Hoofdstuk 5Oppervlakte en inhoud van ruimtelichamen
Leerplandoelstellingen (GO! Navigator)
Basisvorming (BV3_06)
-
• BV3_06.20 (MD 06.20) De leerlingen lossen vraagstukken en problemen op door te mathematiseren en demathematiseren en door gebruik te maken van heuristieken.
Didactische uitwerking: Oppervlakte en inhoud van ruimtelichamen is geen leerplandoel van de derde graad: dit hoofdstuk herhaalt en verdiept de tweede graad. De vraagstukken mathematiseren een ruimtelijke situatie.
I Veelvlakken
1 Definitie
Een veelvlak is een ruimtefiguur die uitsluitend begrensd is door vlakke veelhoeken.
Een \(n\)-vlak heeft \(n\) zijvlakken.
- zijvlakken
-
de begrenzende veelhoeken.
- ribben
-
de zijden van de zijvlakken.
- hoekpunten
-
de hoekpunten van de zijvlakken.
2 Regelmatige veelvlakken
Een veelvlak is regelmatig wanneer alle zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn en in elk hoekpunt evenveel ribben samenkomen. Er zijn er precies vijf.
| veelvlak | zijvlak | \(z\) | \(r\) | \(h\) |
| viervlak (tetraëder) | gelijkzijdige driehoek | 4 | 6 | 4 |
| kubus (hexaëder) | vierkant | 6 | 12 | 8 |
| achtvlak (octaëder) | gelijkzijdige driehoek | 8 | 12 | 6 |
| twaalfvlak (dodecaëder) | regelmatige vijfhoek | 12 | 30 | 20 |
| twintigvlak (icosaëder) | gelijkzijdige driehoek | 20 | 30 | 12 |
Hierin is \(z\) het aantal zijvlakken, \(r\) het aantal ribben en \(h\) het aantal hoekpunten. In elke rij geldt de formule van Euler:
\(h-r+z=2\)
3 Prisma
Een prisma ontstaat door een veelhoek evenwijdig te verschuiven: het grond- en het bovenvlak zijn congruente veelhoeken, de zijvlakken zijn parallellogrammen. Bij een recht prisma staan de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak en zijn de zijvlakken rechthoeken.
Met \(G\) de oppervlakte van het grondvlak, \(p\) de omtrek van het grondvlak en \(h\) de hoogte:
\(M=p\cdot h\) \(S=M+2G\) \(I=G\cdot h\)
Bijzondere gevallen zijn de balk met ribben \(l\), \(b\) en \(h\), en de kubus met ribbe \(z\):
\(S_{\text {balk}}=2(lb+lh+bh)\), \(I_{\text {balk}}=l\cdot b\cdot h\), \(S_{\text {kubus}}=6z^2\), \(I_{\text {kubus}}=z^3\).
4 Piramide
Een piramide met top \(T\) ontstaat door elk punt van een veelhoek met \(T\) te verbinden. Bij een regelmatige piramide is het grondvlak een regelmatige veelhoek en valt de voetpunt \(M\) van de hoogte samen met het middelpunt ervan. De hoogte van een opstaand zijvlak heet het apothema \(a\) van de piramide.
\(M=\dfrac {p\cdot a}{2}\) \(S=M+G\) \(I=\dfrac {1}{3}\,G\cdot h\)
De formule voor het manteloppervlak geldt enkel voor een regelmatige piramide; in het algemeen tel je de oppervlakten van de driehoekige zijvlakken op.
II Omwentelingslichamen
1 Definitie
Een omwentelingslichaam is een ruimtefiguur met oneindig veel symmetrievlakken,
die alle gaan door één rechte: de as van het ruimtelichaam.
Zo’n lichaam ontstaat door een vlakke figuur om die as te wentelen.
2 Cilinder
Een cilinder ontstaat door een rechthoek om een van haar zijden te laten wentelen. Grond- en bovenvlak zijn congruente cirkels met straal \(r\); de afstand ertussen is de hoogte \(h\).
\(M=2\pi r h\) \(S=2\pi r^2+2\pi r h\) \(I=\pi r^2 h\)
Het manteloppervlak vouw je open tot een rechthoek met afmetingen \(2\pi r\) en \(h\); daaruit volgt \(M=2\pi r h\).
3 Kegel
Een kegel ontstaat door een rechthoekige driehoek om een rechthoekszijde te laten wentelen. De schuine zijde beschrijft het manteloppervlak en heet de beschrijvende of het apothema \(a\).
\(M=\pi r a\) \(S=\pi r^2+\pi r a\) \(I=\dfrac {1}{3}\pi r^2 h\)
Tussen \(r\), \(h\) en \(a\) geldt de stelling van Pythagoras: \(a^2=r^2+h^2\).
4 Kegelstomp
Snijd je een kegel door met een vlak evenwijdig met het grondvlak, dan blijft onderaan een kegelstomp over met stralen \(r_1\) en \(r_2\), hoogte \(h\) en apothema \(a\).
\(M=\pi (r_1+r_2)a\) \(S=M+\pi r_1^2+\pi r_2^2\)
\(I=\dfrac {1}{3}\pi h\left (r_1^2+r_2^2+r_1r_2\right )\)
5 Bol
Een boloppervlak ontstaat door een cirkel om een middellijn te laten wentelen; de bol is het boloppervlak samen met het gebied binnenin.
\(S=4\pi r^2\) \(I=\dfrac {4}{3}\pi r^3\)
6 Overzicht
Te kennen: de oppervlakte en de inhoud van kubus, balk, prisma en piramide, en van cilinder, kegel en bol.
| lichaam | totale oppervlakte \(S\) | inhoud \(I\) |
| kubus | \(6z^2\) | \(z^3\) |
| balk | \(2(lb+lh+bh)\) | \(lbh\) |
| prisma | \(p\cdot h+2G\) | \(G\cdot h\) |
| piramide | \(\dfrac {p\cdot a}{2}+G\) | \(\dfrac {1}{3}G\cdot h\) |
| cilinder | \(2\pi r^2+2\pi r h\) | \(\pi r^2 h\) |
| kegel | \(\pi r^2+\pi r a\) | \(\dfrac {1}{3}\pi r^2 h\) |
| kegelstomp | \(\pi (r_1+r_2)a+\pi r_1^2+\pi r_2^2\) | \(\dfrac {1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)\) |
| bol | \(4\pi r^2\) | \(\dfrac {4}{3}\pi r^3\) |
III Oefeningen
Oefening 1
Op een kubus met ribbe \(6\) staat een regelmatige vierzijdige piramide. Elk opstaand zijvlak van de piramide maakt een hoek van \(45\degree \) met het bovenvlak van de kubus.
-
(a) Bereken de hoogte \(h\) van de piramide.
Noem \(M\) het middelpunt van het bovenvlak, \(N\) het midden van een ribbe van dat bovenvlak en \(T\) de top. Dan is \(\widehat {MNT}\) juist de hoek tussen een opstaand zijvlak en het bovenvlak, dus \(\widehat {MNT}=45\degree \).
Driehoek \(MNT\) is rechthoekig in \(M\), dus is ook \(\widehat {NTM}=45\degree \): de driehoek is gelijkbenig. Bijgevolg is
\[h=|MT|=|MN|=\frac {6}{2}=3.\]
-
(b) Bereken de verhouding van de inhoud van de piramide tot de inhoud van de kubus.
\[\frac {I_p}{I_k}=\frac {\frac 13\cdot 6^2\cdot h}{6^3} =\frac {h}{18}=\frac {3}{18}=\frac 16\]
Oefening 2
Bereken de inhoud van de bol die ingeschreven is in een kubus met ribbe \(6\ \text {cm}\).
De bol raakt de zes zijvlakken, dus is de middellijn gelijk aan de ribbe:
\[2r=6\ \Rightarrow \ r=3.\]
\[I_{\text {bol}}=\frac 43\pi r^3=\frac 43\pi \cdot 3^3=36\pi \ \text {cm}^3\]
Oefening 3
Stelling van Archimedes. Een bol met straal \(r\) heeft een omgeschreven cilinder: de cilinder raakt de bol volgens de evenaar en volgens grond- en bovenvlak.
Bewijs dat de bol en de cilinder dezelfde verhouding vertonen voor hun oppervlakte en voor hun inhoud, namelijk \(\dfrac 23\).
Uit de raking volgt \(r_{\text {cil}}=r\) en \(h_{\text {cil}}=2r\).
Oppervlakte.
\[\frac {S_{\text {bol}}}{S_{\text {cil}}} =\frac {4\pi r^2}{2\pi r^2+2\pi r\cdot 2r} =\frac {4\pi r^2}{2\pi r^2+4\pi r^2} =\frac {4\pi r^2}{6\pi r^2}=\frac 23\]
Inhoud.
\[\frac {I_{\text {bol}}}{I_{\text {cil}}} =\frac {\frac 43\pi r^3}{\pi r^2\cdot 2r} =\frac {\frac 43\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac {4}{3}\cdot \frac 12=\frac 23\]
Oefening 4
De middelpunten van de zes zijvlakken van een kubus met ribbe \(2\) zijn de hoekpunten van een regelmatig achtvlak.
-
(a) Toon aan dat vier van die middelpunten telkens een vierkant vormen, en geef de drie vierkanten.
Leg de oorsprong in het middelpunt van de kubus. De zes middelpunten zijn dan \((\pm 1,0,0)\), \((0,\pm 1,0)\) en \((0,0,\pm 1)\).
De vier punten \((\pm 1,0,0)\) en \((0,0,\pm 1)\) liggen alle in het vlak \(y=0\). Ze liggen op afstand \(1\) van de oorsprong en hun verbindingslijnen \([(-1,0,0),(1,0,0)]\) en \([(0,0,-1),(0,0,1)]\) staan loodrecht op elkaar en snijden elkaar middendoor. Een vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn, loodrecht op elkaar staan en elkaar middendoor snijden, is een vierkant.
Op dezelfde manier vind je drie vierkanten: dat van de middelpunten van de vier opstaande zijvlakken, dat van boven-, onder-, voor- en achtervlak, en dat van boven-, onder-, linker- en rechterzijvlak.
-
(b) Bereken de oppervlakte van het achtvlak.
Noem \(z\) de ribbe van het achtvlak. Neem twee naburige zijvlakken, bijvoorbeeld die met middelpunt \((1,0,0)\) en \((0,0,1)\). Het midden \((1,0,1)\) van hun gemeenschappelijke ribbe ligt op afstand \(1\) van elk van beide, en de twee verbindingen staan loodrecht op elkaar:
\[z^2=1^2+1^2=2\ \Rightarrow \ z=\sqrt 2.\]
Elk van de acht zijvlakken is een gelijkzijdige driehoek met zijde \(z\) en hoogte
\[h_\Delta =\sqrt {z^2-\left (\frac z2\right )^2}=\frac {\sqrt 3}{2}z,\]
zodat
\[S=8\cdot \frac {z\cdot h_\Delta }{2}=4z\cdot \frac {\sqrt 3}{2}z =2\sqrt 3\,z^2=2\sqrt 3\cdot 2=4\sqrt 3.\]
-
(c) Bewijs dat \(\dfrac {I_a}{I_k}=\dfrac 16\).
Het achtvlak bestaat uit twee piramides met als grondvlak het vierkant van de vier opstaande middelpunten en als hoogte de halve ribbe van de kubus, dus \(h_{\text {pir}}=1\). Dat vierkant heeft zijde \(z=\sqrt 2\) en dus oppervlakte \(2\). Bijgevolg
\[I_a=2\cdot \frac 13\cdot 2\cdot 1=\frac 43 \quad \text {en}\quad I_k=2^3=8,\]
zodat
\[\frac {I_a}{I_k}=\frac {4/3}{8}=\frac 16.\]
-
(d) Bewijs dat \(\dfrac {I_a}{I_{\text {bol}}}=\dfrac 1\pi \), waarbij de bol in de kubus ingeschreven is.
De ingeschreven bol heeft straal \(r=1\) (de halve ribbe), dus
\[I_{\text {bol}}=\frac 43\pi \cdot 1^3=\frac 43\pi \]
en met \(I_a=\dfrac 43\) uit (c):
\[\frac {I_a}{I_{\text {bol}}}=\frac {4/3}{\frac 43\pi }=\frac 1\pi .\]
Oefening 5
In een kegel met grondstraal \(r\), hoogte \(h\) en apothema \(a\) schrijven we een cilinder in: het grondvlak van de cilinder ligt in het grondvlak van de kegel en de bovenrand ligt op het manteloppervlak. Boven de cilinder blijft een kleinere kegel over, met straal \(r_1\), hoogte \(h_2\) en apothema \(a_1\).
-
(a) Bepaal \(r_1\) zodat het manteloppervlak van de cilinder gelijk is aan dat van de bovenste kegel.
Uit de gelijkvormigheid van de bovenste kegel met de volledige kegel:
\[\frac {a_1}{r_1}=\frac ar\ \Rightarrow \ a_1=a\cdot \frac {r_1}{r}, \qquad \frac {h_2}{r_1}=\frac hr\ \Rightarrow \ h_2=h\cdot \frac {r_1}{r},\]
zodat de hoogte van de cilinder
\[h_1=h-h_2=h-h\cdot \frac {r_1}{r}=h\cdot \frac {r-r_1}{r}\]
is. Verder is \(h=\sqrt {a^2-r^2}\). De voorwaarde wordt
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} 2\pi r_1h_1=\pi r_1a_1 &\Leftrightarrow 2h_1=a_1\\ &\Leftrightarrow 2h\cdot \frac {r-r_1}{r}=a\cdot \frac {r_1}{r}\\ &\Leftrightarrow 2hr-2hr_1=ar_1\\ &\Leftrightarrow (a+2h)\,r_1=2hr \end{align*}
\[\boxed {r_1=\frac {2hr}{a+2h}=\frac {2r\sqrt {a^2-r^2}}{a+2\sqrt {a^2-r^2}}}\]
-
(b) Bepaal \(r_1\) zodat de inhoud van de cilinder gelijk is aan die van de bovenste kegel.
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \pi r_1^2h_1=\frac 13\pi r_1^2h_2 &\Leftrightarrow h_1=\frac 13h_2\\ &\Leftrightarrow h\cdot \frac {r-r_1}{r}=\frac 13\cdot h\cdot \frac {r_1}{r}\\ &\Leftrightarrow r-r_1=\frac 13r_1 \Leftrightarrow r=\frac 43r_1 \end{align*}
\[\boxed {r_1=\frac 34r}\]
Deze waarde hangt niet af van de hoogte van de kegel.
Oefening 6
Van een kegelstomp \(K\) is de oppervlakte van het grondvlak vier keer de oppervlakte van het bovenvlak. In \(K\) is een bol \(B\) ingeschreven: hij raakt grond- en bovenvlak en het manteloppervlak.
Bewijs dat \(\dfrac {V_B}{V_K}=\dfrac 47\).
Noem \(r_1\) de straal van het grondvlak, \(r_2\) die van het bovenvlak en \(r_B\) die van de bol. Uit het gegeven volgt
\[\pi r_1^2=4\pi r_2^2\ \Leftrightarrow \ r_1^2=4r_2^2 \ \Leftrightarrow \ r_1=2r_2.\]
Omdat de bol grond- en bovenvlak raakt, is
\[h_K=2r_B.\]
We werken in het asvlak. Daarin is de doorsnede van \(K\) een gelijkbenig trapezium met een ingeschreven cirkel. De raaklijnstukken uit eenzelfde punt zijn even lang, dus is het apothema \(a=r_1+r_2\). Met Pythagoras:
\[a^2=h_K^2+(r_1-r_2)^2 \Leftrightarrow (r_1+r_2)^2=4r_B^2+(r_1-r_2)^2 \Leftrightarrow r_B^2=r_1r_2.\]
Met \(r_1=2r_2\) geeft dat \(r_B=r_2\sqrt 2\) en \(h_K=2\sqrt 2\,r_2\).
Nu volgt
\[V_B=\frac 43\pi r_B^3=\frac 43\pi \left (r_2\sqrt 2\right )^3 =\frac {8\sqrt 2}{3}\pi r_2^3\]
\[V_K=\frac 13\pi h_K\left (r_1^2+r_2^2+r_1r_2\right ) =\frac 13\pi \cdot 2\sqrt 2\,r_2\cdot \left (4r_2^2+r_2^2+2r_2^2\right ) =\frac {14\sqrt 2}{3}\pi r_2^3\]
\[\frac {V_B}{V_K}=\frac {8\sqrt 2}{14\sqrt 2}=\frac 47\]
Oefening 7
De piramide van Cheops en de glazen piramide van het Louvre zijn beide regelmatige vierzijdige piramides. Voor Cheops is \(|AB|=230.4\ \text {m}\) en \(|TM|=146.3\ \text {m}\); voor het Louvre is \(|AB|=34\ \text {m}\) en \(|TM|=21\ \text {m}\).
Hierin is \(M\) het middelpunt van het grondvlak en \(N\) het midden van de ribbe \([AB]\).
-
(a) Bereken voor beide de hellingshoek \(\alpha \) van een zijvlak met het grondvlak.
In de gelijkbenige driehoek \(ATB\) is \([TN]\) zowel zwaartelijn als hoogtelijn, dus \(TN\bot AB\). Ook \(MN\bot AB\), zodat \(\alpha =\widehat {TNM}\).
Driehoek \(TMN\) is rechthoekig in \(M\) en \(|MN|=\dfrac {|AB|}{2}\), dus
\[\tan \alpha =\frac {|TM|}{|MN|}.\]
Cheops: \(|MN|=115.2\) en \(\tan \alpha =\dfrac {146.3}{115.2}\), dus \(\alpha \approx 51\degree 46'56''\).
Louvre: \(|MN|=17\) en \(\tan \alpha =\dfrac {21}{17}\), dus \(\alpha \approx 51\degree 0'32''\).
-
(b) Bereken van beide de inhoud.
\[I=\frac 13\,|AB|^2\cdot |TM|\]
Cheops: \(I=\frac 13\cdot 230.4^2\cdot 146.3\approx 2\,588\,737.5\ \text {m}^3\).
Louvre: \(I=\frac 13\cdot 34^2\cdot 21=8092\ \text {m}^3\).
-
(c) Bereken van beide \(\dfrac {|TN|}{|NM|}\) en vergelijk met het gulden getal \(\varphi =\dfrac {1+\sqrt 5}{2}\approx 1.618\).
\[\frac {|TN|}{|NM|}=\frac {\sqrt {|NM|^2+|MT|^2}}{|NM|}\]
Cheops: \(\dfrac {\sqrt {115.2^2+146.3^2}}{115.2}\approx 1.6164\).
Louvre: \(\dfrac {\sqrt {17^2+21^2}}{17}\approx 1.5893\).
Cheops benadert \(\varphi \) dus het best.
Oefening 8
Op de uitslag hieronder zijn \(A\) en \(B\) twee hoekpunten van een regelmatig twintigvlak met ribbe \(1\). Bereken de lengte van de kortste weg over het oppervlak van \(A\) naar \(B\).
Snijd het twintigvlak open en vouw de zijvlakken tussen \(A\) en \(B\) in één vlak. Een weg over het oppervlak wordt daarbij een weg in het vlak, dus is de kortste weg het lijnstuk \([AB]\) van de uitslag.
Dat lijnstuk snijdt de middelste rij in het punt \(C\). In driehoek \(ACD\) is \(|AD|=1\), \(|DC|=\dfrac 12\) en \(\widehat {ADC}=120\degree \) (twee hoeken van \(60\degree \) naast elkaar). Met de cosinusregel:
\[|AC|^2=1^2+\left (\frac 12\right )^2-2\cdot 1\cdot \frac 12\cdot \cos 120\degree =\frac 54+\frac 12=\frac 74 \ \Rightarrow \ |AC|=\frac {\sqrt 7}{2}.\]
Wegens de symmetrie is \(|CB|=|AC|\), zodat
\[|AB|=2\cdot \frac {\sqrt 7}{2}=\sqrt 7\approx 2.65.\]
Oefening 9
Een halfbolvormige kom met straal \(R\) en een cilindervormige beker zonder deksel, ook met straal \(R\) en met hoogte \(R\), worden zowel vanbinnen als vanbuiten geverfd. Hoeveel keer zoveel verf heeft de beker nodig als de kom?
Kom: het halve boloppervlak telt tweemaal mee,
\[S_{\text {kom}}=2\cdot 2\pi R^2=4\pi R^2.\]
Beker: mantel en bodem tellen elk tweemaal mee, een deksel is er niet,
\[S_{\text {beker}}=2\left (2\pi R\cdot R+\pi R^2\right )=6\pi R^2.\]
\[k=\frac {S_{\text {beker}}}{S_{\text {kom}}}=\frac {6\pi R^2}{4\pi R^2} =\frac 32=1.5\]
Oefening 10
Gegeven een regelmatig viervlak met inhoud \(V_0\). De zwaartepunten van de vier zijvlakken zijn de hoekpunten van een kleiner viervlak met inhoud \(V_1\); de middens van de zes ribben zijn de hoekpunten van een achtvlak met inhoud \(V_2\).
Bereken \(\dfrac {V_2}{V_1}\).
Het kleine viervlak. Noem de hoekpunten \(A\), \(B\), \(C\) en \(D\). De zwaartepunten van de zijvlakken \(BCD\) en \(ACD\) zijn \(\frac {B+C+D}{3}\) en \(\frac {A+C+D}{3}\); hun verschil is \(\frac {B-A}{3}\). Elke ribbe van het kleine viervlak is dus evenwijdig met een ribbe van het grote en drie keer korter: het kleine viervlak is gelijkvormig met het grote, met factor \(\frac 13\):
\[V_1=\left (\frac 13\right )^3V_0=\frac {V_0}{27}.\]
Het achtvlak. Snijd van het viervlak in elk hoekpunt het viervlak weg dat door de middens van de drie ribben in dat hoekpunt bepaald wordt. Elk van die vier stukken is gelijkvormig met het geheel, met factor \(\frac 12\):
\[V_2=V_0-4\cdot \left (\frac 12\right )^3V_0=V_0-\frac {V_0}{2}=\frac {V_0}{2}.\]
\[\frac {V_2}{V_1}=\frac {V_0/2}{V_0/27}=\frac {27}{2}=13.5\]