Hoofdstuk 2Vectoren en coördinaten in
de ruimte
Leerplandoelstellingen (GO! Navigator)
Gevorderde wiskunde (WD3_06.08)
-
• WD3_06.08.07 (MD 06.08.29) De leerlingen rekenen met vectoren in de ruimte.
-
– afbakening: vrije vector, puntvector
-
– afbakening: bewerkingen: optelling, vermenigvuldiging met een getal en inproduct
-
– afbakening: loodrechte stand
-
– afbakening: norm van een vector en ontbinding van een vector in zijn componenten
-
-
• WD3_06.08.40 (MD 06.08.38) De leerlingen analyseren verzamelingen voorzien van één of meerdere bewerkingen aan de hand van een algebraïsche structuur.
-
– afbakening: (commutatieve) groep, ring, veld
-
– afbakening: reële vectorruimte, lineaire combinatie, basis, dimensie
-
I Vectoren in de ruimte \(\Sigma \)
1 Definitie
Een vector van \(\Sigma \) is een verzameling van georiënteerde lijnstukken met
-
• dezelfde lengte
-
• dezelfde richting
-
• dezelfde zin
Figuur:
2 Opmerkingen
-
1. Elke vector is volledig bepaald door één vertegenwoordiger of representant.
-
2. Notaties
-
• Vector: \(\vec {v} = \vec {AB} = \vec {CD} = \ldots \)
-
• Verzameling van alle vectoren \(=\) \(\mathcal {V} = \text {Vect}\)
-
II Bewerkingen met vectoren
1 Optelling
-
• Formule van Chasles-Möbius:
\[ \boxed {\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}} \]
Figuur:
Kan je gebruiken als startpunt tweede vector = eindpunt eerste vector.
-
• Regel van het parallellogram:
-
• Alle eigenschappen uit het vlak blijven geldig:
\(\mathit {Vect},+\) is een commutatieve groep.
Voor de 5 eigenschappen (IANSC) verwijzen we naar het handboek Van Basis Tot Limiet Ruimtemeetkunde p. 38 (zie groen kader) en/of cursus algebra.
- I
-
\(\forall \,\vec u,\vec v\in \mathit {Vect}:\ \vec u+\vec v\in \mathit {Vect}\)
- A
-
\(\forall \,\vec u,\vec v,\vec w\in \mathit {Vect}:\ (\vec u+\vec v)+\vec w=\vec u+(\vec v+\vec w)\)
- N
-
\(\exists \,\vec 0\in \mathit {Vect}\ \text {zodat}\ \forall \,\vec v:\ \vec v+\vec 0=\vec v=\vec 0+\vec v\)
- S
-
\(\forall \,\vec v\in \mathit {Vect}\ \exists \,(-\vec v)\ \text {zodat}\ \vec v+(-\vec v)=\vec 0=(-\vec v)+\vec v\)
- C
-
\(\forall \,\vec u,\vec v\in \mathit {Vect}:\ \vec u+\vec v=\vec v+\vec u\)
2 Scalaire vermenigvuldiging
Figuur:
\(\mathbb {R},\mathit {Vect},+\) is een reële vectorruimte.
Voor de 10 eigenschappen verwijzen we naar het handboek Van Basis Tot Limiet Ruimtemeetkunde p. 38-39 (zie groene kaders) en/of cursus algebra.
-
1. \(\forall a\in \mathbb {R}\ \forall \vec u,\vec v\in \mathit {Vect}:\, a(\vec u+\vec v)=a\vec u+a\vec v\)
-
2. \(\forall a,b\in \mathbb {R}\ \forall \vec v\in \mathit {Vect}:\, (a+b)\vec v=a\vec v+b\vec v\)
-
3. \(\forall a,b\in \mathbb {R}\ \forall \vec v\in \mathit {Vect}:\, (ab)\vec v=a(b\vec v)\)
-
4. \(\forall \vec v\in \mathit {Vect}:\ 1\,\vec v=\vec v\)
-
5. \(\forall \vec v\in \mathit {Vect}:\ 0\,\vec v=\vec 0\)
-
6. \(\forall a\in \mathbb {R}:\ a\,\vec 0=\vec 0\)
-
7. \(\forall \vec v\in \mathit {Vect}:\ (-1)\,\vec v=-\vec v\)
-
8. \(\forall a\in \mathbb {R}\ \forall \vec v\in \mathit {Vect}:\, (-a)\vec v=-(a\vec v)\)
-
9. \(\forall a\in \mathbb {R}\ \forall \vec v\in \mathit {Vect}:\, a(-\vec v)=-(a\vec v)\)
-
10. \(\forall a\in \mathbb {R}\ \forall \vec u,\vec v\in \mathit {Vect}:\, a(\vec u-\vec v)=a\vec u-a\vec v\) en \(a\vec v=\vec 0\Rightarrow (a=0\ \text {of}\ \vec v=\vec 0)\)
III Gepunte ruimte of ruimte met oorsprong
1 Definitie
We kiezen een vast punt O in de ruimte.
De ruimte \(\Sigma \) waarin we een vast punt \(O\) als oorsprong kiezen, noemen we de gepunte ruimte \(\Sigma _O\).
2 Eigenschappen
We laten nu elke vector beginnen in \(O\). Op deze manier is elke vector volledig bepaald door één punt, namelijk zijn eindpunt. We spreken over een puntvector of plaatsvector.
Figuur:
We kunnen terug alle eigenschappen uit het vlak overnemen:
\(\mathbb {R},\Sigma _O,+\) is de reële vectorruimte van de plaatsvectoren.
Merk op: Deze reële vectorruimte is isomorf met de vectorruimte van de vrije vectoren \(\mathbb {R},\mathit {Vect},+\).
\[ f: \mathcal {V} \to \Sigma _O: \vec {OA} \mapsto \vec {A} \]
is de bijectie, met
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} f(\vec {OA}+\vec {OB}) & = f(\vec {OA}) + f(\vec {OB}) \\ & = \vec {A} + \vec {B}, \\[4pt] f\!\big (k\,\vec {OA}\big ) & = k\,f(\vec {OA}) \\ & = k\,\vec {A}. \end{align*}
3 Som van twee plaatsvectoren
\(P\) en \(Q\) niet collineair met \(O\)
Figuur:
Dus, m.b.v. een parallellogram.
\(P\) en \(Q\) collineair met \(O\)
Figuur:
Dus, m.b.v. 2 parallellogrammen; we plaatsen eerst een hulplijn.
-
1. We kiezen een hulppunt \(R\) buiten de rechte \(OP\) en tekenen door \(R\) de hulplijn \(h \parallel OP\). Welk punt \(R\) we kiezen, maakt niet uit.
-
2. Parallellogram \(ORSP\): de evenwijdige door \(P\) met \(OR\) snijdt \(h\) in \(S\). Zo is \(\vec {S}=\vec {P}+\vec {R}\), en \(\vec {RS}=\vec {OP}\).
-
3. Parallellogram \(RQTS\): de evenwijdige door \(S\) met \(RQ\) snijdt \(OP\) in \(T\). Zo is \(\vec {QT}=\vec {RS}=\vec {OP}\).
-
4. Dus \(\vec {T}=\vec {Q}+\vec {QT}=\vec {Q}+\vec {P}\): het punt \(T\) is het eindpunt van \(\vec {P}+\vec {Q}\).
4 Product van een plaatsvector en een reëel getal
Figuur:
We ijken dus onze rechte \(OP\).
5 Verschil van plaatsvectoren
Formule:
\[ \boxed {\vec {BA}=\vec {A}-\vec {B}} \]
Figuur:
Bewijs:
\begin{align*} \vec {BA} & = \vec {BO}+\vec {OA} & & \text {(Chasles-Möbius)} \\ & = -\,\vec {OB}+\vec {OA} & & \text {(tegengestelde vector)} \\ & = -\,\vec {B}+\vec {A} & & \text {(definitie plaatsvector)} \\ & = \vec {A}-\vec {B}. \end{align*}
IV Bijzondere plaatsvectoren
1 Midden van een lijnstuk \(\left [ AB \right ] \)
Formule:
\[ \boxed {\overrightarrow {M}=\frac {\overrightarrow {A}+\overrightarrow {B}}{2}} \]
Figuur:
Bewijs:
\[ M \text { is midden van }[AB] \]
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} &\iff & \vec {AM}&=\vec {MB}\\ &\iff & \vec M-\vec A&=\vec B-\vec M \\ &\iff & 2\vec M&=\vec A+\vec B \\ &\iff & \vec M&=\dfrac {\vec A+\vec B}{2} \end{align*}
2 Zwaartepunt van een driehoek \(\Delta ABC\)
Formule:
\[ \boxed {\overrightarrow {Z}=\frac {\overrightarrow {A}+\overrightarrow {B}+\overrightarrow {C}}{3}} \]
Figuur:
Bewijs:
\begin{align*} & & \vec {AZ} & = \tfrac 23\,\vec {AM} & & \text {(eigenschap zwaartelijn, zie \href{#app:zwaartelijnen-driehoek}{A})} \\[2pt] & \iff & \vec Z-\vec A & = \tfrac 23\,(\vec M-\vec A) \\ & \iff & \vec Z & = \vec A + \tfrac 23\,\vec M - \tfrac 23\,\vec A \\ & & & = \tfrac 13\,\vec A + \tfrac 23\,\vec M \\ & & & = \tfrac 13\,\vec A + \tfrac 23\,\frac {\vec B+\vec C}{2} \\[2pt] & & & = \frac {\vec A+\vec B+\vec C}{3}. \end{align*}
3 Zwaartepunt van een viervlak \(ABCD\)
Formule:
\[ \boxed {\overrightarrow {Z}=\frac {\overrightarrow {A}+\overrightarrow {B}+\overrightarrow {C}+\overrightarrow {D}}{4}} \]
Figuur:
Bewijs:
\begin{align*} & & \vec {AZ} & = \tfrac 34\,\vec {AZ_1} & & \text {(eigenschap zwaartelijn, zie \href{#app:zwaartelijnen-viervlak}{B})} \\[2pt] & \iff & \vec Z-\vec A & = \tfrac 34\,(\vec {Z_1}-\vec A) \\ & \iff & \vec Z & = \vec A + \tfrac 34\,\vec {Z_1} - \tfrac 34\,\vec A \\ & & & = \tfrac 14\,\vec A + \tfrac 34\,\vec {Z_1} \\ & & & = \tfrac 14\,\vec A + \tfrac 34\,\frac {\vec B+\vec C+\vec D}{3} \\[2pt] & & & = \frac {\vec A+\vec B+\vec C+\vec D}{4}. \end{align*}
V Geijkte ruimte
We kiezen een willekeurige basis \((\overrightarrow {E_1},\overrightarrow {E_2},\overrightarrow {E_3})\) in de gepunte ruimte \(\Sigma _O\). In de cursus algebra hebben we gezien dat we dan een willekeurig punt \(\overrightarrow {P}\) van de ruimte op juist één manier kunnen schrijven als een lineaire combinatie van deze basisvectoren:
\(\displaystyle \forall \vec P \in \Sigma _O, \exists ! (x, y, z) \in \mathbb {R}^3 :\) \(\displaystyle \overrightarrow {P} =x \cdot \overrightarrow {E_1}+y \cdot \overrightarrow {E_2}+z \cdot \overrightarrow {E_3}\)
Het geordend drietal \((x,y,z)\) noemen we de coördinaat van \(\overrightarrow {P}\) ten opzichte van de basis \((\overrightarrow {E_1},\overrightarrow {E_2},\overrightarrow {E_3})\). We noteren dit met \(co(P)=(x,y,z)\) of kort \(P(x,y,z)\).
Er bestaat een bijectie van \(\Sigma _O\) naar de verzameling van de geordende drietallen \(\mathbb {R}^3\) die elke
plaatsvector afbeeldt op zijn coördinaat t.o.v. een gegeven basis:
\[ \Sigma _O \rightarrow \mathbb {R}^3: \overrightarrow {P}\mapsto (x,y,z) \]
met
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} (x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) &= (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)\\ k\cdot (x_1, y_1, z_1) &= (kx_1, ky_1, kz_1) \end{align*}
In het bijzonder worden de basisvectoren afgebeeld op
\[ \overrightarrow {E_1}\mapsto (1,0,0) \qquad \overrightarrow {E_2}\mapsto (0,1,0) \qquad \overrightarrow {E_3}\mapsto (0,0,1) \]
Aangezien de 10 eigenschappen van een reële vectorruimte voor de bewerkingen met plaatsvectoren ook geldig zijn voor de bewerkingen met hun coördinaten (zie Handboek Van Basis Tot Limiet, Ruimtemeetkunde p.45), kunnen we besluiten:
\(\mathbb {R},\Sigma _O,+\) en \(\mathbb {R},\mathbb {R}^3,+\) zijn isomorfe vectorruimten.
Figuur:
VI Coördinaten van bijzondere punten
We vormen nu de formules voor midden van een lijnstuk e.d. om naar formules voor hun coördinaten. Hierbij zijn gegeven: \(A(x_1,y_1,z_1)\), \(B(x_2,y_2,z_2)\), \(C(x_3,y_3,z_3)\) en \(D(x_4,y_4,z_4)\).
1 Midden \(M\) van een lijnstuk \(\left [ AB \right ] \)
Formule:
\[ \boxed {M=\left (\frac {x_1+x_2}{2},\frac {y_1+y_2}{2},\frac {z_1+z_2}{2}\right )} \]
Bewijs:
\begin{align*} \vec M &= \tfrac 12(\vec A+\vec B) &&\text {(midpunt-formule in vectoren)}\\[2pt] \mathrm {co}(M) &=\mathrm {co}\!\left (\tfrac 12(\vec A+\vec B)\right )\\ & =\tfrac 12\,\mathrm {co}(\vec A)+\tfrac 12\,\mathrm {co}(\vec B) &&\text {(lineariteit van coördinaten)}\\ &=\tfrac 12(x_1,y_1,z_1)+\tfrac 12(x_2,y_2,z_2)\\ &=\left (\frac {x_1+x_2}{2},\,\frac {y_1+y_2}{2},\,\frac {z_1+z_2}{2}\right ). \end{align*}
Door een analoge redenering toe te passen, vinden we ook de formules voor de zwaartepunten van een driehoek en een viervlak.
2 Zwaartepunt \(Z\) van een driehoek \(\Delta ABC\)
Formule:
\[ \boxed {Z=\left (\frac {x_1+x_2+x_3}{3},\frac {y_1+y_2+y_3}{3},\frac {z_1+z_2+z_3}{3}\right )} \]
3 Zwaartepunt \(Z\) van een viervlak \(ABCD\)
Formule:
\[ \boxed {Z=\left (\frac {x_1+x_2+x_3+x_4}{4},\frac {y_1+y_2+y_3+y_4}{4},\frac {z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right )} \]
VII Oefeningen
Handboek Van Basis tot Limiet, Ruimtemeetkunde p. 53 tot 55.
A Zwaartelijnen van een driehoek
Stelling
De drie zwaartelijnen van een driehoek \(ABC\) gaan door één punt \(Z\), het zwaartepunt. Met \(M\) het midden van \([BC]\) is
\[ \vec {AZ} = \frac 23\,\vec {AM} \]
Bewijs
\(M\) midden van \([BC]\) en \(N\) midden van \([AC]\)
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \Rightarrow \qquad & [AM] \text { en } [BN] \text { snijden elkaar in een punt } Z \\[1ex] & \frac {CM}{CB} = \frac {CN}{CA} = \frac 12 \\ \Rightarrow \qquad & \Delta CMN \sim \Delta CBA \text { met factor } \tfrac 12 \\ \Rightarrow \qquad & MN \parallel AB \text { en } MN = \tfrac 12\,AB \\ \Rightarrow \qquad & \Delta ZMN \sim \Delta ZAB \text { met factor } \tfrac 12 \\ \Rightarrow \qquad & ZM = \tfrac 12\,AZ \\ \Rightarrow \qquad & AM = AZ + ZM = \tfrac 32\,AZ \\ \Rightarrow \qquad & \vec {AZ} = \tfrac 23\,\vec {AM} \\[1ex] & \text {Idem voor elk paar zwaartelijnen} \\ \Rightarrow \qquad & \text {elke zwaartelijn gaat door het punt op } \tfrac 23 \text { van } [AM] \\ \Rightarrow \qquad & \underbrace {\text {de drie zwaartelijnen gaan door één punt } Z}_{\text {zwaartepunt driehoek}} \qed \end{align*}
B Zwaartelijnen van een viervlak
Stelling
De vier zwaartelijnen van een viervlak \(ABCD\) gaan door één punt \(Z\), het zwaartepunt. Met \(Z_1\) het zwaartepunt van \(\Delta BCD\) is
\[ \vec {AZ} = \frac 34\,\vec {AZ_1} \]
Bewijs
Het vlak \(ABM\) bevat de zwaartelijnen uit \(A\) en \(B\).
In de driehoek \(ABM\) is \(Z_1Z_2 \parallel AB\).
\(M\) midden van \([CD]\), \(Z_1\) zwaartepunt van \(\Delta BCD\) en \(Z_2\) zwaartepunt van \(\Delta ACD\)
\(\seteqnumber{0}{}{0}\)\begin{align*} \Rightarrow \qquad & Z_1 \in [BM] \text { en } MZ_1 = \tfrac 13\,MB && \text {(zie \href{#app:zwaartelijnen-driehoek}{A})} \\ \Rightarrow \qquad & Z_2 \in [AM] \text { en } MZ_2 = \tfrac 13\,MA \\ \Rightarrow \qquad & [AZ_1] \text { en } [BZ_2] \text { liggen in het vlak } ABM \\ \Rightarrow \qquad & [AZ_1] \text { en } [BZ_2] \text { snijden elkaar in een punt } Z \\[1ex] & \frac {MZ_1}{MB} = \frac {MZ_2}{MA} = \frac 13 \\ \Rightarrow \qquad & \Delta MZ_1Z_2 \sim \Delta MBA \text { met factor } \tfrac 13 \\ \Rightarrow \qquad & Z_1Z_2 \parallel AB \text { en } Z_1Z_2 = \tfrac 13\,AB \\ \Rightarrow \qquad & \Delta ZZ_1Z_2 \sim \Delta ZAB \text { met factor } \tfrac 13 \\ \Rightarrow \qquad & ZZ_1 = \tfrac 13\,AZ \\ \Rightarrow \qquad & AZ_1 = AZ + ZZ_1 = \tfrac 43\,AZ \\ \Rightarrow \qquad & \vec {AZ} = \tfrac 34\,\vec {AZ_1} \\[1ex] & \text {Idem voor elk paar zwaartelijnen} \\ \Rightarrow \qquad & \text {elke zwaartelijn gaat door het punt op } \tfrac 34 \text { van } [AZ_1] \\ \Rightarrow \qquad & \underbrace {\text {de vier zwaartelijnen gaan door één punt } Z}_{\text {zwaartepunt viervlak}} \qed \end{align*}