Goniometrische formules

I Optellingsformules

1 Wij hopen …

Het volgende zou leuk zijn:

\begin{align*} \sin (\alpha +\beta ) &\ \xcancel {=}\ \sin \alpha +\sin \beta ,\\ \cos (\alpha +\beta ) &\ \xcancel {=}\ \cos \alpha +\cos \beta ,\\ \end{align*}

Laten we eens proberen:

\begin{align*} \sin (30^\circ +60^\circ ) &= \sin 90^\circ = 1,\\ \sin 30^\circ + \sin 60^\circ &= \tfrac 12 + \tfrac {\sqrt 3}{2} \ne 1. \end{align*} Jammer…Maar, we zullen zoeken en vinden…

2 Optellingsformules voor cosinus

Formule voor \(\cos (\alpha -\beta )\)

\[ \boxed {\;\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \;} \]

Bewijs (met inproduct op de eenheidscirkel).

\[ P=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),\qquad Q=(\cos \beta ,\sin \beta ). \]

Enerzijds:

\begin{align*} \vec {OP}\cdot \vec {OQ} &=\lVert \vec {OP}\rVert \,\lVert \vec {OQ}\rVert \cos (\alpha -\beta )\\ &=\cos (\alpha -\beta ). \end{align*} Anderzijds:

\[ \vec {OP}\cdot \vec {OQ} =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta . \]

Dus:

\[ \boxed {\cos (\alpha -\beta ) =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }. \]

Formule voor \(\cos (\alpha +\beta )\)

\[ \boxed {\;\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \;} \]

Bewijs.

\begin{align*} \cos (\alpha +\beta ) &= \cos \bigl (\alpha -(-\beta )\bigr ) \\ &= \cos \alpha \cos (-\beta )+\sin \alpha \sin (-\beta ) &&\text {(formule voor $\cos (\alpha -\beta )$)}\\ &= \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \cdot (-\sin \beta ) &&\text {(tegengestelde hoeken).}\\ &= \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{align*}

3 Optellingsformules voor sinus

Formule voor \(\sin (\alpha -\beta )\)

\[ \boxed {\,\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \,} \]

Bewijs.

\begin{align*} \sin (\alpha -\beta ) &=\cos \!\bigl (90^\circ -(\alpha -\beta )\bigr ) &&\text {(complementaire hoeken)}\\ &=\cos \!\bigl (90^\circ -\alpha +\beta \bigr )\\ &=\cos \!\bigl ((90^\circ -\alpha )+\beta \bigr )\\ &=\cos (90^\circ -\alpha )\cos \beta -\sin (90^\circ -\alpha )\sin \beta &&\text {(cos optelling)}\\ &=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta &&\text {(complementaire hoeken)}. \end{align*}

Formule voor \(\sin (\alpha +\beta )\)

\[ \boxed {\,\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \,} \]

Bewijs.

\begin{align*} \sin (\alpha +\beta ) &=\sin \!\bigl (\alpha -(-\beta )\bigr )\\ &=\sin \alpha \cos (-\beta )-\cos \alpha \sin (-\beta ) &&\text {(gebruik $\sin (\alpha -\beta )$)}\\ &=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta . &&\text {(tegengestelde hoeken)} \end{align*}

4 Optellingsformules voor tangens

Formule voor \(\tan (\alpha +\beta )\)

\[ \boxed {\,\tan (\alpha +\beta )=\dfrac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \,\tan \beta }\,} \]

Bewijs.

\begin{align*} \tan (\alpha +\beta ) &= \frac {\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )} && \text {(def.\ tan)}\\ &= \frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta } {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta } && \text {(opt.\ form.\ voor $\sin $ en $\cos $)}\\[0.3em] & \qquad \qquad \text {om $\tan \alpha $ en $\tan \beta $ te krijgen,}\\ & \qquad \qquad \text {delen we T en N door $\cos \alpha \cos \beta $}\\ &=\frac {\dfrac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta } +\dfrac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }} {\dfrac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta } -\dfrac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\\[0.3em] &= \frac {\dfrac {\sin \alpha \cancel {\cos \beta }}{\cos \alpha \cancel {\cos \beta }} +\dfrac {\cancel {\cos \alpha }\sin \beta }{\cancel {\cos \alpha }\cancel {\cos \beta }}} {\dfrac {\cancel {\cos \alpha }\cancel {\cos \beta }}{\cancel {\cos \alpha }\cancel {\cos \beta }} -\dfrac {\sin \alpha \sin \beta }{\cancel {\cos \alpha }\cancel {\cos \beta }}}\\ &= \frac {\tfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }+\tfrac {\sin \beta }{\cos \beta }} {1-\tfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \tfrac {\sin \beta }{\cos \beta }}\\ & = \frac {\tan \alpha +\tan \beta }{\,1-\tan \alpha \,\tan \beta \,} && \text {(def.\ tan).} \end{align*}

Formule voor \(\tan (\alpha -\beta )\)

\[ \boxed {\,\tan (\alpha -\beta )=\dfrac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \,\tan \beta }\,} \]

Bewijs.

\begin{align*} \tan (\alpha -\beta ) &= \tan \!\bigl (\alpha +(-\beta )\bigr )\\ &= \frac {\tan \alpha +\tan (-\beta )}{1-\tan \alpha \,\tan (-\beta )} && \text {(opt.\ form.\ tan)}\\ &= \frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \,\tan \beta } && \text {(tegeng.\ hoeken).} \end{align*}

Opmerking. De formules voor \(\tan (\alpha \pm \beta )\) zijn geldig als

\[ \cos \alpha \ne 0,\qquad \cos \beta \ne 0,\qquad 1\mp \tan \alpha \tan \beta \ne 0. \]

5 Overzicht

\[ \boxed { \begin {aligned} \sin (\alpha \pm \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,\\ \cos (\alpha \pm \beta ) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,\\ \tan (\alpha \pm \beta ) &= \dfrac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta },\\ \aside {\cot (\alpha \pm \beta )} &= \aside {\dfrac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }.} \end {aligned} } \]

6 Oefeningen

p138 nr 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

II Verdubbelingsformules

We zoeken de goniometrische getallen van \(2\alpha \) \((\sin 2\alpha ,\ \cos 2\alpha ,\ \tan 2\alpha )\) uitgaande van de goniometrische getallen van \(\alpha \) \((\sin \alpha ,\ \cos \alpha ,\ \tan \alpha )\).

Het zou leuk zijn, mocht bv.

\[ \cos 2\alpha \ \xcancel {=}\ 2\cdot \cos \alpha . \]

We gaan dit na a.d.h.v. een voorbeeld:

\begin{align*} \cos (2\cdot 30^\circ ) &= \cos 60^\circ = \tfrac 12,\\ 2\cdot \cos 30^\circ &= 2\cdot \tfrac {\sqrt 3}{2}=\sqrt 3 \ne \tfrac 12. \end{align*}

1 Formules

\[ \boxed { \begin {aligned} \sin 2\alpha &= 2\sin \alpha \cos \alpha ,\\ \cos 2\alpha &= \cos ^2\alpha -\sin ^2\alpha \\ &= 2\cos ^2\alpha -1\\ &= 1-2\sin ^2\alpha ,\\ \tan 2\alpha &= \dfrac {2\tan \alpha }{1-\tan ^2\alpha }. \end {aligned} } \]

2 Bewijs

\begin{align*} \text {(1) }\ \sin 2\alpha & = \sin (\alpha +\alpha ) & & \text {(opt.\ form.\ $\sin $)} \\ & = \sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha \\ & = 2\sin \alpha \cos \alpha . \\[0.4em] \text {(2) }\ \cos 2\alpha & = \cos (\alpha +\alpha ) & & \text {(opt.\ form.\ $\cos $)} \\ & = \cos ^2\alpha -\sin ^2\alpha \\ & = \cos ^2\alpha -(1-\cos ^2\alpha ) = 2\cos ^2\alpha -1 \\ & = (1-\sin ^2\alpha )-\sin ^2\alpha = 1-2\sin ^2\alpha . \\[0.4em] \text {(3) }\ \tan 2\alpha & = \tan (\alpha +\alpha ) & & \text {(opt.\ form.\ $\tan $)} \\ & = \frac {\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan \alpha \,\tan \alpha } \\ & = \frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^2\alpha }.\qquad \square \end{align*}

Opmerking. De formule voor \(\tan 2\alpha \) is geldig als

\[ \cos \alpha \ne 0,\qquad 1-\tan ^2\alpha \ne 0. \]

3 Toepassingen

Exacte berekeningen van goniometrische getallen

Gegeven: \(\sin \alpha =\tfrac {2}{3}\ \text { en }\ \alpha \in \mathrm {II}. \)

Gevraagd: \(\sin 2\alpha ,\ \cos 2\alpha ,\ \tan 2\alpha . \)

p139 nr9, 10, 12

Een bewijs leveren

Voorbeeld. Bewijs voor alle \(\alpha ,\beta \):

\[ \cos ^2(\alpha -\beta )-\cos ^2(\alpha +\beta )=\sin 2\alpha \cdot \sin 2\beta . \]

Bewijs.

\begin{align*} \cos ^2(\alpha -\beta )-\cos ^2(\alpha +\beta ) &=\bigl (\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )\bigr ) \bigl (\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )\bigr )\\ &=\bigl ((\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ) -(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )\bigr )\\ &\quad \cdot \bigl ((\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ) +(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )\bigr )\\ &=(2\sin \alpha \sin \beta )(2\cos \alpha \cos \beta )\\ &=(2\sin \alpha \cos \alpha )(2\sin \beta \cos \beta )\\ &=\sin 2\alpha \cdot \sin 2\beta .\qquad \square \end{align*}

Oefeningen: p.140 nr.10,15

III Halveringsformules (= Formules van Carnot)

\[ \boxed {\sin ^2\alpha =\frac {1-\cos 2\alpha }{2}},\qquad \boxed {\cos ^2\alpha =\frac {1+\cos 2\alpha }{2}} \]

Bewijs. We vertrekken van de verdubbelingsformules.

\begin{align*} \cos 2\alpha &= 1-2\sin ^2\alpha \\ \Leftrightarrow \quad 2\sin ^2\alpha &= 1-\cos 2\alpha \\ \Leftrightarrow \quad \sin ^2\alpha &= \frac {1-\cos 2\alpha }{2} \end{align*}

\begin{align*} \cos 2\alpha &= 2\cos ^2\alpha -1\\ \Leftrightarrow \quad 2\cos ^2\alpha &= 1+\cos 2\alpha \\ \Leftrightarrow \quad \cos ^2\alpha &= \frac {1+\cos 2\alpha }{2} \end{align*}

Gevolg

\[ |\sin \alpha |=\sqrt {\frac {1-\cos 2\alpha }{2}},\qquad |\cos \alpha |=\sqrt {\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}. \]

De vierkantswortel is steeds niet-negatief. Het kwadrant van \(\alpha \) bepaalt het teken van sinus en cosinus:

\[ \sin \alpha =\pm |\sin \alpha |,\qquad \cos \alpha =\pm |\cos \alpha |, \]

\[ \operatorname {teken}(\sin \alpha ),\ \operatorname {teken}(\cos \alpha ) \quad \text {volgens het kwadrant van }\alpha . \]

Andere vorm (vervang \(\alpha \) door \(\alpha /2\))

\[ \boxed {\sin ^2\frac {\alpha }{2}=\frac {1-\cos \alpha }{2}},\qquad \boxed {\cos ^2\frac {\alpha }{2}=\frac {1+\cos \alpha }{2}}. \]

Voorbeeld: bereken exact \(\sin 22.5^\circ \) en \(\cos 22.5^\circ \)

\begin{align*} \sin ^2 22.5^\circ &= \frac {1-\cos 45^\circ }{2} = \frac {1-\tfrac {\sqrt 2}{2}}{2} = \frac {2-\sqrt 2}{4} \\ \Rightarrow \quad \sin 22.5^\circ &= +\sqrt {\frac {2-\sqrt 2}{4}} = \frac {\sqrt {\,2-\sqrt 2\,}}{2} \qquad (22.5^\circ \in \mathrm {I}) \end{align*}

\begin{align*} \cos ^2 22.5^\circ &= \frac {1+\cos 45^\circ }{2} = \frac {1+\tfrac {\sqrt 2}{2}}{2} = \frac {2+\sqrt 2}{4} \\ \Rightarrow \quad \cos 22.5^\circ &= +\sqrt {\frac {2+\sqrt 2}{4}} = \frac {\sqrt {\,2+\sqrt 2\,}}{2} \qquad (22.5^\circ \in \mathrm {I}) \end{align*}

Oefeningen p140 nr14

A Cosinusregel

In een willekeurige driehoek \(ABC\) noemen we de lengtes van de zijden tegenover de hoeken \(A\), \(B\) en \(C\) respectievelijk \(a\), \(b\) en \(c\).

Voor de zijde \(a\) tegenover de hoek \(\alpha \) geldt de cosinusregel:

\[ \boxed {a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha }. \]

Kort bewijs. Kies \(A=(0,0)\) en \(B=(c,0)\). Dan is \(C=(b\cos \alpha ,b\sin \alpha )\) en geeft de afstandsformule

\[ \begin {aligned} a^2&=(c-b\cos \alpha )^2+(b\sin \alpha )^2\\ &=c^2-2bc\cos \alpha +b^2(\cos ^2\alpha +\sin ^2\alpha ) =b^2+c^2-2bc\cos \alpha . \end {aligned} \]

Analoog gelden

\[ b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta , \qquad c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma . \]

De regel kan ook gebruikt worden om een hoek te berekenen:

\[ \cos \alpha =\frac {b^2+c^2-a^2}{2bc}. \]

B Inproduct

Definitie en meetkundige formule. Voor \(\vec u=(u_1,u_2)\) en \(\vec v=(v_1,v_2)\) in \(\mathbb {R}^2\) definiëren we

\[ \boxed {\;\vec u\cdot \vec v=u_1v_1+u_2v_2\;} \qquad \text {(definitie).} \]

Meetkundig geldt

\[ \boxed {\;\vec u\cdot \vec v=\lVert \vec u\rVert \,\lVert \vec v\rVert \cos \theta \;} \qquad \text {(meetkundige formule),} \]

waar \(\theta \) de (kleinste) hoek is tussen \(\vec u\) en \(\vec v\).

Bewijs van de gelijkwaardigheid. We leiden de meetkundige formule af uit de definitie.

• 1. Cosinusregel op de driehoek \(OUV\):

  \[ \lVert \vec v-\vec u\rVert ^2 = \lVert \vec v\rVert ^2+\lVert \vec u\rVert ^2-2\,\lVert \vec u\rVert \,\lVert \vec v\rVert \cos \theta . \tag {1} \]

• 2. Algebraïsche uitwerking van de norm:

  \[ \lVert \vec v-\vec u\rVert ^2 =(v_1-u_1)^2+(v_2-u_2)^2 =\lVert \vec v\rVert ^2+\lVert \vec u\rVert ^2-2\,(u_1v_1+u_2v_2). \tag {2} \]

Door (1) \(=\) (2) volgt

\[ u_1v_1+u_2v_2=\lVert \vec u\rVert \,\lVert \vec v\rVert \cos \theta , \]

dus de meetkundige formule volgt uit de definitie.

Eigenschappen. Voor alle \(\vec u,\vec v,\vec w\in \mathbb {R}^2\) en \(k\in \mathbb {R}\):

\begin{align*} \vec u\cdot \vec v &= \vec v\cdot \vec u \quad &&\text {(commutatief)}\\ \vec u\cdot (\vec v+\vec w) &= \vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w \quad &&\text {(distributief)}\\ (k\vec u)\cdot \vec v &= k\,(\vec u\cdot \vec v) \quad &&\text {(homogeen)}\\ \vec u\cdot \vec u &= \lVert \vec u\rVert ^2\ge 0,\ \text {en } \vec u\cdot \vec u=0 \Leftrightarrow \vec u=\vec 0. \quad &&\text {(positief)} \end{align*}

Geometrische interpretatie.

\[ \vec u\cdot \vec v=\lVert \vec u\rVert \,\lVert \vec v\rVert \cos \theta \ \begin {cases} >0 & \text {als }\theta <90^\circ \ (\text {scherp})\\ =0 & \text {als }\theta =90^\circ \ (\text {loodrecht})\\ <0 & \text {als }\theta >90^\circ \ (\text {stomp}) \end {cases} \]

Dus, het inproduct meet hoeveel twee vectoren dezelfde kant op wijzen.

• • zelfde richting \(\Rightarrow \) groot en positief;

• • loodrecht \(\Rightarrow 0\);

• • tegengesteld \(\Rightarrow \) negatief.