twee supplementaire hoeken; we spreken steeds af de niet-stompe hoek te nemen. Daarom is \(\cos (\widehat {e\,f})\ge 0\) en zetten we absolute waardestrepen rond de teller.
\begin{align*} \overrightarrow {R} \cdot \overrightarrow {S}&=||\overrightarrow {R}|| \cdot ||\overrightarrow {S}|| \cdot \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \qquad \cos \alpha &=\frac {\overrightarrow {R}\cdot \overrightarrow {S}}{||\overrightarrow {R}|| \cdot ||\overrightarrow {S}||}\\ \Leftrightarrow \qquad \cos \alpha &=\frac {|a_1 \cdot a_2+b_1 \cdot b_2+c_1 \cdot c_2|}{\sqrt {a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot \sqrt {a_2^2+b_2^2+c_2^2}} &&\text {\small (inproduct en norm)}\\ \end{align*} Besluit
\(\cos (\widehat {e\,f})=\frac {|a_1 \cdot a_2+b_1 \cdot b_2+c_1 \cdot c_2|}{\sqrt {a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot \sqrt {a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
Voorbeeld
Bepaal de hoek tussen de rechte \(e\) met richtingsvector \(\overrightarrow {R}(3,-6,2)\) en de rechte
\(f\) met richtingsvector \(\overrightarrow {S}(8,4,1)\).
\begin{align*} \cos (\widehat {e\,f}) &=\frac {|3\cdot 8+(-6)\cdot 4+2\cdot 1|} {\sqrt {9+36+4}\cdot \sqrt {64+16+1}} =\frac {|24-24+2|}{7\cdot 9}=\frac {2}{63}\\ \Rightarrow \quad \widehat {e\,f}&=88\degree 10'51'' \end{align*} Bereken \(\cos ^{-1}\left (\frac {2}{63}\right )\) met het rekentoestel in de mode DEGREE en zet het antwoord om met ANGLE 4:DMS.
2 Hoek tussen twee snijdende vlakken
Definitie
De hoek tussen twee snijdende vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) met snijlijn \(d\) is de hoek gevormd
door twee loodlijnen op \(d\) door een punt \(S\) van \(d\), respectievelijk in \(\alpha \) en \(\beta \) gelegen.
\[\widehat {\alpha \,\beta }=\widehat {\ell _1\,\ell _2} \qquad \text {met } S\in d,\quad \ell _1\subset \alpha ,\ \ell _1\bot d, \quad \ell _2\subset \beta ,\ \ell _2\bot d\]
Die hoek hangt niet af van de keuze van \(S\) op \(d\).
Eigenschap
De hoek tussen twee vlakken is de hoek tussen twee (willekeurige) loodlijnen op de respectievelijke
vlakken.
Voor een verduidelijking van deze eigenschap verwijzen we naar het handboek VBTL Ruimtemeetkunde, p. 137, de 2 figuren onderaan deze pagina.
Kies een willekeurig punt \(P\) en trek \(m_1\bot \alpha \) en \(m_2\bot \beta \) door \(P\). De hoek tussen \(m_1\) en \(m_2\) is dan gelijk aan \(\widehat {\alpha \,\beta }\). Deze eigenschap is nuttig omdat we van een vlak meteen een normaalvector uit de cartesische vergelijking kunnen aflezen.
Gevolg
We kunnen de hoek tussen twee snijdende vlakken \(\alpha \leftrightarrow u_1x+v_1y+w_1z+t_1=0\) en \(\beta \leftrightarrow u_2x+v_2y+w_2z+t_2=0\) dus berekenen door de hoek te berekenen tussen hun respectievelijke normaalvectoren:
\(\cos (\widehat {\alpha \,\beta })=\frac {|u_1 \cdot u_2+v_1 \cdot v_2+w_1 \cdot w_2|}{\sqrt {u_1^2+v_1^2+w_1^2}\cdot \sqrt {u_2^2+v_2^2+w_2^2}}\)
Voorbeeld
Bepaal de hoek tussen de vlakken \(\alpha \leftrightarrow x+4y+z-4=0\) en \(\beta \leftrightarrow
2x+2y-z+3=0\).
\begin{align*} \cos (\widehat {\alpha \,\beta }) &=\frac {|1\cdot 2+4\cdot 2+1\cdot (-1)|} {\sqrt {1+16+1}\cdot \sqrt {4+4+1}} =\frac {9}{3\sqrt {2}\cdot 3}=\frac {1}{\sqrt 2}=\frac {\sqrt 2}{2}\\ \Rightarrow \quad \widehat {\alpha \,\beta }&=45\degree \end{align*}
3 Hoek tussen een rechte en een vlak
Definitie
Als een rechte \(e\) een vlak \(\alpha \) snijdt en er niet loodrecht op staat, dan is de hoek tussen \(e\)
en \(\alpha \) gelijk aan de hoek tussen de rechte \(e\) en haar loodrechte projectie \(e'\) op \(\alpha \).
Noem \(\{S\}=e\cap \alpha \) en \(A'\) de loodrechte projectie van een punt \(A\) van \(e\) op \(\alpha \). De rechte \(e'=SA'\) is dan de loodrechte projectie van \(e\) op \(\alpha \) en
\[\widehat {e\,\alpha }=\widehat {e\,e'}\]
Is \(m\) de loodlijn op \(\alpha \) door \(A\), dan is \(\widehat {e\,m}\) het complement van \(\widehat {e\,\alpha }\).
Gevolg
We kunnen dus stellen dat de hoek tussen
-
• een rechte \(e\) met stel richtingsgetallen \((a,b,c)\)
-
• en een vlak \(\alpha \leftrightarrow ux+vy+wz+t=0\)
gelijk is aan het complement van de hoek tussen de rechte \(e\) en een willekeurig loodlijn \(m\) op \(\alpha
\). Een richtingsvector van deze loodlijn \(m\) wordt gegeven door de normaalvector \(\overrightarrow {N}(u,v,w)\) van \(\alpha \).
Besluit
\(\widehat {e\,\alpha }=90\degree - \widehat {e\,m}\)
met
\(\cos (\widehat {e\,m})=\frac {|a \cdot u+b \cdot v+c \cdot w|}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt {u^2+v^2+w^2}}\)
Je kan de hoek ook in één stap berekenen met
\[\sin (\widehat {e\,\alpha })=\frac {|a\cdot u+b\cdot v+c\cdot w|} {\sqrt {a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt {u^2+v^2+w^2}}\]
maar controleer dan wel dat je de scherpe hoek overhoudt.
Voorbeeld
Bepaal de hoek tussen de rechte \(e\leftrightarrow \frac {x}{2}=\frac {y+6}{3}=2-z\) en het vlak
\(\alpha \leftrightarrow x+4y+z-4=0\).
Een stel richtingsgetallen van \(e\) is \((a,b,c)=(2,3,-1)\), een normaalvector van \(\alpha \) is \(\overrightarrow {N}(1,4,1)\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \cos (\widehat {e\,m}) &=\frac {|2\cdot 1+3\cdot 4+(-1)\cdot 1|} {\sqrt {4+9+1}\cdot \sqrt {1+16+1}} =\frac {13}{\sqrt {14}\cdot 3\sqrt {2}}=\frac {13}{6\sqrt {7}}\\ \Rightarrow \quad \widehat {e\,m}&=35\degree 1'22''\\ \Rightarrow \quad \widehat {e\,\alpha }&=90\degree -35\degree 1'22''=54\degree 58'38'' \end{align*}
4 Oefeningen
Zie handboek Van Basis tot Limiet, Ruimtemeetkunde: nr. 23 p. 149.
Oefening 6
Bepaal telkens de gevraagde hoek. Van elke rechte is een richtingsvector gegeven, van elk vlak een normaalvector.
-
(a) De hoek tussen de rechten \(a\) en \(b\) met \(\overrightarrow {R_a}(6,6,-7)\) en \(\overrightarrow {S_b}(-2,1,-2)\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \cos (\widehat {a\,b}) &=\frac {|-12+6+14|}{\sqrt {36+36+49}\cdot \sqrt {4+1+4}} =\frac {8}{11\cdot 3}=\frac {8}{33}\\ \Rightarrow \quad \widehat {a\,b}&=75\degree 58'13'' \end{align*}
-
(b) De hoek tussen de vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) met \(\overrightarrow {N}(0,1,1)\) en \(\overrightarrow {L}(1,1,0)\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \cos (\widehat {\alpha \,\beta }) &=\frac {|0+1+0|}{\sqrt {0+1+1}\cdot \sqrt {1+1+0}}=\frac {1}{2}\\ \Rightarrow \quad \widehat {\alpha \,\beta }&=60\degree \end{align*}
-
(c) De hoek tussen de rechte \(a\) met \(\overrightarrow {R_a}(2,0,0)\) en het \(yz\)-vlak.
Het \(yz\)-vlak heeft vergelijking \(x=0\) en dus normaalvector \(\overrightarrow {N}(1,0,0)\). Omdat \((2,0,0)=2\cdot (1,0,0)\) is \(a\bot \alpha \), waaruit \(\widehat {a\,\alpha }=90\degree \).
-
(d) De hoek tussen de rechte \(a\) met \(\overrightarrow {R_a}(0,1,1)\) en het vlak \(\alpha \) met \(\overrightarrow {N}(1,2,1)\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \cos (\widehat {a\,m}) &=\frac {|0+2+1|}{\sqrt {0+1+1}\cdot \sqrt {1+4+1}} =\frac {3}{\sqrt {12}}=\frac {\sqrt 3}{2}\\ \Rightarrow \quad \widehat {a\,m}&=30\degree \\ \Rightarrow \quad \widehat {a\,\alpha }&=90\degree -30\degree =60\degree \end{align*}
VI Boloppervlak
1 Definitie
Een boloppervlak is de verzameling van alle punten van de gepunte ruimte die op een gegeven afstand
\(r\) (de straal) van een gegeven punt \(M\) (het middelpunt) gelegen zijn.
\[\text {Boloppervlak}=B(M;r)=\{P\in \Sigma _O|d(M,P)=r\}\]
\(M(x_M,y_M,z_M)\) is het middelpunt, \(r\) de straal en \(P(x,y,z)\) een willekeurig punt van het boloppervlak.
2 Opstellen vergelijking
Stel \(P\) een willekeurig punt met coördinaat \(P(x,y,z)\) en \(M\) het middelpunt van het
boloppervlak met \(M(x_M,y_M,z_M)\). Dan vinden we
\begin{align*} P\in B(M;r) &\Leftrightarrow d(M,P)=r\\ &\Leftrightarrow \sqrt {(x-x_M)^2+(y-y_M)^2+(z-z_M)^2}=r && \text {\small (Afstand tss twee punten)}\\ &\Leftrightarrow (x-x_M)^2+(y-y_M)^2+(z-z_M)^2=r^2 && \text {\small (Controleer BV en KV)} \end{align*}
Besluit:
\(B(M;r)\leftrightarrow (x-x_M)^2+(y-y_M)^2+(z-z_M)^2=r^2\)
3 Bijzonder geval
Het boloppervlak met de oorsprong als middelpunt heeft vergelijking:
\(B(O;r)\leftrightarrow x^2+y^2+z^2=r^2\)
4 Voorbeeld
Stel de vergelijking op van het boloppervlak met middelpunt \(M(2,3,-5)\) en straal \(r=4\).
\begin{align*} B(M;r) &\leftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2+(z+5)^2=4^2\\ &\leftrightarrow x^2-4x+y^2-6y+z^2+10z+22=0 \end{align*} De tweede gedaante heet de uitgewerkte vergelijking; ze bevat \(x^2\), \(y^2\) en \(z^2\) met dezelfde coëfficiënt.
5 Oefeningen
Zie handboek Van Basis tot Limiet, Ruimtemeetkunde: nrs. 17 en 21 p. 177.
Extra oefeningen nrs. 18, 19 en 20 p. 177.
Oefening 7
Stel telkens de vergelijking op van het boloppervlak \(\mathcal {B}\).
-
(a) met middelpunt \(M(1,2,-1)\) en straal \(r=\sqrt 3\).
\[\mathcal {B}\leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=3 \Leftrightarrow x^2-2x+y^2-4y+z^2+2z+3=0\]
-
(b) met middelpunt \(M(1,0,-1)\) en gaand door \(P(3,4,3)\).
\[r=|MP|=\sqrt {(3-1)^2+(4-0)^2+(3+1)^2}=\sqrt {4+16+16}=6\]
\[\mathcal {B}\leftrightarrow (x-1)^2+y^2+(z+1)^2=36 \Leftrightarrow x^2-2x+y^2+z^2+2z-34=0\]
-
(c) met middellijn \([AB]\), waarbij \(A(2,-1,4)\) en \(B(-4,-3,1)\).
\[r=\tfrac 12|AB|=\tfrac 12\sqrt {(-4-2)^2+(-3+1)^2+(1-4)^2} =\tfrac 12\sqrt {36+4+9}=\frac {7}{2}\]
\[M=\frac {A+B}{2}=\left (\frac {2-4}{2},\frac {-1-3}{2},\frac {4+1}{2}\right ) =\left (-1,-2,\frac 52\right )\]
\[\mathcal {B}\leftrightarrow (x+1)^2+(y+2)^2+\left (z-\frac 52\right )^2=\frac {49}{4} \Leftrightarrow x^2+2x+y^2+4y+z^2-5z-1=0\]
-
(d) met middelpunt \(M(-2,3,4)\) en met het \(xy\)-vlak als raakvlak.
Het \(xy\)-vlak heeft vergelijking \(z=0\), dus
\[r=d(M,\mathrm {vl}(xy))=\frac {|0+0+1\cdot 4+0|}{\sqrt {0+0+1}}=4\]
\[\mathcal {B}\leftrightarrow (x+2)^2+(y-3)^2+(z-4)^2=16 \Leftrightarrow x^2+4x+y^2-6y+z^2-8z+13=0\]
-
(e) met middelpunt op de \(x\)-as, straal \(6\) en gaand door \(P(1,4,2)\).
Uit \(M\in x\text {-as}\) volgt \(M(x_M,0,0)\).
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} P\in \mathcal {B} &\Leftrightarrow |PM|=6\\ &\Leftrightarrow \sqrt {(x_M-1)^2+16+4}=6\\ &\Leftrightarrow (x_M-1)^2+20=36 && \text {\small (BV en KV zijn voldaan)}\\ &\Leftrightarrow x_M^2-2x_M-15=0\\ &\Leftrightarrow x_M=5 \ \vee \ x_M=-3 \end{align*} We vinden twee bollen:
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \mathcal {B}_1&\leftrightarrow (x-5)^2+y^2+z^2=36 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-10x-11=0\\ \mathcal {B}_2&\leftrightarrow (x+3)^2+y^2+z^2=36 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+6x-27=0 \end{align*}
-
(f) gaand door \(A(1,1,1)\), \(B(2,3,0)\), \(C(2,0,-3)\) en \(D(4,-4,-1)\).
Stel \(\mathcal {B}\leftrightarrow (x-x_M)^2+(y-y_M)^2+(z-z_M)^2=r^2\). Invullen van de vier punten geeft vier vergelijkingen. Trek telkens de eerste van de overige af, dan vallen \(x_M^2\), \(y_M^2\), \(z_M^2\) en \(r^2\) weg:
\[\begin {cases} -2x_M-4y_M+2z_M=-10\\ -2x_M+2y_M+8z_M=-10\\ -6x_M+10y_M+4z_M=-30 \end {cases}\]
Los dit stelsel op met RREF op het grafisch rekentoestel: \(x_M=5\), \(y_M=0\), \(z_M=0\) en dus \(r^2=(1-5)^2+1+1=18\).
\[\mathcal {B}\leftrightarrow (x-5)^2+y^2+z^2=18 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-10x+7=0\]
Oefening 8
Onderzoek of de volgende vergelijkingen een boloppervlak voorstellen. Bepaal in dat geval het middelpunt en de straal.
-
(a) \(x^2+y^2+z^2-6z=0\)
\[(x-0)^2+(y-0)^2+\underbrace {z^2-2\cdot 3z+9}_{(z-3)^2}-9=0 \Leftrightarrow x^2+y^2+(z-3)^2=9\]
Een bol met \(M(0,0,3)\) en \(r=3\).
-
(b) \(x^2+y^2+z^2+6x-2y+4z+14=0\)
\[(x+3)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=-14+9+1+4=0\]
Hier is \(r=0\): het boloppervlak valt samen met één punt, \(B=\{M\}\) met \(M(-3,1,-2)\).
-
(c) \(2x^2+2y^2+2z^2-2x+4y-6z-2=0\)
Deel eerst door \(2\):
\[x^2+y^2+z^2-x+2y-3z-1=0\]
\[\left (x-\frac 12\right )^2+(y+1)^2+\left (z-\frac 32\right )^2 =1+\frac 14+1+\frac 94=\frac 92\]
Een bol met \(M\left (\frac 12,-1,\frac 32\right )\) en \(r=\frac {3}{\sqrt 2}=\frac {3\sqrt 2}{2}\).
-
(d) \(x^2+y^2+4x-2y+4=0\)
Er komt geen \(z^2\) in voor, dus dit is geen boloppervlak.
-
(e) \(x^2+y^2+z^2+x+y+z+1=0\)
\[\left (x+\frac 12\right )^2+\left (y+\frac 12\right )^2+\left (z+\frac 12\right )^2 =-1+\frac 34=-\frac 14<0\]
Er is geen enkel punt dat hieraan voldoet: geen boloppervlak.
Oefening 9
Bepaal de vergelijking van het boloppervlak door \(A(1,1,0)\), \(B(3,1,-2)\) en \(C(-3,3,-4)\) waarvan het middelpunt in het vlak \(\alpha \leftrightarrow 3x-y-z+3=0\) ligt.
Stel \(\mathcal {B}\leftrightarrow (x-x_M)^2+(y-y_M)^2+(z-z_M)^2=r^2\). Omdat \(A\), \(B\) en \(C\) op \(\mathcal {B}\) liggen en \(M\) in \(\alpha \), krijgen we een stelsel van vier vergelijkingen. Trek de vergelijking voor \(A\) af van die voor \(B\) en van die voor \(C\), dan blijven er lineaire vergelijkingen over:
\[\begin {cases} x_M-z_M=3\\ 2x_M-y_M+2z_M=-8\\ 3x_M-y_M-z_M=-3 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x_M=2\\ y_M=10\\ z_M=-1 \end {cases}\]
Daarmee is \(r^2=(1-2)^2+(1-10)^2+(0+1)^2=1+81+1=83\) en
\[\mathcal {B}\leftrightarrow (x-2)^2+(y-10)^2+(z+1)^2=83\]
Controle: \(3\cdot 2-10-(-1)+3=0\), dus \(M\in \alpha \).