Hoofdstuk 1Synthetische
ruimtemeetkunde
Leerplandoelstellingen (GO! Navigator)
Basisvorming (BV3_06)
-
• BV3_06.19 (MD 06.18) De leerlingen beargumenteren wiskundige redeneringen.
Gevorderde wiskunde (WD3_06.08)
-
• WD3_06.08.42 (MD 06.08.39) De leerlingen beargumenteren wiskundige redeneringen en bewijzen wiskundige uitspraken.
-
– afbakening: bewijstechnieken: rechtstreeks bewijs, contrapositie, bewijs uit het ongerijmde, bewijs door volledige inductie, existentieel bewijs, bewijs door gevalsonderscheiding, ontkrachting door tegenvoorbeeld
-
– afbakening: kwantoren
-
Didactische uitwerking: De synthetische ruimtemeetkunde is geen apart leerplandoel. Ze bereidt de onderlinge ligging (WD3_06.08.09) en de afstanden en hoeken (WD3_06.08.10) voor, en is een oefenterrein voor bewijzen.
I Grondbegrippen en axioma’s
1 Grondbegrippen
De ruimtemeetkunde wordt opgebouwd zoals elke wiskundige theorie: uit grondbegrippen, axioma’s en stellingen. De grondbegrippen zijn ruimte, vlak, rechte en punt. We noteren de ruimte met \(\Sigma \).
Verzamelingen
De verzameling van alle rechten van \(\Sigma \) is \(\mathcal {R}=\{a\mid a\text { is een rechte van }\Sigma \}\).
De verzameling van alle vlakken van \(\Sigma \) is \(\mathcal {V}=\{\alpha \mid \alpha \text { is een vlak van }\Sigma \}\).
Begrippen
Collineaire punten: punten die tot eenzelfde rechte behoren.
Concurrente rechten: rechten die door eenzelfde punt gaan.
Coplanaire punten of rechten: punten of rechten in eenzelfde vlak.
Een punt en een rechte zijn incident als het punt op de rechte ligt. Een punt en een vlak zijn incident als het punt in het vlak ligt. Een rechte en een vlak zijn incident als de rechte in het vlak ligt.
Symbolen
- \(\in \)
-
behoort tot.
- \(\notin \)
-
behoort niet tot.
- \(\subset \)
-
is een deelverzameling van.
- \(\forall \)
-
voor alle.
- \(\exists \)
-
er bestaat minstens één.
- \(\exists !\)
-
er bestaat precies één.
- \(\parallel \)
-
is evenwijdig met.
- \(\cap \)
-
doorsnede.
2 Axioma’s
Axioma A1
De ruimte is een oneindige verzameling van punten met bijzondere niet-lege deelverzamelingen die men rechten en vlakken noemt.
Axioma A2
In elk vlak van de ruimte gelden de axioma’s en stellingen van de vlakke meetkunde.
Ter herinnering, de axioma’s van de vlakke meetkunde:
-
• Een vlak is een oneindige verzameling van punten, met bijzondere niet-lege deelverzamelingen die men rechten noemt.
-
• Door twee verschillende punten gaat precies één rechte.
-
• Elke rechte bevat oneindig veel punten, en buiten elke rechte liggen oneindig veel punten.
-
• Twee verschillende rechten hebben hoogstens één punt gemeen.
-
• Door een punt buiten een rechte gaat precies één rechte evenwijdig met die rechte (parallellenaxioma van Euclides).
Samen met die axioma’s gelden in elk vlak van de ruimte ook alle stellingen die eruit volgen: de som van de hoeken van een driehoek is \(180\degree \), de stelling van Pythagoras, de stelling van Thales, de congruentie- en gelijkvormigheidskenmerken, …
Axioma A3
Door drie gegeven niet-collineaire punten \(A\), \(B\) en \(C\) gaat precies één vlak. Dat vlak noteren we als \(\operatorname {vl}(ABC)\).
\[A,B,C\text { niet-collineair}\Longrightarrow \exists !\alpha \in \mathcal V:\ A,B,C\in \alpha .\]
Axioma A4
Als twee verschillende punten van een rechte tot een vlak behoren, dan ligt deze rechte in het vlak.
\[A\ne B,\quad A,B\in a,\quad A,B\in \alpha \Longrightarrow a\subset \alpha .\]
Axioma A5
Voor twee vlakken geldt precies één mogelijkheid: ze vallen samen, ze hebben geen punt gemeen, of ze hebben precies één rechte gemeen.
3 Gevolgen
Gevolg G1
Door twee verschillende punten gaat ten minste één vlak.
Neem \(A\ne B\). Kies \(C\) dat niet op de rechte \(AB\) ligt. Volgens A3 bestaat \(\operatorname {vl}(ABC)\), en dat vlak bevat \(A\) en \(B\).
Gevolg G2
Twee verschillende punten bepalen precies één rechte.
Volgens G1 liggen \(A\) en \(B\) in een vlak. Daar geldt de vlakke meetkunde (A2), dus door \(A\ne B\) gaat precies één rechte, die we \(AB\) noemen.
Gevolg G3
Door een rechte gaan oneindig veel vlakken.
Kies verschillende \(A,B\in a\). Voor ieder \(C\notin a\) bepaalt A3 een vlak \(\operatorname {vl}(ABC)\) dat \(a\) bevat (A4). Punten buiten elk reeds gekozen vlak leveren telkens een nieuw vlak.
Oefening 1
Zijn de volgende uitspraken waar of onwaar? Verbeter de onware uitspraken.
-
(a) Door drie punten gaat precies één vlak.
Onwaar. Door drie niet-collineaire punten gaat precies één vlak (A3). Door drie collineaire punten gaan oneindig veel vlakken.
-
(b) Als \(A\) en \(B\) twee verschillende punten van een vlak \(\alpha \) zijn, dan ligt de rechte \(AB\) in \(\alpha \).
Waar. De rechte \(AB\) bestaat en is uniek volgens G2. Omdat \(A\) en \(B\) tot \(\alpha \) behoren, ligt \(AB\) volgens A4 in \(\alpha \).
-
(c) Twee verschillende vlakken kunnen precies één punt gemeen hebben.
Onwaar. Volgens A5 hebben twee verschillende vlakken geen punt gemeen of precies één rechte gemeen.
-
(d) Door een rechte gaat precies één vlak.
Onwaar. Door een rechte gaan oneindig veel vlakken (G3).
Oefening 2
Gegeven zijn drie niet-collineaire punten \(A\), \(B\) en \(C\). We stellen \(a=AB\) en \(\alpha =\operatorname {vl}(ABC)\). Vul aan met \(\in \), \(\notin \) of \(\subset \).
-
(a) \(A\mathrel {\ldots }a\)
\(A\in a\), want \(a=AB\).
-
(b) \(C\mathrel {\ldots }a\)
\(C\notin a\), want \(A\), \(B\) en \(C\) zijn niet-collineair.
-
(c) \(a\mathrel {\ldots }\alpha \)
\(a\subset \alpha \). De verschillende punten \(A\) en \(B\) behoren tot \(\alpha \), dus ligt \(AB\) volgens A4 volledig in \(\alpha \).
-
(d) \(C\mathrel {\ldots }\alpha \)
\(C\in \alpha \), want \(\alpha =\operatorname {vl}(ABC)\).
Oefening 3
Welk axioma of gevolg rechtvaardigt elke uitspraak?
-
(a) Twee verschillende punten bepalen precies één rechte.
Gevolg G2.
-
(b) Drie niet-collineaire punten bepalen precies één vlak.
Axioma A3.
-
(c) Een rechte waarvan twee verschillende punten in een vlak liggen, ligt volledig in dat vlak.
Axioma A4.
-
(d) Twee verschillende vlakken met een gemeenschappelijk punt hebben een volledige rechte gemeen.
Axioma A5.
II Onderlinge ligging van punten, rechten en vlakken
1 Afspraken over evenwijdigheid
We gebruiken in deze cursus het begrip evenwijdig in brede zin:
-
• twee rechten zijn evenwijdig als ze samenvallen of als ze coplanair zijn en geen punt gemeen hebben;
-
• twee vlakken zijn evenwijdig als ze samenvallen of geen punt gemeen hebben;
-
• een rechte en een vlak zijn evenwijdig als de rechte in het vlak ligt of geen punt met het vlak gemeen heeft.
Wanneer samenvallen uitgesloten is, vermelden we dat uitdrukkelijk.
2 Onderlinge ligging van twee vlakken
Voor \(\alpha ,\beta \in \mathcal V\) zijn er volgens A5 precies drie mogelijkheden:
-
• \(\alpha \cap \beta =\alpha =\beta \): evenwijdig en samenvallend;
-
• \(\alpha \cap \beta =\varnothing \): evenwijdig en niet-samenvallend;
-
• \(\alpha \cap \beta =s\): snijdend, met snijlijn \(s\).
3 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Voor een rechte \(a\) en een vlak \(\alpha \) zijn er precies drie mogelijkheden:
-
• \(a\cap \alpha =a\), dus \(a\subset \alpha \): \(a\) is evenwijdig met en ligt in \(\alpha \);
-
• \(a\cap \alpha =\varnothing \): \(a\) is evenwijdig met, maar ligt niet in \(\alpha \);
-
• \(a\cap \alpha =\{S\}\): \(a\) snijdt \(\alpha \) in \(S\).
Twee verschillende gemeenschappelijke punten zouden volgens A4 de volledige rechte in het vlak dwingen.
4 Onderlinge ligging van twee rechten
Voor rechten \(a\) en \(b\) zijn er vier mogelijkheden:
-
• \(a\cap b=a=b\): evenwijdig en samenvallend;
-
• \(a\cap b=\{S\}\): snijdend in \(S\);
-
• \(a\cap b=\varnothing \) en \(a,b\) zijn coplanair: evenwijdig;
-
• \(a\cap b=\varnothing \) en \(a,b\) zijn niet coplanair: kruisend.
Oefening 4
Beschouw de kubus \(ABCD.EFGH\). Bepaal telkens de onderlinge ligging.
-
(a) Zijn \(E\) en \(AE\) incident? Is \(H\) incident met \(\operatorname {vl}(BCG)\)?
-
(b) De rechten \(AB\) en \(HG\); de rechten \(AC\) en \(FH\).
-
(c) De rechte \(AG\) en het vlak \(BCGF\); de rechte \(EH\) en het vlak \(BCGF\).
-
(d) De vlakken \(ABCD\) en \(EFGH\); de vlakken \(ABFE\) en \(BCGF\).
-
(a) \(E\in AE\), dus \(E\) en \(AE\) zijn incident. Omdat \(H\notin \operatorname {vl}(BCG)\), zijn \(H\) en \(\operatorname {vl}(BCG)\) niet incident.
-
(b) \(AB\parallel HG\) en de rechten vallen niet samen; \(AC\) en \(FH\) zijn kruisend.
-
(c) \(AG\) snijdt \(BCGF\) in \(G\); \(EH\) is evenwijdig met \(BCGF\) en ligt niet in dat vlak.
-
(d) \(ABCD\parallel EFGH\) en de vlakken vallen niet samen; \(ABFE\cap BCGF=BF\).
Oefening 5
Beschouw het driehoekig prisma \(ABC.DEF\), met opstaande ribben \(AD\), \(BE\) en \(CF\). Bepaal telkens de onderlinge ligging.
-
(a) Zijn \(D\) en \(AD\) incident? Is \(F\) incident met \(\operatorname {vl}(ABE)\)?
-
(b) De rechten \(AB\) en \(DE\); de rechten \(AC\) en \(BE\).
-
(c) De rechte \(CF\) en het vlak \(ABC\).
-
(d) De vlakken \(ABC\) en \(DEF\); de vlakken \(ABED\) en \(ACFD\).
-
(a) \(D\in AD\), dus \(D\) en \(AD\) zijn incident. Omdat \(F\notin \operatorname {vl}(ABE)\), zijn \(F\) en \(\operatorname {vl}(ABE)\) niet incident.
-
(b) \(AB\parallel DE\) en de rechten vallen niet samen; \(AC\) en \(BE\) zijn kruisend.
-
(c) \(CF\) snijdt \(ABC\) in \(C\).
-
(d) \(ABC\parallel DEF\) en de vlakken vallen niet samen; \(ABED\cap ACFD=AD\).
Oefening 6
Beschouw de piramide \(T.ABCD\) met vierkant grondvlak \(ABCD\). Bepaal telkens de onderlinge ligging.
-
(a) Is \(T\) incident met \(\operatorname {vl}(ABC)\)? Zijn \(A\) en \(TD\) incident?
-
(b) De rechten \(AB\) en \(CD\); de rechten \(AC\) en \(TB\).
-
(c) De rechte \(TA\) en het vlak \(ABCD\).
-
(d) De vlakken \(TAB\) en \(TBC\); de vlakken \(TAB\) en \(ABCD\).
-
(a) \(T\notin \operatorname {vl}(ABC)\) en \(A\notin TD\), dus in beide gevallen is er geen incidentie.
-
(b) \(AB\parallel CD\) en de rechten vallen niet samen; \(AC\) en \(TB\) zijn kruisend.
-
(c) \(TA\) snijdt \(ABCD\) in \(A\).
-
(d) \(TAB\cap TBC=TB\) en \(TAB\cap ABCD=AB\).
III Eerste stellingen
1 Stelling S1
Twee snijdende rechten \(a\) en \(b\) bepalen precies één vlak.
Stel \(a\cap b=\{S\}\). Kies \(A\in a\setminus \{S\}\) en \(B\in b\setminus \{S\}\). De niet-collineaire punten \(A,S,B\) bepalen door A3 precies één vlak. Door A4 bevat dit vlak \(a\) en \(b\). Elk ander vlak met beide rechten bevat \(A,S,B\) en valt er dus mee samen.
2 Stelling S2
Een rechte \(a\) en een punt \(A\notin a\) bepalen precies één vlak.
Kies verschillende \(B,C\in a\). Dan zijn \(A,B,C\) niet-collineair en bepalen ze volgens A3 precies één vlak. A4 geeft \(a\subset \operatorname {vl}(ABC)\). Ieder vlak door \(A\) en \(a\) bevat \(A,B,C\) en valt ermee samen.
Het unieke vlak bepaald door \(A\) en \(a\) kunnen we bijvoorbeeld \(\alpha \) noemen. We noteren dan \(\alpha =\operatorname {vl}(Aa)\).
3 Stelling S3
Twee evenwijdige, niet-samenvallende rechten bepalen precies één vlak.
Volgens de definitie zijn evenwijdige rechten coplanair. Kies \(A,B\in a\) verschillend en \(C\in b\). Ze bepalen één vlak \(\alpha \). A4 geeft \(a\subset \alpha \); in \(\alpha \) ligt door \(C\) precies één rechte evenwijdig met \(a\) (A2), namelijk \(b\). De uniciteit volgt opnieuw uit A3.
Oefening 7
Bepaal telkens of de gegeven informatie precies één vlak vastlegt. Noteer bij elk bevestigend antwoord het bijbehorende axioma of de bijbehorende stelling.
-
(a) Drie niet-collineaire punten \(A\), \(B\) en \(C\).
Ja. Volgens A3 bepalen drie niet-collineaire punten precies één vlak: \(\operatorname {vl}(ABC)\).
-
(b) Twee snijdende rechten \(a\) en \(b\).
Ja. Volgens S1 bepalen twee snijdende rechten precies één vlak.
-
(c) Een rechte \(a\) en een punt \(P\notin a\).
Ja. Volgens S2 bepalen een rechte en een punt buiten die rechte precies één vlak: \(\operatorname {vl}(Pa)\).
-
(d) Twee evenwijdige, niet-samenvallende rechten \(a\) en \(b\).
Ja. Volgens S3 bepalen twee evenwijdige, niet-samenvallende rechten precies één vlak.
Oefening 8
Bepaal telkens of de gegevens precies één vlak vastleggen. Verantwoord je antwoord en vermeld waar mogelijk bijhorende axioma’s of stellingen.
-
(a) Een rechte \(a\) en een punt \(P\in a\).
Nee. S2 is niet toepasbaar, want \(P\) ligt op \(a\). De gegevens leggen enkel de rechte \(a\) vast en door die rechte gaan volgens G3 oneindig veel vlakken.
-
(b) Twee kruisende rechten \(a\) en \(b\).
Nee. Kruisende rechten zijn niet-coplanair, dus er bestaat geen vlak dat beide rechten bevat. S1 en S3 zijn niet toepasbaar.
-
(c) Snijdende rechten \(a\) en \(b\), samen met een punt \(P\) dat niet in het door \(a\) en \(b\) bepaalde vlak ligt.
Nee. Volgens S1 bepalen \(a\) en \(b\) precies één vlak, maar \(P\) ligt niet in dat vlak. Er bestaat dus geen vlak dat alle gegeven objecten bevat.
-
(d) De rechten \(a\) en \(b\) zijn evenwijdig en vallen niet samen. Bovendien geldt \(P\in a\).
Ja. Volgens S3 bepalen \(a\) en \(b\) precies één vlak. Het punt \(P\) levert geen bijkomende beperking, want het ligt al op \(a\).
4 Stelling S4
Door \(A\notin a\) gaat precies één rechte evenwijdig met \(a\).
S2 bepaalt \(\operatorname {vl}(Aa)\). In dit vlak geldt volgens A2 het parallellenaxioma van de vlakke meetkunde.
5 Stelling S5
Twee verschillende vlakken die \(A\) gemeen hebben, snijden elkaar en \(A\) behoort tot hun snijlijn.
De vlakken zijn niet samenvallend en hun doorsnede is niet leeg. Volgens A5 is de doorsnede een rechte \(s\). Omdat \(A\) tot beide vlakken behoort, geldt \(A\in s\).
6 Stelling S6
Ligt een rechte in een van twee evenwijdige vlakken, dan is ze evenwijdig met het andere vlak.
Stel \(a\subset \alpha \) en \(\alpha \parallel \beta \). Als \(a\) een punt met \(\beta \) gemeen had, hadden \(\alpha \) en \(\beta \) een punt gemeen. Niet-samenvallende parallelle vlakken zijn disjunct, dus \(a\cap \beta =\varnothing \). Bij samenvallen ligt \(a\) in beide vlakken. In beide gevallen is \(a\parallel \beta \).
\(a\) ligt in \(\alpha \) en heeft geen punt gemeen met \(\beta \).
\(a\) ligt in \(\alpha \) en dus ook in \(\beta \).
Oefening 9
Beantwoord telkens de vraag en verantwoord je antwoord met behulp van de passende stellingen of axioma’s.
-
(a) Door een punt \(P\) buiten een rechte \(a\) trekt men twee verschillende rechten \(b\) en \(c\). Kunnen \(b\) en \(c\) allebei evenwijdig zijn met \(a\)?
Nee. Volgens S4 gaat er door een punt \(P\notin a\) precies één rechte evenwijdig met \(a\). De rechten \(b\) en \(c\) kunnen dus niet allebei evenwijdig zijn met \(a\).
-
(b) Twee verschillende vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) hebben een punt \(P\) gemeen. Kunnen \(\alpha \) en \(\beta \) elkaar in precies één punt snijden?
Nee. Volgens S5 (steunend op A5) snijden twee verschillende vlakken met een gemeenschappelijk punt \(P\) elkaar volgens een rechte \(s\) met \(P\in s\). Hun doorsnede bevat dus oneindig veel punten.
-
(c) Gegeven zijn twee evenwijdige, niet-samenvallende vlakken \(\alpha \) en \(\beta \). Een rechte \(a\) ligt in \(\alpha \). Kan \(a\) een punt gemeen hebben met \(\beta \)?
Nee. Omdat \(a\subset \alpha \) en \(\alpha \parallel \beta \), geldt volgens S6 dat \(a\parallel \beta \). Aangezien \(\alpha \) en \(\beta \) disjunct zijn, geldt \(a\cap \beta =\varnothing \).
-
(d) Gegeven is een vlak \(\alpha \) en een rechte \(a\subset \alpha \). Hoeveel rechten gaan er door een punt \(P\notin \alpha \) die evenwijdig zijn met \(a\)?
Precies één rechte. Omdat \(P\notin \alpha \) en \(a\subset \alpha \), geldt zeker \(P\notin a\). Volgens S4 gaat er door \(P\) precies één rechte evenwijdig met \(a\).
Oefening 10
Onderzoek de volgende situaties. Toon de eigenschap aan of beantwoord de vraag, en vermeld telkens de gebruikte stellingen en axioma’s.
-
(a) Twee verschillende vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) hebben twee verschillende punten \(A\) en \(B\) gemeen. Toon aan dat de rechte \(AB\) de snijlijn is van \(\alpha \) en \(\beta \).
Omdat \(\alpha \neq \beta \) en \(A\in \alpha \cap \beta \), snijden \(\alpha \) en \(\beta \) elkaar volgens een rechte \(s\) met \(A\in s\) (S5). Omdat ook \(B\in \alpha \cap \beta \), geldt eveneens \(B\in s\). Volgens A1 is er door de twee verschillende punten \(A\) en \(B\) precies één rechte, zodat de snijlijn samenvalt met \(AB\).
-
(b) Een rechte \(a\) ligt in \(\alpha \) en een rechte \(b\) ligt in \(\beta \), waarbij \(\alpha \parallel \beta \) en \(\alpha \neq \beta \). Kunnen \(a\) en \(b\) elkaar snijden?
Nee. Volgens S6 geldt \(a\parallel \beta \), dus \(a\cap \beta =\varnothing \). Omdat \(b\subset \beta \), is \(a\cap b\subset a\cap \beta =\varnothing \). De rechten \(a\) en \(b\) hebben geen gemeenschappelijk punt en kunnen elkaar dus niet snijden (ze zijn evenwijdig of kruisend).
-
(c) Twee verschillende evenwijdige vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) worden gesneden door een derde vlak \(\gamma \) volgens respectievelijk de rechten \(a\) en \(b\). Toon aan dat \(a\parallel b\).
Er geldt \(a\subset \alpha \) en \(\alpha \parallel \beta \), dus volgens S6 is \(a\parallel \beta \), waaruit volgt dat \(a\cap \beta =\varnothing \). Omdat \(b\subset \beta \), hebben \(a\) en \(b\) geen gemeenschappelijk punt (\(a\cap b=\varnothing \)). Aangezien \(a\) en \(b\) beide in \(\gamma \) liggen, zijn ze coplanair en hebben ze geen snijpunt; bijgevolg is \(a\parallel b\).
-
(d) Door een punt \(A\notin a\) trekt men \(b\parallel a\), en door een punt \(B\notin a\) trekt men \(c\parallel a\). Veronderstel dat \(b\) en \(c\) elkaar snijden in een punt \(S\). Wat kun je besluiten over de rechten \(b\) en \(c\)?
Door het snijpunt \(S\) gaan zowel \(b\) als \(c\), en beide zijn evenwijdig met \(a\). Volgens S4 gaat er door een punt echter precies één rechte evenwijdig met een gegeven rechte. Bijgevolg moeten \(b\) en \(c\) samenvallen (\(b=c\)).
IV Voorstelling van ruimtelijke figuren op een tekenvlak
1 Tekenafspraken
-
• Een vlak stellen we voor door een parallellogram; elementen van het vlak tekenen we erin.
-
• Evenwijdige rechten in de ruimte tekenen we evenwijdig.
-
• Bij snijdende rechten markeren we het snijpunt. Bij kruisende rechten onderbreken we de achterste rechte nabij de schijnbare kruising.
-
• Onzichtbare delen van rechten en ribben tekenen we gestreept.
2 Voorbeeld: een snijlijn construeren
Opgave:
De verschillende vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) bevatten het punt \(A\). In \(\alpha \) ligt de rechte \(a\) en in \(\beta \) ligt de rechte \(b\). De rechten \(a\) en \(b\) snijden in \(B\ne A\). Construeer en verantwoord de snijlijn van \(\alpha \) en \(\beta \).
Vlakke voorstelling:
Bewijs:
De punten \(A\) en \(B\) liggen in beide vlakken: \(A\) is gegeven als gemeenschappelijk punt en \(B\in a\subset \alpha \) en \(B\in b\subset \beta \). Omdat \(A\ne B\), bepalen ze de gezochte snijlijn:
\[ \alpha \cap \beta =AB. \]
Oefening 11
Opgave:
De verschillende rechten \(u\) en \(v\) snijden elkaar in het punt \(Q\). Een vlak \(\beta \), met \(Q\notin \beta \), snijdt \(u\) in \(U\) en \(v\) in \(V\). Kies in \(\beta \) punten \(E\ne V\) en \(F\ne U\) zodat de verschillende rechten \(EV\) en \(FU\) niet evenwijdig zijn.
-
(a) Geef een vlakke voorstelling van deze gegevens.
-
(b) Teken op verantwoorde wijze (met bewijs) de snijlijn van de vlakken \(\operatorname {vl}(Ev)\) en \(\operatorname {vl}(Fu)\).
Vlakke voorstelling:
Bewijs:
We zoeken \(s=\operatorname {vl}(Ev)\cap \operatorname {vl}(Fu)\).
Omdat \(Q\in v\), geldt \(Q\in \operatorname {vl}(Ev)\). Omdat \(Q\in u\), geldt ook \(Q\in \operatorname {vl}(Fu)\). Het punt \(Q\) ligt dus in beide vlakken.
De rechte \(EV\) ligt in \(\operatorname {vl}(Ev)\): het punt \(E\) ligt per definitie in dit vlak en \(V\in v\subset \operatorname {vl}(Ev)\). Bovendien ligt \(EV\) in \(\beta \). Analoog ligt \(FU\) zowel in \(\operatorname {vl}(Fu)\) als in \(\beta \).
De rechten \(EV\) en \(FU\) zijn verschillend en niet evenwijdig. Ze snijden elkaar daarom in een punt \(W=EV\cap FU\). Daaruit volgt \(W\in \operatorname {vl}(Ev)\) en \(W\in \operatorname {vl}(Fu)\).
De twee vlakken zijn verschillend. Anders zou hun gemeenschappelijke vlak de snijdende rechten \(EV\) en \(FU\) bevatten en dus gelijk zijn aan \(\beta \). Dat is onmogelijk, want het bevat ook \(Q\), terwijl \(Q\notin \beta \).
De verschillende punten \(Q\) en \(W\) liggen in beide verschillende vlakken. Zij bepalen bijgevolg de gezochte snijlijn:
\[ \boxed {s=QW}. \]
V Evenwijdigheid
Hier betekent \(a\parallel \alpha \) dat \(a\) in \(\alpha \) ligt of er geen punt mee gemeen heeft.
1 Stelling E1
Snijdt een vlak een van twee evenwijdige rechten, dan snijdt het ook de andere rechte.
\[a\parallel b,\quad \alpha \cap a=\{A\} \Longrightarrow \exists B:\alpha \cap b=\{B\}.\]
In \(\gamma =\operatorname {vl}(ab)\) gaat de snijlijn \(s=\alpha \cap \gamma \) door \(A\). De vlakke rechte \(s\) snijdt \(a\) en dus ook haar evenwijdige \(b\).
2 Stelling E2
Als een rechte evenwijdig is met een rechte van een vlak, is zij evenwijdig met dat vlak.
\[b\subset \alpha ,\quad a\parallel b\Longrightarrow a\parallel \alpha .\]
Als \(a\) niet in \(\alpha \) ligt maar het vlak toch snijdt, zou E1 impliceren dat \(b\) het vlak in precies één punt snijdt, strijdig met \(b\subset \alpha \).
3 Stelling E3
Als \(a\parallel \alpha \) en men door \(P\in \alpha \) een rechte \(b\parallel a\) trekt, dan ligt \(b\) in \(\alpha \).
\[a\parallel \alpha ,\ P\in \alpha ,\ P\in b,\ b\parallel a \Longrightarrow b\subset \alpha .\]
Als \(a\subset \alpha \), volgt dit uit het parallellenaxioma in \(\alpha \). Anders is \(a\cap \alpha =\varnothing \). Neem dan \(\gamma =\operatorname {vl}(aP)\). De snijlijn \(\gamma \cap \alpha \) gaat door \(P\) en is evenwijdig met \(a\); door de uniciteit in S4 is ze \(b\).
De snijlijn van \(\operatorname {vl}(aP)\) met \(\alpha \) gaat door \(P\) en is evenwijdig met \(a\): dat is \(b\).
In \(\alpha \) gaat door \(P\) precies één rechte evenwijdig met \(a\) (parallellenaxioma): dat is \(b\).
4 Stelling E4
Evenwijdigheid in \(\mathcal R\) is een equivalentierelatie.
Gegeven:
\(a,b,c\in \mathcal R\).
Te bewijzen:
Evenwijdigheid in \(\mathcal R\) is reflexief, symmetrisch en transitief:
\[a\parallel a,\qquad a\parallel b\Rightarrow b\parallel a,\qquad (a\parallel b\land b\parallel c)\Rightarrow a\parallel c.\]
Vlakke voorstelling:
Bewijs:
Reflexiviteit en symmetrie volgen uit de definitie. Transitiviteit volgt uit de uniciteit van de parallelle rechte door een punt (S4).
Oefening 12
Zijn de volgende uitspraken waar of onwaar? Verbeter de onware uitspraken en vermeld telkens de gebruikte stelling.
-
(a) Snijdt een vlak \(\alpha \) een rechte \(a\) in precies één punt, en is \(b\parallel a\), dan snijdt \(\alpha \) ook \(b\) in precies één punt.
Waar. Dat is stelling E1.
-
(b) Als \(a\parallel \alpha \), dan is \(a\) evenwijdig met elke rechte van \(\alpha \).
Onwaar. Ligt \(a\) niet in \(\alpha \), dan zijn de rechten van \(\alpha \) die niet in de richting van \(a\) lopen kruisend met \(a\). Correct is: er ligt in \(\alpha \) door elk punt precies één rechte evenwijdig met \(a\) (E3).
-
(c) Is \(a\) evenwijdig met een rechte \(b\) van een vlak \(\alpha \), dan is \(a\parallel \alpha \).
Waar. Dat is stelling E2.
-
(d) Als \(a\parallel b\) en \(b\parallel c\), dan kunnen \(a\) en \(c\) kruisend zijn.
Onwaar. Evenwijdigheid in \(\mathcal R\) is transitief (E4), dus \(a\parallel c\). Kruisende rechten zijn niet coplanair en dus niet evenwijdig.
Oefening 13
Onderzoek de volgende situaties. Verantwoord elke stap met een axioma of een stelling.
-
(a) Gegeven zijn \(a\parallel \alpha \) en een punt \(P\in \alpha \). Hoeveel rechten door \(P\) zijn evenwijdig met \(a\), en waar liggen ze?
Precies één. Volgens S4 gaat er door \(P\) hoogstens één rechte \(b\) evenwijdig met \(a\), en volgens E3 ligt die rechte \(b\) volledig in \(\alpha \).
-
(b) De rechten \(a\) en \(b\) zijn allebei evenwijdig met eenzelfde vlak \(\alpha \). Wat besluit je over de onderlinge ligging van \(a\) en \(b\)?
Niets: alle liggingen blijven mogelijk. Neem in de kubus \(ABCD.EFGH\) het vlak \(\alpha =ABCD\). Dan zijn \(EF\) en \(HG\) evenwijdig, snijden \(EF\) en \(FG\) elkaar in \(F\), en zijn \(AB\) en \(EH\) kruisend, terwijl al deze rechten evenwijdig zijn met \(\alpha \).
-
(c) Gegeven zijn \(a\parallel b\), \(a\subset \alpha \) en \(b\not \subset \alpha \). Toon aan dat \(b\cap \alpha =\varnothing \).
Uit \(a\subset \alpha \) en \(b\parallel a\) volgt \(b\parallel \alpha \) (E2). Volgens de conventie betekent dit dat \(b\) in \(\alpha \) ligt of geen punt met \(\alpha \) gemeen heeft. Het eerste is uitgesloten, dus \(b\cap \alpha =\varnothing \).
-
(d) Gegeven zijn \(a\parallel \alpha \) en \(a\not \subset \alpha \). Toon aan dat er in \(\alpha \) oneindig veel rechten liggen die evenwijdig zijn met \(a\), en dat die rechten onderling evenwijdig zijn.
Door elk punt \(P\in \alpha \) gaat volgens S4 precies één rechte evenwijdig met \(a\), en die ligt volgens E3 in \(\alpha \). Kies \(P\) telkens buiten de reeds gevonden rechten: dat levert oneindig veel verschillende rechten. Ze zijn alle evenwijdig met \(a\) en dus onderling evenwijdig (E4).
5 Stelling E5
Als een rechte evenwijdig is met twee snijdende vlakken, is ze evenwijdig met hun snijlijn.
\[a\parallel \alpha ,\quad a\parallel \beta ,\quad \alpha \cap \beta =s\Longrightarrow a\parallel s.\]
Neem \(P\in s\). De unieke rechte door \(P\) evenwijdig met \(a\) ligt door E3 zowel in \(\alpha \) als in \(\beta \) en is dus \(s\).
Gevolg van E5
\[\alpha \parallel \alpha ',\ \beta \parallel \beta ',\ \alpha \cap \beta =s,\ \alpha '\cap \beta '=s'\Longrightarrow s\parallel s'.\]
Omdat \(s\subset \alpha \parallel \alpha '\) en \(s\subset \beta \parallel \beta '\), is \(s\) evenwijdig met beide vlakken \(\alpha ',\beta '\). E5 geeft \(s\parallel s'\).
6 Stelling E6
Als door \(a\parallel \alpha \) een vlak \(\beta \) gaat dat \(\alpha \) snijdt, dan is de snijlijn evenwijdig met de gegeven rechte.
Gegeven zijn \(a\parallel \alpha \), \(a\subset \beta \) en \(\alpha \cap \beta =s\). Dan geldt \(a\parallel s\). De coplanaire rechten \(a,s\subset \beta \) kunnen niet snijden, want dan had \(a\) een punt van \(\alpha \). Ze zijn dus evenwijdig (met samenvallen toegelaten).
7 Stelling E7
Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een tweede vlak, dan zijn de vlakken evenwijdig.
\[a,b\subset \alpha ,\ a\cap b=\{P\},\ a\parallel \beta ,\ b\parallel \beta \Longrightarrow \alpha \parallel \beta .\]
Bij een snijlijn \(s=\alpha \cap \beta \) zouden \(a\) en \(b\) volgens E6 beide evenwijdig zijn met \(s\), en dus met elkaar. Dat strijdt met hun snijpunt.
8 Stelling E8
Door \(P\) gaat precies één vlak \(\beta \parallel \alpha \). Alle rechten door \(P\) die evenwijdig zijn met \(\alpha \), liggen in \(\beta \).
Gegeven:
\(\alpha \in \mathcal V\) en \(P\in \Sigma \).
Te bewijzen:
-
(1) Er gaat precies één vlak \(\beta \) door \(P\) dat evenwijdig is met \(\alpha \):
\[\exists !\beta \in \mathcal V:\quad P\in \beta \ \land \ \beta \parallel \alpha .\]
-
(2) Elke rechte door \(P\) die evenwijdig is met \(\alpha \), ligt in \(\beta \):
\[P\in r\ \land \ r\parallel \alpha \Longrightarrow r\subset \beta .\]
Vlakke voorstelling:
De rechten \(a'\) en \(b'\) door \(P\) bepalen een vlak \(\beta \parallel \alpha \).
Kies \(a\) en \(b\) door \(P\). Dan vallen \(a'\) met \(a\) en \(b'\) met \(b\) samen. Het gezochte vlak is \(\beta =\alpha \).
Bewijs:
-
(1) Bestaan. Kies in \(\alpha \) twee snijdende rechten \(a\) en \(b\). Trek door \(P\) de unieke rechten \(a'\parallel a\) en \(b'\parallel b\) (S4). Ze vallen niet samen, anders was \(a\parallel b\) (E4). Ze snijden elkaar dus in \(P\) en bepalen een vlak \(\beta =\operatorname {vl}(a'b')\) door \(P\). Omdat \(a'\parallel a\subset \alpha \) en \(b'\parallel b\subset \alpha \), zijn \(a'\) en \(b'\) evenwijdig met \(\alpha \) (E2). Volgens E7 is dan \(\beta \parallel \alpha \).
Uniciteit. Stel dat ook \(\beta '\) door \(P\) gaat met \(\beta '\parallel \alpha \). Dan is \(a\parallel \beta '\), want \(a\) ligt in \(\alpha \) en \(\alpha \) valt samen met \(\beta '\) of heeft er geen punt mee gemeen. Volgens E3 ligt de rechte \(a'\) door \(P\in \beta '\) dan in \(\beta '\). Net zo ligt \(b'\) in \(\beta '\). Het vlak \(\beta '\) bevat dus de snijdende rechten \(a'\) en \(b'\), zodat \(\beta '=\operatorname {vl}(a'b')=\beta \).
-
(2) Neem een rechte \(r\) door \(P\) met \(r\parallel \alpha \). Valt \(r\) samen met \(a'\), dan ligt ze in \(\beta \). Anders bepalen de snijdende rechten \(r\) en \(a'\) een vlak \(\gamma \) door \(P\). Beide zijn evenwijdig met \(\alpha \), dus \(\gamma \parallel \alpha \) (E7). Wegens de uniciteit uit (1) is \(\gamma =\beta \), en dus \(r\subset \beta \).
Gevolgen van E8
-
1. Als een vlak een van twee evenwijdige vlakken snijdt, snijdt het ook het andere.
\(\alpha \parallel \beta \) en \(\gamma \cap \alpha =s\) impliceren \(\gamma \cap \beta =t\); anders zou de uniciteit van het parallelle vlak uit E8 worden tegengesproken.
-
2. Als een rechte een van twee evenwijdige vlakken snijdt, snijdt ze ook het andere.
\[\alpha \parallel \beta ,\quad r\cap \alpha =\{A\} \Longrightarrow \exists B:\ r\cap \beta =\{B\}.\]
Neem een vlak door \(r\) en pas het vorige gevolg en vervolgens de vlakke evenwijdigheid toe.
-
3. Door \(r\parallel \alpha \) gaat precies één vlak evenwijdig met \(\alpha \).
Kies \(P\in r\). Het unieke vlak door \(P\) evenwijdig met \(\alpha \) bevat door E8 heel \(r\). Een tweede bevat ook \(P\) en valt er dus mee samen.
9 Stelling E9
Als twee evenwijdige vlakken door een derde vlak gesneden worden, zijn de snijlijnen evenwijdig.
Als \(\alpha =\beta \), dan is \(s=t\) en is de uitspraak onmiddellijk waar. Neem dus \(\alpha \cap \beta =\varnothing \).
\[\alpha \parallel \beta ,\quad \gamma \cap \alpha =s,\quad \gamma \cap \beta =t\Longrightarrow s\parallel t.\]
\(s\) en \(t\) liggen in \(\gamma \) en kunnen niet snijden, want hun snijpunt zou tot de disjuncte vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) behoren.
Gevolg van E9
Twee evenwijdige rechten die twee niet-samenvallende evenwijdige vlakken snijden, bepalen vier hoekpunten van een parallellogram.
Noem de snijpunten op \(a\) respectievelijk \(A,D\) en op \(b\) respectievelijk \(B,C\). Dan is \(AD\parallel BC\) omdat \(a\parallel b\). E9 toegepast in \(\operatorname {vl}(ab)\) geeft \(AB\parallel DC\). Dus \(ABCD\) is een parallellogram.
Oefening 14
Zijn de volgende uitspraken waar of onwaar? Verbeter de onware uitspraken of geef een tegenvoorbeeld in de kubus \(ABCD.EFGH\).
-
(a) Is een rechte evenwijdig met twee snijdende vlakken, dan is ze evenwijdig met hun snijlijn.
Waar. Dat is stelling E5.
-
(b) Liggen in een vlak \(\alpha \) twee rechten die evenwijdig zijn met een vlak \(\beta \), dan is \(\alpha \parallel \beta \).
Onwaar: de twee rechten moeten elkaar snijden (E7). Tegenvoorbeeld: neem \(\alpha =ABCD\) en \(\beta =ABFE\), en in \(\alpha \) de rechte \(DC\) samen met de rechte \(m\) door de middens van \([AD]\) en \([BC]\). Beide zijn evenwijdig met \(AB\subset \beta \) en dus met \(\beta \) (E2), maar \(\alpha \) en \(\beta \) snijden elkaar volgens \(AB\).
-
(c) Door een punt \(P\) gaat precies één vlak dat evenwijdig is met een gegeven vlak \(\alpha \).
Waar. Dat is stelling E8. Ligt \(P\) in \(\alpha \), dan is dat vlak \(\alpha \) zelf.
-
(d) Snijdt een vlak \(\gamma \) twee vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) volgens evenwijdige rechten, dan is \(\alpha \parallel \beta \).
Onwaar; dit is de omgekeerde uitspraak van E9 en die geldt niet. Tegenvoorbeeld: neem \(\alpha =ABCD\), \(\beta =ABFE\) en \(\gamma =\operatorname {vl}(DCFE)\). Dan is \(\gamma \cap \alpha =DC\) en \(\gamma \cap \beta =EF\), met \(DC\parallel EF\), terwijl \(\alpha \) en \(\beta \) elkaar snijden volgens \(AB\).
Oefening 15
Toon aan of beantwoord. Vermeld telkens de gebruikte stellingen en gevolgen.
-
(a) Toon in de kubus \(ABCD.EFGH\) aan dat de snijlijn van \(\operatorname {vl}(EFC)\) met het grondvlak \(ABCD\) de rechte \(CD\) is.
Er geldt \(EF\parallel AB\) en \(AB\subset ABCD\), dus \(EF\parallel ABCD\) (E2). De rechte \(EF\) ligt in \(\operatorname {vl}(EFC)\) en dat vlak snijdt \(ABCD\), want \(C\) is gemeenschappelijk. Volgens E6 is de snijlijn evenwijdig met \(EF\), en ze gaat door \(C\). Door \(C\) gaat precies één rechte evenwijdig met \(EF\) (S4); in \(ABCD\) is dat \(CD\).
-
(b) Gegeven zijn \(\alpha \parallel \beta \) met \(\alpha \neq \beta \), en een vlak \(\gamma \) dat \(\alpha \) snijdt volgens \(s\). Toon aan dat \(\gamma \) ook \(\beta \) snijdt en dat beide snijlijnen evenwijdig zijn.
Volgens het eerste gevolg van E8 snijdt \(\gamma \) ook \(\beta \), zeg volgens \(t\). De evenwijdige vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) worden dus door \(\gamma \) gesneden, en E9 geeft \(s\parallel t\).
-
(c) Hoeveel vlakken evenwijdig met \(\alpha \) gaan er door een rechte \(r\parallel \alpha \)?
Precies één. Kies \(P\in r\); door \(P\) gaat volgens E8 precies één vlak \(\beta \parallel \alpha \), en \(r\) ligt volledig in \(\beta \). Elk vlak door \(r\) evenwijdig met \(\alpha \) bevat \(P\) en valt dus samen met \(\beta \). Dit is het derde gevolg van E8.
-
(d) Twee evenwijdige rechten \(a\) en \(b\) snijden twee evenwijdige, niet-samenvallende vlakken \(\alpha \) en \(\beta \) in \(A,D\) respectievelijk \(B,C\). Wat besluit je over de lengtes van \([AB]\) en \([DC]\)?
Volgens het gevolg van E9 is \(ABCD\) een parallellogram, dus \(|AB|=|DC|\). Twee evenwijdige vlakken snijden evenwijdige rechten dus in even lange stukken af.
10 Stelling E10
Evenwijdigheid in \(\mathcal V\) is een equivalentierelatie.
Gegeven \(\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathcal V\).
Te bewijzen Evenwijdigheid in \(\mathcal V\) is reflexief, symmetrisch en transitief:
\[\alpha \parallel \alpha ,\quad \alpha \parallel \beta \Rightarrow \beta \parallel \alpha ,\quad (\alpha \parallel \beta \land \beta \parallel \gamma ) \Rightarrow \alpha \parallel \gamma .\]
Bewijs De eerste twee volgen uit de definitie; transitiviteit volgt uit de uniciteit van het parallelle vlak door een punt (E8).
11 Rechtenrichting en vlakkenrichting
\[\operatorname {Rich}(a)=\opl {\{b\in \mathcal R\mid b\parallel a\}}.\]
Dit is de equivalentieklasse van \(a\); elke twee rechten erin zijn evenwijdig.
\[\operatorname {Rich}(\alpha )=\opl {\{\beta \in \mathcal V\mid \beta \parallel \alpha \}}.\]
Elke twee vlakken uit dezelfde vlakkenrichting zijn evenwijdig.
12 Evenwijdige projectie op een vlak volgens een rechtenrichting
Neem \(\alpha \) en een richting \(a\) met \(a\not \parallel \alpha \). Voor ieder punt \(X\) is \(p_\alpha ^a(X)\) het snijpunt met \(\alpha \) van de unieke rechte door \(X\) die evenwijdig is met \(a\):
\[p_\alpha ^a:\Sigma \to \alpha :X\mapsto X',\qquad X'=\alpha \cap x,\quad X\in x\parallel a.\]
Constructiestappen:
-
1. Trek door \(X\) de unieke rechte \(x\parallel a\).
-
2. Omdat \(a\not \parallel \alpha \), snijdt \(x\) het vlak \(\alpha \) in precies één punt \(X'=\alpha \cap x=p_\alpha ^a(X)\).
Voor \(X\in \alpha \) geldt \(X'=X\).
Vlakke voorstelling:
13 Stelling E11
De projectie van een rechte is een rechte of één punt.
\[p_\alpha ^a(r)=\begin {cases}\{R\},&r\parallel a,\\r',&r\not \parallel a. \end {cases}\]
Het vlak door \(r\) met richting \(a\) snijdt \(\alpha \) in de projectierechte \(r'\). Als \(r\) de projectierichting heeft, vallen alle projecterende rechten samen.
Als \(r\not \parallel a\), is het beeld een rechte \(r'\).
Als \(r\parallel a\), is het beeld het snijpunt \(R\) van \(r\) met \(\alpha \).
14 Stelling E12
De projecties van twee evenwijdige rechten zijn twee evenwijdige rechten, één samenvallende rechte, of twee punten.
\[r\parallel s\quad \Longrightarrow \quad \bigl (p_\alpha ^a(r),p_\alpha ^a(s)\text { zijn punten}\bigr ) \ \lor \ p_\alpha ^a(r)\parallel p_\alpha ^a(s).\]
Als beide beelden rechten zijn, zijn de projecterende vlakken evenwijdig of samenvallend; E9 geeft evenwijdige of samenvallende snijlijnen met \(\alpha \). Als beide rechten de projectierichting hebben, zijn beide beelden punten.
De projecterende vlakken zijn evenwijdig. Hun snijlijnen met het vlak ook.
Beide rechten liggen in hetzelfde projecterende vlak en krijgen dezelfde beeldrechte.
Beide rechten hebben de projectierichting. Hun beelden zijn de punten R en S.
15 Evenwijdige projectie op een rechte volgens een vlakkenrichting
Neem \(r\) en een vlakkenrichting \(\alpha \) met \(r\not \parallel \alpha \). Voor ieder punt \(X\) is \(p_r^\alpha (X)\) het snijpunt met \(r\) van het unieke vlak door \(X\) evenwijdig met \(\alpha \):
\[p_r^\alpha :\Sigma \to r:X\mapsto X',\qquad X'=r\cap \beta _X,\quad X\in \beta _X\parallel \alpha .\]
Constructiestappen:
-
1. Construeer volgens E8 het unieke vlak \(\beta _X\parallel \alpha \) door \(X\).
-
2. Omdat \(r\not \parallel \alpha \), snijdt \(\beta _X\) de rechte \(r\) in precies één punt \(X'=r\cap \beta _X=p_r^\alpha (X)\).
Voor \(X\in r\) geldt \(X'=X\).
Vlakke voorstelling:
Oefening 16
Beschouw de evenwijdige projectie \(p_\alpha ^a\) op een vlak \(\alpha \) volgens een rechtenrichting \(a\) met \(a\not \parallel \alpha \).
-
(a) Wat is het beeld van een punt \(X\in \alpha \), en wat is het beeld van een rechte \(r\subset \alpha \)?
Voor \(X\in \alpha \) is \(X'=X\): de rechte door \(X\) evenwijdig met \(a\) snijdt \(\alpha \) in \(X\) zelf. Bijgevolg is \(p_\alpha ^a(r)=r\) voor elke rechte \(r\subset \alpha \).
-
(b) Wanneer is het beeld van een rechte \(r\) één punt?
Precies wanneer \(r\parallel a\). Dan vallen alle projecterende rechten samen met \(r\) zelf, en is het beeld het snijpunt van \(r\) met \(\alpha \) (E11).
-
(c) Kunnen twee kruisende rechten \(r\) en \(s\) hetzelfde beeld hebben?
Nee. Zijn beide beelden dezelfde rechte \(t\), dan liggen \(r\) en \(s\) in het projecterende vlak van \(t\), namelijk het vlak door \(t\) met richting \(a\). Ze zijn dan coplanair en dus niet kruisend. Hun beelden mogen elkaar wel snijden.
-
(d) Waarom eist men bij \(p_r^\alpha \) dat \(r\not \parallel \alpha \)?
Anders is het beeld niet gedefinieerd: het vlak door \(X\) evenwijdig met \(\alpha \) is dan evenwijdig met \(r\) en snijdt \(r\) niet in precies één punt. Het heeft geen punt met \(r\) gemeen, of het bevat \(r\) volledig.
Oefening 17
In de kubus \(ABCD.EFGH\) beschouwen we de evenwijdige projectie \(p\) op het grondvlak \(ABCD\) volgens de rechtenrichting \(\operatorname {Rich}(AE)\).
-
(a) Bepaal de beelden van \(E\), \(F\), \(G\) en \(H\).
\(p(E)=A\), \(p(F)=B\), \(p(G)=C\) en \(p(H)=D\), want \(EA\), \(FB\), \(GC\) en \(HD\) zijn evenwijdig met \(AE\) en snijden \(ABCD\) in \(A\), \(B\), \(C\) en \(D\).
-
(b) Bepaal het beeld van de rechte \(EG\) en van de lichaamsdiagonaal \(AG\).
Beide beelden zijn de rechte \(AC\). Voor \(EG\) volgt dat uit \(p(E)=A\) en \(p(G)=C\), voor \(AG\) uit \(p(A)=A\) en \(p(G)=C\). Volgens E11 is het beeld van een rechte die niet de projectierichting heeft opnieuw een rechte, en die ligt vast door de beelden van twee van haar punten.
-
(c) Bepaal het beeld van de ribbe \(BF\).
Het beeld is het punt \(B\): de rechte \(BF\) is evenwijdig met \(AE\) en heeft dus de projectierichting (E11).
-
(d) Geef twee kruisende ribben met snijdende beelden.
Bijvoorbeeld \(EF\) en \(BC\). Ze zijn kruisend, en \(p(EF)=AB\) en \(p(BC)=BC\) snijden elkaar in \(B\). Uit snijdende beelden volgt dus niet dat de rechten zelf snijden: een projectie bewaart de onderlinge ligging niet.
VI Doorsnede van een vlak en een veelvlak construeren
Zoek per zijvlak twee punten die zowel tot het snijvlak als tot dat zijvlak behoren. Verbind ze binnen één zijvlak en ga via gemeenschappelijke ribben verder.
1 Voorbeeld: kubus en vlak \(PQR\)
In kubus \(ABCD.EFGH\) liggen \(P\in AE\), \(Q\in BF\) en \(R\in CG\). Construeer de doorsnede met \(\pi =\operatorname {vl}(PQR)\). We veronderstellen daarbij dat de rechte door \(R\) evenwijdig met \(PQ\) de ribbe \([DH]\) snijdt; bij andere posities van \(P\), \(Q\) en \(R\) ontstaat een andere doorsnede.
In voorvlak \(ABFE\) liggen \(P\) en \(Q\), dus is \(PQ\) een zijde van de doorsnede; in rechterzijvlak \(BCGF\) liggen \(Q\) en \(R\), dus is \(QR\) een zijde.
De overstaande vlakken \(ABFE\) en \(DCGH\) zijn evenwijdig, dus is de snijlijn van \(\pi \) met \(DCGH\) evenwijdig met \(PQ\) (E9). Ze gaat door \(R\), want \(R\in CG\subset DCGH\). Noem \(S\) haar snijpunt met \([DH]\). Dan is \(RS\) de derde zijde, en in \(ADHE\) verbindt \(SP\) de doorsnede weer met \(P\).
De doorsnede is de vierhoek \(PQRS\). Omdat ook \(BCGF\parallel ADHE\), geeft E9 bovendien \(QR\parallel PS\), zodat \(PQRS\) een parallellogram is.
De zijden \(PQ\) en \(QR\) liggen in de zichtbare zijvlakken en tekenen we vol; \(RS\) en \(SP\) liggen in de achterste zijvlakken \(DCGH\) en \(ADHE\) en tekenen we gestreept.
2 Voorbeeld: een hulppunt buiten de kubus
In kubus \(ABCD.EFGH\) liggen \(P\in AE\), \(Q\in EF\) en \(R\in CG\) zoals in de figuur. Construeer de doorsnede met \(\pi =\operatorname {vl}(PQR)\).
Hulplijnen in blauw stippellijn. De verborgen zijden zijn gestreept.
Hulplijnen in blauwe stippellijn. Sleep om de kubus te draaien.
De punten \(P\) en \(Q\) liggen in voorvlak \(ABFE\), dus tekenen we eerst \(PQ\). Die lijn verlaat het voorvlak via \([EF]\). Haar verlengde snijdt het verlengde van \(BF\) boven \(F\) in het hulppunt \(X\). Omdat \(X\) op \(PQ\) ligt, behoort \(X\) tot \(\pi \). Bovendien ligt \(X\) in het vlak van rechterzijvlak \(BCGF\), net als \(R\).
Verbind \(X\) en \(R\). De rechte \(XR\) snijdt \([FG]\) in \(S\). Binnen de kubus levert ze de zijde \(SR\) op. In bovenvlak \(EFGH\) verbinden we \(Q\) met \(S\).
Het achtervlak \(DCGH\) is evenwijdig met het voorvlak \(ABFE\). Volgens E9 trekken we door \(R\) een rechte evenwijdig met \(PQ\). Ze snijdt \([CD]\) in \(U\). Het linkerzijvlak \(ADHE\) is evenwijdig met het rechterzijvlak \(BCGF\). Door \(P\) trekken we daarom een rechte evenwijdig met \(XR\). Ze snijdt \([AD]\) in \(V\). In grondvlak \(ABCD\) verbinden we \(U\) met \(V\).
De doorsnede is de zeshoek \(PQSRUV\). We tekenen \(PQ\), \(QS\) en \(SR\) vol. De zijden \(RU\), \(UV\) en \(VP\) liggen in de verborgen vlakken en tekenen we gestreept. Het hulppunt \(X\) ligt buiten de kubus; het is geen hoekpunt van de doorsnede.
3 Oefeningen
Oefening 18
In de kubus \(ABCD.EFGH\) is \(M\) het midden van de ribbe \([EH]\).
-
(a) Construeer de doorsnede van de kubus met het vlak \(\mu =\operatorname {vl}(DFM)\).
-
(b) Welke twee zijden van de doorsnede kun je onmiddellijk tekenen?
De punten \(D\) en \(M\) liggen allebei in het zijvlak \(ADHE\), dus is \(DM\) de snijlijn van \(\mu \) met \(ADHE\) (A1 en A4) en bijgevolg een zijde. De punten \(M\) en \(F\) liggen allebei in het bovenvlak \(EFGH\), dus is \(MF\) op dezelfde manier een zijde.
-
(c) Construeer het vierde hoekpunt en verantwoord elke stap.
Het grondvlak \(ABCD\) is evenwijdig met het bovenvlak \(EFGH\), dus is de snijlijn van \(\mu \) met \(ABCD\) evenwijdig met \(MF\) (E9). Ze gaat door \(D\), want \(D\in ABCD\). De rechte door \(D\) evenwijdig met \(MF\) snijdt in het vierkant \(ABCD\) de ribbe \([BC]\); noem dat snijpunt \(N\). In het zijvlak \(BCGF\) is \(NF\) dan de laatste zijde.
-
(d) Welke bijzondere vierhoek is de doorsnede? Verantwoord.
Uit de constructie volgt \(DN\parallel MF\). Bovendien is \(ADHE\parallel BCGF\), zodat E9 ook \(DM\parallel NF\) geeft. De vierhoek \(DNFM\) heeft dus twee paar evenwijdige overstaande zijden en is een parallellogram. Daaruit volgt \(|DN|=|MF|\), en in het vierkant \(ABCD\) betekent dit dat \(N\) het midden van \([BC]\) is.
De zijden \(NF\) en \(FM\) liggen in de zichtbare zijvlakken \(BCGF\) en \(EFGH\) en tekenen we vol; \(MD\) en \(DN\) liggen in de achterste zijvlakken \(ADHE\) en \(ABCD\) en tekenen we gestreept.
Oefening 19
Maak de oefeningen interactief zelf in GeoGebra en doorloop daarbij minstens de vier technieken: https://www.geogebra.org/m/z5Yyr8hh
Oefening 20
Zie ook voor extra oefeningen het handboek Van Basis tot Limiet, Ruimtemeetkunde, p. 27 en volgende.
A Axioma’s en Stellingen van de Ruimtemeetkunde
Axioma’s
- A1
-
De ruimte is een oneindige verzameling van punten met bijzondere niet-lege deelverzamelingen die men rechten en vlakken noemt.
- A2
-
In elk vlak van de ruimte gelden de axioma’s en stellingen van de vlakke meetkunde.
-
• Een vlak is een oneindige verzameling van punten, met bijzondere niet-lege deelverzamelingen die men rechten noemt.
-
• Door twee verschillende punten gaat precies één rechte.
-
• Elke rechte bevat oneindig veel punten, en buiten elke rechte liggen oneindig veel punten.
-
• Twee verschillende rechten hebben hoogstens één punt gemeen.
-
• Door een punt buiten een rechte gaat precies één rechte evenwijdig met die rechte.
-
- A3
-
Door drie gegeven niet-collineaire punten gaat precies één vlak.
- A4
-
Als twee verschillende punten van een rechte tot een vlak behoren, dan ligt deze rechte in het vlak.
- A5
-
Twee vlakken vallen samen, hebben geen punt gemeen of hebben precies één rechte gemeen.
Eerste stellingen
- S1
-
Twee snijdende rechten bepalen precies één vlak.
- S2
-
Een rechte en een punt buiten die rechte bepalen precies één vlak.
- S3
-
Twee evenwijdige, niet-samenvallende rechten bepalen precies één vlak.
- S4
-
Door een punt buiten een rechte gaat precies één rechte evenwijdig met die rechte.
- S5
-
Twee verschillende vlakken die een punt gemeen hebben, snijden elkaar volgens een rechte die door dat punt gaat.
- S6
-
Ligt een rechte in een van twee evenwijdige vlakken, dan is ze evenwijdig met het andere vlak.
Evenwijdigheid
- E1
-
Snijdt een vlak een van twee evenwijdige rechten, dan snijdt het ook de andere rechte.
- E2
-
Als een rechte evenwijdig is met een rechte van een vlak, dan is zij evenwijdig met dat vlak.
- E3
-
Als \(a\parallel \alpha \) en men door \(P\in \alpha \) een rechte \(b\parallel a\) trekt, dan ligt \(b\) in \(\alpha \).
- E4
-
Evenwijdigheid in \(\mathcal R\) is een equivalentierelatie.
- E5
-
Als een rechte evenwijdig is met twee snijdende vlakken, dan is ze evenwijdig met hun snijlijn.
- E6
-
Als door \(a\parallel \alpha \) een vlak \(\beta \) gaat dat \(\alpha \) snijdt, dan is de snijlijn evenwijdig met \(a\).
- E7
-
Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een tweede vlak, dan zijn de vlakken evenwijdig.
- E8
-
Door een punt gaat precies één vlak evenwijdig met een gegeven vlak. Alle rechten door dat punt die evenwijdig zijn met het gegeven vlak, liggen in dat evenwijdige vlak.
- E9
-
Als twee evenwijdige vlakken door een derde vlak gesneden worden, dan zijn de snijlijnen evenwijdig.
- E10
-
Evenwijdigheid in \(\mathcal V\) is een equivalentierelatie.
- E11
-
De evenwijdige projectie van een rechte op een vlak is een rechte of één punt.
- E12
-
De evenwijdige projecties van twee evenwijdige rechten op een vlak zijn twee evenwijdige rechten, één samenvallende rechte of twee punten.